排列及n級(jí)行列式

§2.2排列副對(duì)角線二階行列式的計(jì)算主對(duì)角線例一種運(yùn)算表達(dá)式！三階行列式的計(jì)算對(duì)角線法則三階行列式練習(xí)：根據(jù)定義算一算

行列式是研究矩陣的一個(gè)重要工具，是矩陣的重要數(shù)字特征。對(duì)于n階方陣用記號(hào)表示一個(gè)與A相對(duì)應(yīng)的數(shù)，稱為矩陣A的行列式(Determinant).記做det(A)，或|A|.●行列式的定義元素第一行排列的逆序數(shù)定義1(P52)由n個(gè)自然數(shù)1,2,3,…，n,構(gòu)成的一個(gè)有序數(shù)組稱為這一個(gè)n階排列.例如：123455123453214都是數(shù)1，2，3，4，5的一個(gè)5階排列.

注：n個(gè)數(shù)的不同n階排列有個(gè).n!1,2,3,…，n,按照由小到大的順序排成的排列稱為n階標(biāo)準(zhǔn)排列或自然順序排列.例如：1,2,3構(gòu)成的三階排列有：123，231,132等等在一個(gè)排列中，若某個(gè)較大的數(shù)排在某個(gè)較小的數(shù)前面，就稱這個(gè)排列含有一個(gè)逆序.一個(gè)排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù)定義2（P52）稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，排列

的逆序數(shù)通常記為

例如：排列12的逆序數(shù)為，排列21的逆序數(shù)為，排列231的的逆序數(shù)為，排列213的逆序數(shù)是。0121練習(xí)：910大小n級(jí)排列的逆序數(shù)的計(jì)算:逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。

定義3（P53）定義（P53）把一個(gè)排列中的某兩個(gè)數(shù)交換位置，其余數(shù)字不動(dòng)，叫做對(duì)該排列作一次對(duì)換，簡(jiǎn)稱對(duì)換(動(dòng)詞)。對(duì)換改變排列的奇偶性．即經(jīng)過(guò)一次對(duì)換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列．定理1(P53)奇排列對(duì)換偶排列對(duì)換奇排列證明1)特殊情形：ab相鄰對(duì)換與除外，其它元素所成逆序不改變.設(shè)排列為對(duì)換改變排列的奇偶性．即經(jīng)過(guò)一次對(duì)換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列．定理1(P53)因此對(duì)換相鄰的兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.2)

一般情形ab不相鄰次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.設(shè)排列為現(xiàn)來(lái)對(duì)換與推論：時(shí)，n個(gè)數(shù)的所有排列中，奇偶排列各占一半，各為個(gè).定理2（P54）定理2（P54）證明：對(duì)排列的級(jí)數(shù)n作歸納，證明該結(jié)論成立。1級(jí)排列只有1個(gè)，結(jié)論自然成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1級(jí)排列成立，設(shè)是一n級(jí)排列，若,由歸納,若，先對(duì)作的對(duì)換，它就變成，則歸結(jié)成前一情形，因此總成立.現(xiàn)證n級(jí)排列情形：本定理的后一結(jié)論顯然成立(自然排列為偶排列).若，先對(duì)作的對(duì)換，它就變成，則歸結(jié)成前一情形，因此總成立.(2)自然排列12…n可經(jīng)一系列的對(duì)換變到任意一個(gè)n元排列：。，則此對(duì)換將變成則n-1級(jí)排列可經(jīng)一系列對(duì)換變成排列奇數(shù)次對(duì)換思考題如果排列的逆序數(shù)為k

，則排列的逆序數(shù)是多少？P965作業(yè)：P964§2.3n階行列式副對(duì)角線二階行列式的計(jì)算主對(duì)角線三階行列式定義4n階行列式（P56）的值等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和n級(jí)行列式的值等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和結(jié)論：1、共有n！項(xiàng)；2、每項(xiàng)又n個(gè)元素；3、每項(xiàng)這n個(gè)元素一定處于不同行不同列中；4、每項(xiàng)符號(hào)與逆序數(shù)的奇偶有關(guān)，偶排列取正，奇排列取負(fù)。例1（P57）上三角形行列式上三角形行列式的值為主對(duì)角線上的元素之乘積下三角形行列式下三角形行列式的值等于主對(duì)角線上各元素的乘積特別對(duì)角形行列式例223解含的項(xiàng)有兩項(xiàng),即解含的項(xiàng)有兩項(xiàng),即對(duì)應(yīng)于24行下標(biāo)取自然順序列下標(biāo)取自然順序行列式的三個(gè)等價(jià)定義

P62行列下標(biāo)任意排列三階行列式的項(xiàng)按行下標(biāo)排列乘積項(xiàng)按列下標(biāo)排乘積項(xiàng)任意排列該項(xiàng)都是相等的！轉(zhuǎn)置行列式或記作行、列對(duì)掉稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式Transpose行列式的性質(zhì)●行列式的性質(zhì)表明行與列是對(duì)等的，行具有的性質(zhì)，列也具有性質(zhì)1（P60）

行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變，即如§2.6行列式按一行（列）展開(kāi)在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來(lái)的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．余子式與代數(shù)余子式(P75-77)●余子式和代數(shù)余子式在n階行列式中，把元素所在的第i行和第j列劃去后，余下的n－1階行列式叫做元素的余子式(cofactor)。記為為元素稱的代數(shù)余子式。例如：元素的代數(shù)余子式注：行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式。元素的余子式元素的代數(shù)余子式作乘積和！定理3

n

階行列式等于它的某一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即行列式按行（列）展開(kāi)法則D按第i行展開(kāi)的展開(kāi)式例

根據(jù)展開(kāi)式計(jì)算行列式的值按第一行展開(kāi)練習(xí)：按第二列元展開(kāi)！例

計(jì)算行列式的值注意計(jì)算行列式時(shí)，一般情況下按零元素較多的行（列）展開(kāi)較為簡(jiǎn)單。定理3

行列式中某一行（或列）的元素與另一行（或列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零。小結(jié)行列式按行展開(kāi)得D，串行展開(kāi)得零。1、設(shè)有行列式A11、A12、A13、A14分別是D的第一行元素的代數(shù)余子式，試求3A11-A12