動(dòng)力學(xué)建模方法與解法總結(jié)

目錄剛體系統(tǒng) 1彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué) 6高速旋轉(zhuǎn)體動(dòng)力學(xué) 10PAGEPAGE13剛體系統(tǒng)體和仿生學(xué)中關(guān)于動(dòng)物運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究都提出了多剛體系統(tǒng)的一系列理論模型（包含有閉鏈；按其同外界的聯(lián)系情況，則有有根和無根之別。利用圖論的工具可以對(duì)于精確地掌握這些對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是很有價(jià)值的。自由物體的變分運(yùn)動(dòng)方程任意一個(gè)剛體構(gòu)件i，質(zhì)量為mi

，對(duì)質(zhì)心的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，設(shè)作用于i剛體的所有外力向質(zhì)心簡(jiǎn)化后得到外力矢量 F和力矩ni i

，若定義剛體連體坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)o位于剛體質(zhì)心，則可根據(jù)牛頓定理導(dǎo)出該剛體帶質(zhì)心坐標(biāo)的變分運(yùn)動(dòng)方程：

rT[mF][Jn]0 (1-1)i ii i i i i i其中，ri

為固定于剛體質(zhì)心的連體坐標(biāo)系原點(diǎn)o的代數(shù)矢量，i

為連體坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角，ri

與i

r與i

的變分。定義廣義坐標(biāo)：廣義：

q [rT,i i

]T (1-2)及質(zhì)量矩陣：

Q [FT,ni i

]T (1-3)M diag(m,mi i i

,J) (1-4)i體坐標(biāo)系原點(diǎn)固定于剛體質(zhì)心時(shí)用廣義力表示的剛體變分運(yùn)動(dòng)方程：qT(Mi束多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

Qi i

)0 (1-5)考慮由nb個(gè)構(gòu)件組成的機(jī)械系統(tǒng)，對(duì)每個(gè)構(gòu)件運(yùn)用式 (1-5)，組合后可得系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程為：nbi1

qT[Mi

Qi i

]0 (1-6)若組合所有構(gòu)件的廣義坐標(biāo)矢量、質(zhì)量矩陣及廣義力矢量，構(gòu)造系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)矢量、質(zhì)量矩陣及廣義力矢量為：q[qT,qT,...,qT]T

(1-7)1 2 nbMdiag(M,M ,...,M ) (1-8)1 2 nbQ[QT,QT,...,QT]T

(1-9)1 2 nb系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程則可緊湊地寫為：qTQ]0 (1-10)對(duì)于單個(gè)構(gòu)件，運(yùn)動(dòng)方程中的廣義力同時(shí)包含作用力和約束力，但在一個(gè)系統(tǒng)中，若只考慮理想運(yùn)動(dòng)副約束，根據(jù)牛頓第三定律，可知作用在QA[QAT,QAT,...,QAT]T (1-11)其中：

2 nbQA[FAT,nA]T，inb (1-12)i i則理想約束情況下的系統(tǒng)變分運(yùn)動(dòng)方程為：qTQA]0 (1-13)式中虛位移q與作用在系統(tǒng)上的約束是一致的。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和驅(qū)動(dòng)約束的組合如式(1-10)，為：(q,t)0 (1-14)對(duì)其微分得到其變分形式為：

q0 (1-15)q式(1-13)和(1-15)組成受約束的機(jī)械系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程。為導(dǎo)出約束機(jī)械系統(tǒng)變分運(yùn)動(dòng)方程易于應(yīng)用的形式，運(yùn)用拉格朗日乘子定理對(duì)式(1-13)和(1-15)進(jìn)行處理。拉格朗日乘子定理：設(shè)矢量bRnxRnARmn為常數(shù)矩陣，如果有：

bTx0 (1-16)對(duì)于所有滿足式（1-84）的x條件都成立。Ax0 (1-17)則存在滿足式（1-85）的拉格朗日乘子矢量Rm。x

bTxTAx0 (1-18)在式(1-13)和(1-15)中，qRn，MRnn，QARn， Rmn，運(yùn)用q拉格朗日乘子定理于式(1-13)和(1-15)，則存在拉格朗日乘子矢量Rm，對(duì)于任意的q應(yīng)滿足：QA

