ch2-3系統(tǒng)傳遞函數(shù)

第2章序列的傅立葉變換與Z變換（34）

2.1序列的傅里葉變換（9）2.2傅里葉變換的對稱性質(zhì)（2）2.3序列的Z變換（3）2.4Z反變換（3）2.5Z變換的基本性質(zhì)和定理8-12（12）2.6序列的Z變換與連續(xù)信號的拉氏變換及傅里葉變換的關(guān)系（2）2.7系統(tǒng)離散的頻率特性（3）二利用Z變換解差分方程在第一章中介紹了差分方程的遞推解法，下面介紹Z變換解法。這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程，使求解過程簡單。設(shè)N階線性常系數(shù)差方程為(2.5.18)1.求穩(wěn)態(tài)解如果輸入序列x(n)是在n=0以前∞時加上的，n時刻的y(n)是穩(wěn)態(tài)解，對(2.5.18)式求Z變換，得到式中(2.5.19)(2.5.20)2.6.1拉氏變換與Z變換

Z變換的定義：為了研究拉氏變換和Z變換之間的關(guān)系，我們對采樣信號進(jìn)行雙邊拉氏變換：實際上，序列x(n)的值就等于采樣點的值，即，而這是由復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射，這個映射關(guān)系極坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式所以有T：采樣周期；：s平面的頻率；：z平面上的頻率。

s平面的虛軸z平面的單位圓s平面上沿虛軸每增加一個z平面上沿單位圓旋轉(zhuǎn)一周

這相當(dāng)于將s平面“裁”成一條條寬為的橫帶，重疊地映射到z平面，如圖所示?？梢园褄平面想象為以原點為中心的無窮重疊在一起的螺旋面，即無窮黎曼平面。s平面z域黎曼面

當(dāng)我們沿著s平面虛軸j“移動”時，這一“移動”映射到z域的黎曼面上，則是隨著幅角的增加，由一層螺旋面旋轉(zhuǎn)到另一層螺旋面。再回到對采樣信號進(jìn)行雙邊拉氏變換：

采樣序列在單位圓上的z變換就等于其理想采樣信號的傅氏變換（即其頻譜）?？紤]到數(shù)字域頻率與模擬域頻率的關(guān)系=T，則可見單位圓上的z變換有其重要的意義，正如傅氏變換給出了信號的譜一樣，單位圓上的z變換也給出了采樣序列的頻響。這里定義單位圓上的z變換為“序列的傅氏變換”

最后，我們總結(jié)一下拉氏變換、傅氏變換、z變換和序列的傅氏變換之間的關(guān)系：序列的傅氏變換是單位圓上的z變換，所以是z變換的特殊形式；z變換可以看作是序列傅氏變換的推廣。（z=ej

）采樣序列的傅氏變換是原信號傅氏變換譜的周期延拓，在滿足奈奎斯特定理時，兩者相同（僅有常數(shù)之差）。采樣序列的z變換是采樣信號的拉氏變換從s平面到z平面的映射2.7Z域中對系統(tǒng)的描述2.7.1傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸出端對輸入為單位脈沖序列δ(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈中響應(yīng)h(n)，對h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(ejω)(2.7.1)

一般稱H(ejω)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，它表征系統(tǒng)的頻率特性。

對h(n)進(jìn)行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對N階差分方程進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式(2.7.2)

如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(ejω)與H(z)之間關(guān)系如下式：(2.7.3)因此，有四種表示離散系統(tǒng)特性的方法:1、差分方程

2、脈沖響應(yīng)

3、頻率響應(yīng)

4、系統(tǒng)函數(shù)他們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系明顯。2.7.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果系統(tǒng)其單位脈響應(yīng)h(n)一定滿足當(dāng)n<0時，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含∞點，即∞點不是極點，極點分布在某個圓的圓內(nèi)，收斂域在某個圓外。系統(tǒng)穩(wěn)定要求，對照Z變換定義，系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含∞點和單位圓，那么收斂域可表示為

r<|z|≤∞，0<r<1

例2.7.1已知分析其因果性和穩(wěn)定性.

