2017-2018版高中數(shù)學(xué)第四章函數(shù)應(yīng)用2實(shí)際問題的函數(shù)建模學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE21學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2實(shí)際問題的函數(shù)建模學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解什么是函數(shù)模型，知道函數(shù)的一些基本模型。2。學(xué)會(huì)對(duì)收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。3。學(xué)會(huì)運(yùn)用常見的函數(shù)模型來解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．知識(shí)點(diǎn)一實(shí)際問題的函數(shù)刻畫思考世界上很多事物間的聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫，在試圖用函數(shù)刻畫兩個(gè)變量的聯(lián)系時(shí)，需要關(guān)注哪些要點(diǎn)？梳理設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題的已知條件,運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．知識(shí)點(diǎn)二用函數(shù)模型解決實(shí)際問題思考函數(shù)模型是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)模型之一，一旦確定是函數(shù)模型，怎樣研究它?梳理用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系,用函數(shù)刻畫實(shí)際問題，初步選擇模型．（2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論．(4）還原：利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問題中．可將這些步驟用框圖表示如下：知識(shí)點(diǎn)三數(shù)據(jù)擬合思考自由落體速度公式v＝gt是一種函數(shù)模型．類比這個(gè)公式的發(fā)現(xiàn)過程，簡(jiǎn)述什么是數(shù)據(jù)擬合?梳理數(shù)據(jù)擬合（1）定義：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征,看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖像，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn),基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律．這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）數(shù)據(jù)擬合的步驟：①以所給數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中繪出各點(diǎn)；②依據(jù)點(diǎn)的整體特征，猜測(cè)這些點(diǎn)所滿足的函數(shù)形式，設(shè)其一般形式；③取特殊數(shù)據(jù)代入,求出函數(shù)的具體解析式；④做必要的檢驗(yàn)．類型一利用已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題例1某列火車從北京西站開往石家莊,全程277km.火車出發(fā)10min開出13km后，以120km/h的速度勻速行駛．試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時(shí)間t之間的關(guān)系,并求火車離開北京2h內(nèi)行駛的路程．反思與感悟在實(shí)際問題中,有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是已知函數(shù)模型，如一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，這時(shí)可借助待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)解題需要研究函數(shù)性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí),拱頂離水面2米，水面寬4米．則水位下降1米后，水面寬________米．類型二自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題eq\x（命題角度1非分段函數(shù)模型）例2某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝eq\f(x2，5）－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？反思與感悟自建模型時(shí)主要抓住四個(gè)關(guān)鍵:“求什么，設(shè)什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解決什么問題，完成什么任務(wù)．設(shè)什么就是弄清楚這個(gè)問題有哪些因素,誰是核心因素，通常設(shè)核心因素為自變量．列什么就是把問題已知條件用所設(shè)變量表示出來，可以是方程、函數(shù)、不等式等．限制什么主要是指自變量所應(yīng)滿足的限制條件，在實(shí)際問題中，除了要使函數(shù)式有意義外，還要考慮變量的實(shí)際含義，如人不能是半個(gè)等．跟蹤訓(xùn)練2有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所獲得的利潤依次為Q1萬元和Q2萬元，它們與投入的資金x萬元的關(guān)系是Q1＝eq\f(1,5）x，Q2＝eq\f(3,5）eq\r（x)。現(xiàn)有3萬元資金投入使用，則對(duì)甲、乙兩種商品如何投資才能獲得最大利潤？eq\x（命題角度2分段函數(shù)模型）例3某旅游點(diǎn)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn),若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元,則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛．旅游點(diǎn)規(guī)定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數(shù)，用y表示出租所有自行車的日凈收入．（日凈收入即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得)（1）求函數(shù)y＝f（x)的解析式；(2)試問日凈收入最多時(shí)每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元？日凈收入最多為多少元？反思與感悟自變量x按取值不同,依不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)因變量y是分段函數(shù)的典例特征，建立分段函數(shù)模型應(yīng)注意：(1)分段函數(shù)的“段"一定要分得合理,不重不漏．(2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集．(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練3學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其在40min的一節(jié)課中，注意力指數(shù)y與聽課時(shí)間x(單位：min)之間的關(guān)系滿足如圖的圖像．當(dāng)x∈（0,12]時(shí)，圖像是二次函數(shù)圖像的一部分，其中頂點(diǎn)A(10,80),過點(diǎn)B(12,78）；當(dāng)x∈[12，40］時(shí),圖像是線段BC，其中C(40，50）．根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于62時(shí)，學(xué)習(xí)效果最佳．(1)試求y＝f(x）的函數(shù)關(guān)系式;(2)教師在什么時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容,能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳?請(qǐng)說明理由．1．