高數(shù)A1第十四講函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性

42246420246泰勒多項(xiàng)式逼近42246420246泰勒多項(xiàng)式逼近第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第三章一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在[a,b]上單調(diào)增加(減少).證:

無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增.在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),證畢在[a,b]

上連續(xù),在(a,b)內(nèi)例1.

判定函數(shù)上的單調(diào)性.解:所以函數(shù)在上單調(diào)增加.例2.

討論函數(shù)的單調(diào)性.解:所以函數(shù)在上單調(diào)減少.函數(shù)在上單調(diào)增加.注:單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).

說明：確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法和一般步驟例3解:所以函數(shù)在上單調(diào)減少.函數(shù)在上單調(diào)增加.例4.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為注2:如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號,則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例5函數(shù)在上單調(diào)增加.例6.

證明:時(shí),成立不等式證:

令定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上凹凸性的分界點(diǎn)(x0,f(x0)),稱為曲線的拐點(diǎn)

.圖形是凸的.二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)---------彎曲方向定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在[a,b]內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

[a,b]內(nèi)圖形是凸的.證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)設(shè)函數(shù)在開區(qū)間I=(a,b)上有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么證畢在[a,b]

上連續(xù)例7.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線是凸的.例8.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上為凸弧在上為凹弧例9.

確定曲線的拐點(diǎn).解:令得故曲線的拐點(diǎn)為例10.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上是凹的,是凸的,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸例11.問曲線是否有拐點(diǎn)?解:故曲線無拐點(diǎn).說明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,例12.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).凹凸思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加,