解：H(z)的極點為z=a，z=a-1(1)收斂域a-1<|z|≤∞，對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an-a-n)u(n)，這是一個因果序列，但不收斂。

(2)收斂域0≤|z|＜a,對應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，這是一個非因果且不收斂的序列。(3)收斂域a<|z|<a-1，對應(yīng)的系統(tǒng)是一個非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個收斂的雙邊序列。2.7.3利用系統(tǒng)的極零點分布分析系統(tǒng)的頻率特性（由零極點確定濾波器的形狀）由濾波器的H(z)z在單位圓上取值，即可得濾波器的頻率響應(yīng)。而根據(jù)濾波器的零極點位置得到濾波器的特性曲線是一種更直觀的方法，特別適合低階濾波器。例：

例2.7.3設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為

y(n)=by(n-1)+x(n)

用幾何法分析其幅度特性。解：由系統(tǒng)差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)為

系統(tǒng)極點z=b，零點z=0當(dāng)B點從ω=0逆時旋轉(zhuǎn)時，在ω=0點由于極點矢量長度最短，形成波峰。在ω=π時形成波谷。z=0處零點不影響頻響。極零點分布及幅度特性如圖2.7.4所示。

圖2.7.4例2.7.3插圖作業(yè)：比較下列濾波器的形狀：Piz示例

Pez31---matlab示例1、單位圓內(nèi)實軸上的單極點2、對偶極點3、比較同一數(shù)字頻率下的極點位置變換2.7.3利用系統(tǒng)的極零點分布分析系統(tǒng)的頻率特性

將系統(tǒng)函數(shù)因式分解，得到(2.7.4)

式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零點，dr是其極點。A參數(shù)影響傳輸函數(shù)的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點cr和極點d

的分布。下面我們采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點分布對系統(tǒng)頻率特性的影響。將(2.7.4)式分子分母同乘以zN-M，得到設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=ejω，得到傳輸函數(shù)(2.7.5)(2.7.6)設(shè)N=M，(2.7.7)

和分別稱為零點矢量和極點矢量，將它們用極坐標(biāo)表將和表示式代入(2.7.7)式，得到(2.7.8)(2.7.9)

根據(jù)濾波器零極點位置得到濾波器的頻率響應(yīng)特性曲線，是一種直觀的方法，但只比較適合低階濾波器。對于高階系統(tǒng)，由H（z）z在單位圓上取值，再將從0-2π取值求幅度和相位譜更簡潔方便。

系統(tǒng)的傳輸特性或者信號的頻率特性由(2.7.8)式和(2.7.9)式確定。當(dāng)頻率ω從0變化到2π時，這些向量的終點B沿單位圓逆時針旋轉(zhuǎn)一周，按照(2.7.8)式(2.7.9)式，分別估算出系統(tǒng)的幅度特性和相位特性。例如圖2.7.2表示了具有一個零點和二個極點的頻率特性。

例2.7.2已知H(z)=z-1，分析其頻率特性解：由H(z)=z-1，極點為z=0，幅度特性|H(ejω)|=1,

相位特性φ(ω)=-ω，頻響如圖2.7.3所示。用幾何方法也容易確定，當(dāng)ω=0轉(zhuǎn)到ω=2π時，極點矢量的長度始終為1。由該例可以得到結(jié)論，處于原點處的零點或極點，由于零點矢量長度或者是極點矢量長度始終為1，因此原點處的零極點不影響系統(tǒng)的頻率特性。圖2.7.3H(z)=z-1的頻響極零點分布分析系統(tǒng)的頻率特性MATLAB演示541.m例：H（z）=1-2z-1+2z-2-z-3TheRootsare:z1=1z2=1ejπ/3z3=1e-jπ/3這些零點都在單位圓上，所以頻率0，π/3和-π/3的復(fù)正弦信號通過系統(tǒng)后，輸出為0。試通過下述輸入信號進(jìn)行驗證：1、x1=12、x2=ejπn/33、x3=e-jπn/3H（z）=1-2z-1+2z-2-z-3因此，H（z）的零點在單位圓上，對于相應(yīng)的正弦輸入信號，通過濾波器后將被消除。在雷達(dá)或通信系統(tǒng)中常要這樣的濾波器來消除特定的干擾信號，同樣對來至電網(wǎng)的50Hz或60Hz干擾也適用。如果我們要消除一個正弦或余弦信號：

