排列及n級行列式

§2.2排列副對角線二階行列式的計算主對角線例一種運算表達式！三階行列式的計算對角線法則三階行列式練習(xí)：根據(jù)定義算一算

行列式是研究矩陣的一個重要工具，是矩陣的重要數(shù)字特征。對于n階方陣用記號表示一個與A相對應(yīng)的數(shù)，稱為矩陣A的行列式(Determinant).記做det(A)，或|A|.●行列式的定義元素第一行排列的逆序數(shù)定義1(P52)由n個自然數(shù)1,2,3,…，n,構(gòu)成的一個有序數(shù)組稱為這一個n階排列.例如：123455123453214都是數(shù)1，2，3，4，5的一個5階排列.

注：n個數(shù)的不同n階排列有個.n!1,2,3,…，n,按照由小到大的順序排成的排列稱為n階標(biāo)準(zhǔn)排列或自然順序排列.例如：1,2,3構(gòu)成的三階排列有：123，231,132等等在一個排列中，若某個較大的數(shù)排在某個較小的數(shù)前面，就稱這個排列含有一個逆序.一個排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù)定義2（P52）稱為這個排列的逆序數(shù)，排列

的逆序數(shù)通常記為

例如：排列12的逆序數(shù)為，排列21的逆序數(shù)為，排列231的的逆序數(shù)為，排列213的逆序數(shù)是。0121練習(xí)：910大小n級排列的逆序數(shù)的計算:逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。

定義3（P53）定義（P53）把一個排列中的某兩個數(shù)交換位置，其余數(shù)字不動，叫做對該排列作一次對換，簡稱對換(動詞)。對換改變排列的奇偶性．即經(jīng)過一次對換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列．定理1(P53)奇排列對換偶排列對換奇排列證明1)特殊情形：ab相鄰對換與除外，其它元素所成逆序不改變.設(shè)排列為對換改變排列的奇偶性．即經(jīng)過一次對換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列．定理1(P53)因此對換相鄰的兩個元素，排列改變奇偶性.2)

一般情形ab不相鄰次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.設(shè)排列為現(xiàn)來對換與推論：時，n個數(shù)的所有排列中，奇偶排列各占一半，各為個.定理2（P54）定理2（P54）證明：對排列的級數(shù)n作歸納，證明該結(jié)論成立。1級排列只有1個，結(jié)論自然成立。假設(shè)結(jié)論對n-1級排列成立，設(shè)是一n級排列，若,由歸納,若，先對作的對換，它就變成，則歸結(jié)成前一情形，因此總成立.現(xiàn)證n級排列情形：本定理的后一結(jié)論顯然成立(自然排列為偶排列).若，先對作的對換，它就變成，則歸結(jié)成前一情形，因此總成立.(2)自然排列12…n可經(jīng)一系列的對換變到任意一個n元排列：。，則此對換將變成則n-1級排列可經(jīng)一系列對換變成排列奇數(shù)次對換思考題如果排列的逆序數(shù)為k

，則排列的逆序數(shù)是多少？P965作業(yè)：P964§2.3n階行列式副對角線二階行列式的計算主對角線三階行列式定義4n階行列式（P56）的值等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和n級行列式的值等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和結(jié)論：1、共有n！項；2、每項又n個元素；3、每項這n個元素一定處于不同行不同列中；4、每項符號與逆序數(shù)的奇偶有關(guān)，偶排列取正，奇排列取負。例1（P57）上三角形行列式上三角形行列式的值為主對角線上的元素之乘積下三角形行列式下三角形行列式的值等于主對角線上各元素的乘積特別對角形行列式例223解含的項有兩項,即解含的項有兩項,即對應(yīng)于24行下標(biāo)取自然順序列下標(biāo)取自然順序行列式的三個等價定義

P62行列下標(biāo)任意排列三階行列式的項按行下標(biāo)排列乘積項按列下標(biāo)排乘積項任意排列該項都是相等的！轉(zhuǎn)置行列式或記作行、列對掉稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式Transpose行列式的性質(zhì)●行列式的性質(zhì)表明行與列是對等的，行具有的性質(zhì)，列也具有性質(zhì)1（P60）

行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變，即如§2.6行列式按一行（列）展開在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．余子式與代數(shù)余子式(P75-77)●余子式和代數(shù)余子式在n階行列式中，把元素所在的第i行和第j列劃去后，余下的n－1階行列式叫做元素的余子式(cofactor)。記為為元素稱的代數(shù)余子式。例如：元素的代數(shù)余子式注：行列式的每個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式。元素的余子式元素的代數(shù)余子式作乘積和！定理3

n

階行列式等于它的某一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即行列式按行（列）展開法則D按第i行展開的展開式例

根據(jù)展開式計算行列式的值按第一行展開練習(xí)：按第二列元展開！例

計算行列式的值注意計算行列式時，一般情況下按零元素較多的行（列）展開較為簡單。定理3

行列式中某一行（或列）的元素與另一行（或列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零。小結(jié)行列式按行展開得D，串行展開得零。1、設(shè)有行列式A11、A12、A13、A14分別是D的第一行元素的代數(shù)余子式，試求3A11-A12