從2013年起,在20年內(nèi)某海濱城市力爭(zhēng)使全市工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總產(chǎn)值翻兩番，如果每年的增長率是8%，則達(dá)到翻兩番目標(biāo)的最少年數(shù)為(）A．17B．18C．19D．202．一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時(shí)間t變化的圖像如圖所示，那么圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是()A．分段函數(shù) B．二次函數(shù)C．指數(shù)函數(shù) D．對(duì)數(shù)函數(shù)3．若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x,y的函數(shù)關(guān)系是（）A．y＝0。9576eq\f(x，100) B．y＝（0。9576)100xC．y＝(eq\f（0。9576，100)）x D．y＝1－0。0424eq\f（x,100)4．某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時(shí)間x的關(guān)系如下表：x123…y138…則下面的函數(shù)關(guān)系式中，擬合效果最好的是（)A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋25．某同學(xué)最近5年內(nèi)的學(xué)習(xí)費(fèi)用y（千元)與時(shí)間x(年)的關(guān)系如圖所示，則可選擇的模擬函數(shù)模型是（)A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝aex＋b D．y＝alnx＋b解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟（四步八字)(1）審題:弄清題意，分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型;（2)建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論;(4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考先確定兩個(gè)變量是誰；再看兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義；如果滿足,就要考慮建立函數(shù)關(guān)系式．知識(shí)點(diǎn)二思考先確定函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)解決實(shí)際問題的需要針對(duì)性研究函數(shù)性質(zhì)，如定義域、最值、單調(diào)性等，使實(shí)際問題得到解決．知識(shí)點(diǎn)三思考函數(shù)模型來源于現(xiàn)實(shí)(伽利略斜塔拋球），通過收集數(shù)據(jù)(打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測(cè)量)，畫散點(diǎn)圖分析數(shù)據(jù)(增長速度、單位時(shí)間內(nèi)的增長量等），尋找或選擇函數(shù)（假說)來作為函數(shù)模型，再檢驗(yàn)這個(gè)函數(shù)模型是否符合實(shí)際，這就是數(shù)據(jù)擬合．題型探究例1解因?yàn)榛疖噭蛩龠\(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(277－13)÷120＝eq\f（11，5）（h)，所以0≤t≤eq\f(11，5).因?yàn)榛疖噭蛩傩旭倀h所行駛的路程為120t，所以,火車運(yùn)行總路程S與勻速行駛時(shí)間t之間的關(guān)系是S＝13＋120t（0≤t≤eq\f(11，5）)。2h內(nèi)火車行駛的路程S＝13＋120×（2－eq\f(10,60)）＝233（km）．跟蹤訓(xùn)練12eq\r(6)解析以拱頂為原點(diǎn)，過原點(diǎn)與水面平行的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系(如圖）,則水面和拱橋交點(diǎn)A（2，－2）,設(shè)拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2（a≠0)，則－2＝a·22，∴a＝－eq\f（1,2），∴y＝－eq\f（1,2）x2。當(dāng)水面下降1米時(shí)，水面和拱橋的交點(diǎn)記作B(b，－3），將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝－eq\f（1，2)x2，得b＝±eq\r(6)，因此水面寬2eq\r(6）米．例2解設(shè)可獲得總利潤為R(x)萬元，則R（x)＝40x－y＝40x－eq\f(x2,5)＋48x－8000＝－eq\f（x2，5）＋88x－8000＝－eq\f（1,5）(x－220)2＋1680（0≤x≤210）．∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)，∴x＝210時(shí)，R（x)max＝－eq\f（1,5)（210－220）2＋1680＝1660（萬元)．∴年產(chǎn)量為210噸時(shí),可獲得最大利潤1660萬元．跟蹤訓(xùn)練2解設(shè)對(duì)甲種商品投資x萬元，則對(duì)乙種商品投資（3－x)萬元，總利潤為y萬元．所以Q1＝eq\f（1,5）x，Q2＝eq\f（3，5)eq\r（3－x）。所以y＝eq\f（1,5）x＋eq\f（3，5）eq\r（3－x）（0≤x≤3），令t＝eq\r（3－x)(0≤t≤eq\r(3)）,則x＝3－t2。所以y＝eq\f（1,5)（3－t2)＋eq\f(3,5）t＝－eq\f（1，5）(t－eq\f(3，2））2＋eq\f(21，20).當(dāng)t＝eq\f（3,2)時(shí)，ymax＝eq\f(21，20)＝1.05（萬元）,即x＝eq\f(3，4)＝0。75(萬元),所以3－x＝2.25(萬元）．由此可知，為獲得最大利潤,對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別為0。75萬元和2。25萬元，共獲得利潤1。05萬元．例3解（1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2。3.又因?yàn)閤∈N，所以3≤x≤6，且x∈N.當(dāng)6＜x≤20，且x∈N時(shí),y＝［50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115,綜上可知y＝f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（50x－115，3≤x≤6，x∈N，，－3x2＋68x－115，6＜x≤20，x∈N。））(2）當(dāng)3≤x≤6,且x∈N時(shí)，因?yàn)閥＝50x－115是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝6時(shí),ymax＝185元．當(dāng)6＜x≤20，且x∈N時(shí)，y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34，3）））2＋eq\f(811，3)，所以當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270元．綜上所述，當(dāng)每輛自行車日租金定為11元時(shí)才能使日凈收入最多，為270元．跟蹤訓(xùn)練3解(1)當(dāng)x∈(0,12］時(shí)，設(shè)f(x)＝a（x－10）2＋80(a≠0）．因?yàn)樵摬糠謭D像過點(diǎn)B（12，78)，將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式,得a＝－eq\f（1,2），所以f（x)＝－eq\f(1，2)(x－10）2＋80。當(dāng)x∈[12，40]時(shí)，設(shè)f(x）＝kx＋b(k≠0）．因?yàn)榫€段BC過點(diǎn)B（12，78），C(40,50），將它們的坐標(biāo)分別代入上式，得方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(12k＋b＝78，，40k＋b＝50,））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k＝－1，,b＝90，））所以f（x）＝－x＋90。故所求函數(shù)的關(guān)系式為f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2）x－102＋80，x∈0,12]，,－x＋90,x∈12，40］.))(2)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\