TQA0 (1-19)q q由此得到運(yùn)動(dòng)方程的拉格朗日乘子形式：TQAq

(1-20)式(1-20)還必須滿足式(1-10)、(1-12)和(1-14)束方程及加速度約束方程，如下：(q,t)0 (1-21)(,,t)q(,t)0，t(q,t) (1-22)(,,,t)q(,t)(q,,t)0，(q)q2qttt (1-23)以上三式其維數(shù)同式(1-14)。式(1-20)(1-21)(1-22)和(1-23)將式(1-20)與(1-23)聯(lián)立表示為矩陣形式：M T QA q (1-24)q0 q式(1-24)即為多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中最重要的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，式 (1-24)還必滿足式(1-22)和(1-23)。它是一個(gè)微分——代數(shù)方程組，不同于單純的常微分方程組問題，其求解關(guān)鍵在于避免積分過程中的違約現(xiàn)象，此外，還要注意DAE問題的剛性問題。如果系統(tǒng)質(zhì)量矩陣是正定的，并且約束獨(dú)立，那么運(yùn)動(dòng)方程就有唯一解。實(shí)際中的系統(tǒng)質(zhì)量矩陣通常是正定的，只要保證約束是獨(dú)立的，運(yùn)動(dòng)方程就會(huì)有解。在實(shí)際數(shù)值迭代求解過程中，需要給定初始條件，包括位置初始條件q(t和速度初始條件。此時(shí)，如果要使運(yùn)動(dòng)方程有解，還需要滿足初0 0值相容條件，也就是要使位置初始條件滿足位置約束方程，速度初始條件(1-24)及(1-21)(1-22)初值相容條件為：(q(t),t)0 (1-25)0 0(qt),t),t)(qt),t)t)(qt),t)0 (1-26)0 0 0 q 0 0 0 0 0正向動(dòng)力學(xué)分析、逆向動(dòng)力學(xué)分析與靜平衡分析對(duì)于一個(gè)確定的約束多體系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)分析不同于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并不需要系統(tǒng)約束方程的維數(shù)m等于系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的維數(shù)n，mn。在給定外力的作用下，從初始的位置和速度，求解滿足位置約束式 (1-22)及速度束式(1-23)的運(yùn)動(dòng)方程式(1-24)，就可得到系統(tǒng)的加速度和相應(yīng)的速度、位置響應(yīng)，以及代表約束反力的拉格朗日乘子，這種已知外力求運(yùn)動(dòng)及約束反力的動(dòng)力學(xué)分析，稱為正向動(dòng)力學(xué)分析。如果約束多體系統(tǒng)約束方程的維數(shù) m與系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的維數(shù)n相等mn，也就是對(duì)系統(tǒng)施加與系統(tǒng)自由度相等的驅(qū)動(dòng)約束，那么該系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)學(xué)上就被完全確定，由2.2.3解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。在此情況下，雅可比矩陣是非奇異方陣，即：q(q,t)0 (1-27)展開式(1-24)的運(yùn)動(dòng)方程，為：TQAq

(1-28) (1-29)q由式(1-29)(1-28)，拉格朗日乘子就唯一地確定了作用在系統(tǒng)上的約束力和力矩（主要存在于運(yùn)動(dòng)副中）。這種由確定的運(yùn)動(dòng)求系統(tǒng)約束反力的動(dòng)力學(xué)分析就是逆向動(dòng)力學(xué)分析。如果一個(gè)系統(tǒng)在外力作用下保持靜止?fàn)顟B(tài)，也就是說，如果：0 (1-30)那么，就說該系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。將式 (1-30)代入運(yùn)動(dòng)方程式(1-20)，得平衡方程：TQAq

(1-31)由平衡方程式(1-21)及約束方程式(1-13)可求出狀態(tài)q和拉格朗日乘子。這種求系統(tǒng)的平衡狀態(tài)及在平衡狀態(tài)下的約束反力的動(dòng)力學(xué)分析稱為（靜）平衡分析。約束反力對(duì)于約束機(jī)械系統(tǒng)中的構(gòu)件i，設(shè)其與系統(tǒng)中某構(gòu)件j存在運(yùn)動(dòng)學(xué)約束或驅(qū)動(dòng)約束，約束編號(hào)為k。除連體坐標(biāo)系xoyi為原點(diǎn)建立一個(gè)新的固定于構(gòu)件上的坐標(biāo)系 x，稱為運(yùn)動(dòng)副坐標(biāo)系，設(shè)從坐標(biāo)系xPy到坐標(biāo)系xoy的變換矩陣為Ci