x（n）=cos（ωn）=(ejωn+e-jωn)/2需要采用一個二階濾波器，零點為z1=ejω,z2=e–jω因此，二階濾波器為：H（z）=(1-z1z-1)(1-z2z-1)=1-(z1+z2)z-1+(z1z2)z-2=1-2cos(ω)z-1+z-2例，要消除ω=π/4的余弦分量----cos(0.25πn)

Piz示例

Pez31---matlab示例兩個z=0的極點，一對單位圓上的零點模擬頻率f和數(shù)字頻率ω數(shù)字濾波器的形狀設(shè)計可以不依賴采樣頻率，但采樣頻率將影響濾波器的帶寬?！盎A(chǔ)”P193例7.18-7.20這三個例子都說明了：

采樣頻率對濾波器性能（帶寬）的影響。

例2.7.4已知H(z)=1-z-N，試定性畫出系統(tǒng)的幅頻特性。解：零點：

H(z)的極點為z=0，這是一個N階極點，它不影響系統(tǒng)的頻響。零點有N個，由分子多項式的根決定N個零點等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點分布如圖2.7.5所示。當(dāng)ω從零變化到2π時，每遇到一個零點，幅度為零，在兩個零點的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點頻率為：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。一般將具有如圖2.7.5所示的幅度特性的濾波器稱為梳狀濾波器。圖2.7.5梳狀濾波器的極零點分布及幅度特性例2.7.5利用幾何法分析矩形序列的幅頻特性。解：零點：極點：

設(shè)N=8，z=1處的極點零點相互抵消。這樣極零點分布及其幅頻特性如圖2.7.6所示。階零點圖2.7.6N=8矩形序列極零點分布及幅度特性低通濾波器由于零點并不能完全組合成復(fù)數(shù)共軛對，該濾波器系數(shù)將是復(fù)數(shù)。這對濾波器實現(xiàn)不利。對帶通濾波器的設(shè)計思路：在單位圓上設(shè)定零點的方法來控制濾波器頻率響應(yīng)。若將零極點抵消位置移至某一頻率，則可獲相應(yīng)BPF。實系數(shù)帶通濾波器帶通濾波器MATLABIMPLEMENTATIONEXAMPLE1Givenacausalsystema.FindH(z)andsketchitspole-zeroplot.b.Plotc.Determinetheimpulseresponseh(n).y(n)=0.9y(n-1)+x(n)Solution:a.FromWewilluseMatlabtoillustratetheuseofthezplanefunction:>>b=1;>>a=[1,-0.9];>>zplane(b,a);y(n)=0.9y(n-1)+x(n)MATLABIMPLEMENTATIONb.Matlabprovidesafunctioncalledfreqz,thesimplestformofthisfunctionisinvokedby:[H,w]=freqz(b,a,N)whichreturnstheN-pointfrequencyvectorwandtheN-pointcomplexfrequencyresponsevectorHofthesystem,givenitsnumeratoranddenominatorcoefficientsinvectorsbanda.ThefrequencyresponseisevaluatedatNpointsequallyspacedaroundtheupperhalfoftheunitcircle.(0toπ)Letustake100pointsalongtheupperhalfoftheunitcircle:%z-平面函數(shù):%a)&b)b=1;a=[1,-0.9];zplane(b,a);title('極點-零點圖');text(0.85,-0.1,'0.9');text(0.01,-0.1,'0');pause,%b)[H,w]=freqz(b,a,100);magH=abs(H);phaH=angle(H);subplot(2,1,1),plot(w/pi,magH);gridxlabel('');ylabel('