，從坐標(biāo)系xoy到坐標(biāo)系xoy的變換矩陣為Ai

，則可導(dǎo)出由約束k產(chǎn)生的反作用力和力矩分別為：FkCTATkTk (1-32)i i i riTk(sPTBTkTkT)k (1-33)i i i r i i以上兩式中，k為約束k對(duì)應(yīng)的拉格朗日乘子，反作用力 Fk和力矩Ti i

k均為運(yùn)動(dòng)副坐標(biāo)系xPy中的量。彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的旋翼等工程結(jié)構(gòu)發(fā)展的需求，使運(yùn)動(dòng)中的彈性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析得到了很大運(yùn)動(dòng)中彈性體的動(dòng)力分析問題可分為兩類,其一是具有給定剛體運(yùn)動(dòng)的彈體運(yùn)動(dòng)與其中的彈性體的彈性變形的相互耦合的動(dòng)力分析,在這類問題中,體的變形會(huì)受到系統(tǒng)剛體運(yùn)動(dòng)的影響，反之彈性體的變形也會(huì)影響系統(tǒng)的剛體運(yùn)動(dòng)。下面采用運(yùn)動(dòng)參考系方法并用Jourdain動(dòng)力學(xué)普遍方程導(dǎo)出了具有空間一,接積分法。下面給出了對(duì)時(shí)變的運(yùn)動(dòng)彈性的動(dòng)力學(xué)方程的Neumann2積分解法,該方法可以在保證計(jì)算精度的前提下很大程度地節(jié)省機(jī)時(shí)。圖2-12-1BB的剛體運(yùn)動(dòng)與彈性變形:靜系ox1x2x3o系;B上的o點(diǎn),B上的動(dòng)o o o 1系o

x2x3

系。B的剛體移動(dòng)由o

點(diǎn)對(duì)于o點(diǎn)的矢量r

B的o1o o o 1 1o1 1 1 1空間轉(zhuǎn)動(dòng)則用o1

系對(duì)o系的轉(zhuǎn)動(dòng)來定義,BP的彈性變形則用在o系1內(nèi)的彈性變形位移矢量u來表示。B發(fā)生彈性變形后,P對(duì)o系的位置矢量可以表示為:r r rp o u1而

（2-1）r ru （2-2）u其中rBP點(diǎn)在o1

系中的位置矢量，u則表示P點(diǎn)的彈性變形位移矢量。把(2-2)式代入(2-1)式并向o系投影,且采用矩陣形式表示為:

rop

roAoo1Aoo11

roro

uouo

（2-3）A1其中ro 和ro 分別表示r 和r 向o 系的投影列陣；oo 表示A1

系向o系轉(zhuǎn)移opp o 1op1 的方向余弦矩陣。把(3-3)式中u1 的用有限元的格式，表達(dá)為:uoNuoN1

（2-4）其中 P為單元形函數(shù)矩陣， 為 點(diǎn)所在單元的有限元結(jié)點(diǎn)位移列陣把(2-4)式代入(2-3)式,并利用公式:

（2-5）11A1Aoo oo 11A1 o其中 是 系相對(duì)于o系轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在oo111由(2-3)式對(duì)時(shí)間分別求一次導(dǎo)數(shù)和二次導(dǎo)數(shù)可得P點(diǎn)的速度vop

和加速度aoP點(diǎn)的虛速度vo

于是P點(diǎn)鄰域之微元體的Jourdain動(dòng)力p學(xué)普遍方程可以寫作:

pT

，

（2-6）vop

mao 0p p其中: m

為彈性體在P點(diǎn)的質(zhì)量密度；f是作用于P點(diǎn)微元體上的全部力在Op 1系上的投影。T

對(duì)于vop

可利用常規(guī)有限元的格式將它寫作:T

T

vo

NTFK

（2-7）p 其中:和P點(diǎn)的值;P點(diǎn)微元體上的外力在O1

系的列陣,把求得的P點(diǎn)的虛速度和加速度以及(2-7)式代(2-6)式,并考慮到中諸元素之獨(dú)立性,P點(diǎn)微元體的動(dòng)力學(xué)方程為： T

TN F K

m

dvVp p

ao p

（2-8）將(2-8)式對(duì)單元積分便可得運(yùn)動(dòng)的彈性體的單元?jiǎng)恿W(xué)方程:

MeCeKe

Fe （2-9） 式中:Me

NT

dvpCeT

T T

N

Ndv2m

Aoo

oo

Aoo

NdvC C1 1 1p s dKeT

T T

BA1 A1

DBdvm p

oo

oo

oo

1A1oo oo1A11

NdvK Ks dFe

TT

TT

NT

Fdvm Np

oo rodvm No p

oo

oo

oo

oo oo1

o dvAA11Ar111AA11Ar111s

Fd

1

其中分別是常規(guī)有限元法中的單元阻力陣剛度陣和外力向量,s s s而d

，Kd

d

則分別是由于剛體運(yùn)動(dòng)與彈性變形的耦合而產(chǎn)生的附加單元?jiǎng)恿ψ枘彡?、?dòng)力剛度陣和動(dòng)力力向量。而且由于它們的表達(dá)式中含有表示彈性r r 體空間運(yùn)動(dòng)量o和

，因此,通常這些動(dòng)力附加項(xiàng)是時(shí)變的。當(dāng)彈性體的剛o1體運(yùn)動(dòng)速度特別是轉(zhuǎn)動(dòng)速度較大時(shí),彈性體受到較大的慣性力作用,會(huì)產(chǎn)生變形,由于離心慣性力產(chǎn)生的軸向拉力會(huì)增大梁的抗彎剛度,即所謂的“剛化效應(yīng)”。這時(shí)在(2-10)中需計(jì)入結(jié)構(gòu)s的幾何剛度陣,結(jié)構(gòu)的幾何剛度陣往往是未知內(nèi)力的函數(shù),這時(shí)方程(2-9)式就是一個(gè)非線性的動(dòng)力方程。但對(duì)于簡(jiǎn)單的彈性體,如梁,由于剛體運(yùn)動(dòng)的慣性力產(chǎn)生的軸力容易求得,即方程(2-9)式為時(shí)變動(dòng)力學(xué)方程時(shí)的數(shù)值解法。顯然,若彈性體沒有剛體運(yùn)動(dòng),則方程(2-9)式退化為常規(guī)的有限單元?jiǎng)恿W(xué)方程。把(2-9)式按常規(guī)有限元的組集方法進(jìn)行組集,便可得到對(duì)于運(yùn)動(dòng)彈性體的具有時(shí)變特性的、通用的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程:MCKF

（2-10） 高速旋轉(zhuǎn)體動(dòng)力學(xué)高速旋轉(zhuǎn)體通常是由是由三個(gè)剛體──外環(huán)、內(nèi)環(huán)、轉(zhuǎn)子互相約束在一起而成，對(duì)稱卡登陀螺儀和單剛體陀螺儀的理論模型沒有本質(zhì)區(qū)別，具有所謂“但實(shí)際上,理論研究和精密的實(shí)驗(yàn)研究都已證明這個(gè)想法是錯(cuò)誤的。平衡對(duì)稱卡登陀螺儀的空間定向大都具有里雅普諾夫意義下的不穩(wěn)定性（見運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。能正確解釋卡登陀螺儀的動(dòng)力學(xué)特征。圖3-13-1D與長度lD/l5,一般都采用矢量法來求校m、mm和m。但是這種方法所帶來問題是力多邊形不b b bb bb動(dòng)平衡機(jī)的工廠無疑有一定的實(shí)用價(jià)值。3-2所示，不平衡質(zhì)量m、m、m1 2 3

分別分布在123內(nèi),各質(zhì)點(diǎn)距回轉(zhuǎn)軸線的矢徑分別為rr、1 2r。當(dāng)轉(zhuǎn)子以等角速度。回轉(zhuǎn)時(shí),各質(zhì)點(diǎn)所產(chǎn)生的離心慣性力分別為3Pm1 1

r2 （3-1）1P m2 2

r2 （3-2）1Pm3 3

r2 （3-3）1圖3-2TA與軸線垂直的平面T過B與軸線垂直的平面作為校正平面，在TT平面內(nèi)分別加上校正質(zhì)量m、bm，矢徑為r、r，則校正質(zhì)量所產(chǎn)生的離心慣性力為Pmr2和b b b b bbPmr2PPPPP組成了空間力系。b bb

1 2 3 b bxyz軸如圖所示，并將作用在轉(zhuǎn)子上的所有力向YAZXAY3-3所示。圖3-3在圖3-3中,所有的力組成了平面平行力系,列平衡方程：m0，P

l

lPl0 （3-4） A

1z1

2z2 bzF 0，PP P P0 （3-5）解得：

z bz 1z 2z bz PlPlP 2z2bz

1z1

（3-6）PPP P

（3-7）式中：

bz 2z 1z 2zP PZ

Pcos

，N；1z 1P P2z 2

1zZPz

1 1Pcos2

，N；PPZPPcosN；bz b bz bP