眼科病床的合理安排

眼科病床的

合理安排問題重述

醫(yī)院就醫(yī)排隊是我們熟悉的現象，它以各種形式出現在我們面前，例如，患者到門診就診、到收費處劃價、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊等待接受某種服務。

為此考慮以某醫(yī)院眼科病床的合理安排經行數學模型的建立。

假設：

該醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫(yī)院眼科手術主要分四大類：白內障、視網膜疾病、青光眼和外傷。問題重述 白內障手術較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內障手術，此類病人的術前準備時間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術。 其他眼科疾病比較復雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內就可以接受手術，主要是術后的觀察時間較長。這類疾病手術時間可根據需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數量較少，因此這些眼科疾病可不考慮急癥。通常情況下白內障手術與其他眼科手術（急癥除外）不安排在同一天做。當前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，因此院方希望能通過數學建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。問題重述以下是題目的五個問題：

問題一：試分析確定合理的評價指標體系，用以評價該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。

問題二：試就該住院部當前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據已知的第二天擬出院病人數來確定第二天應該安排哪些病人住院。并對你們的模型利用問題一中的指標體系作出評價。

問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時能住院。能否根據當時住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區(qū)間。問題重述

問題四：若該住院部周六、周日不安排手術，重新回答問題二，醫(yī)院的手術時間安排是否應作出相應調整?

問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。符號說明與模型假設2.1符號說明

：t時刻掛號的m(1為外傷、2為白內障雙眼、3為白內障單眼、4為青光眼、5為視網膜疾病)類病人中未住院的第j個病人在n+1天是否被安排入住；0表示未安排入住、1表示安排入住。

：t時刻注冊的m類病人中未住院的第j個病人到n+1天已等待的天數；

：第n+1天出院的人數。

：外傷病人在n+1天安排入院的優(yōu)先級系數。

：白內障雙眼病人在n+1天安排入院的優(yōu)先級系數。

：白內障單眼病人在n+1天安排入院的優(yōu)先級系數。

：青光眼病人在n+1天安排入院的優(yōu)先級系數。

：視網膜疾病病人在n+1天安排入院的優(yōu)先級系數。符號說明與模型假設符號說明與模型假設2.2模型假設1、假設白內障手術在周一、三做；2、假設白內障手術與視網膜疾病、青光眼手術不安排在同一天做。3、假設術前準備時間白內障手術為1、2天，視網膜疾病、青光眼手術為2、3天；4、假設該醫(yī)院每天出院安排在早上，住院安排在出院之后。5、假設外傷病人，住院后第二天即安排手術。問題分析和基本思路3.1問題分析和建模思路 該題目中，雖然有五個問題，但他們之間是相互聯系的。我們在分析及解決問題時應兼顧五個問題進行系統(tǒng)的思考，而不能獨立的考慮某一個問題，這樣既不全面也不利于所有問題的合理解決。問題分析和基本思路思路流程圖問題分析和基本思路 問題一由于該醫(yī)院以前采用FCFS方案安排住院，造成未住院病人等待時間過長、隊列也越來越長和醫(yī)院資源利用率太低。我們在問題一中建立的評價指標體系可較好的評價出原有FCFS結果的優(yōu)劣。不僅如此，我們還可以用此評價體系來評價問題二及以后的問題中模型的優(yōu)劣。

對于問題二，首先我們根據各類病人以前術后觀察的情況來推斷當前的前術后觀察的情況，得到第二天的擬出院病人數。然后，才能確定第二天應該安排哪些病人住院。我們可以以第二天是否安排某一病人住院為決策變量，以優(yōu)先因子大的優(yōu)先服務(為了使病床的安排更加合理，我們按時間分情況討論，不同的病人在不同的時間應該有不同的優(yōu)先級系數，我們的目標是使總的優(yōu)先級最大。)和等待住院病人的總和等待時間最小兩個目標為目標函數，考慮指派約束、手術時間約束、等待時間約束，建立雙目標0-1規(guī)劃模型。模型的建立4.1

問題一評價體系分析與建立 醫(yī)院進行床位安排就是要充分利用醫(yī)院資源和使等待住院病人人數盡量少，這樣既可以提高醫(yī)院資源利用率，又可以提高病人滿意度。 對于醫(yī)院來說，為充分、合理利用病床資源，病人就不能在醫(yī)院住得太久；如果平均每天入院人數越大，則等待住院的病人就會越少。對于病人來說，他們希望的是等待時間盡可能少。 綜上，可確定以人均等待時間、人均住院時間、平均每天的入住量為評價指標體系，來評價該問題病床安排模型的優(yōu)劣。模型的建立各指標規(guī)范如下：模型的建立4.2問題二模型的建立 由模型準備的隨機擬合，我們可以得到第二天擬出院的人數，然后再安排哪些病人住院，以等待住院的某個病第二天住院與否為決策變量建立規(guī)劃模型。 假設現在是在第n天考慮第n+1天的安排住院情況。 ▲首先確定目標函數： 醫(yī)院進行床位安排有兩個目的： 一是按病種合理安排病床，使病人等待住院時間盡量少和在醫(yī)院等待手術的的時間盡量少；另一個是使未安排住院的病人總和等待時間盡量小。模型的建立 由此，將建立一個雙目標規(guī)劃模型，其目標任務如下Ⅰ、優(yōu)先級大的病種優(yōu)先服務，為了使病床的安排合理，我們按時間分情況討論，不同病種的病人應該有不同的優(yōu)先級系數，我們的目標是使得總的優(yōu)先級最大。Ⅱ、使等待住院的病人的等待時間盡量短，即使第二天還沒有安排住院的病人的綜合等待時間最小。即：

目標函數一： 其中

為第1到5類病人（單、雙眼白內障、視網膜疾病、青光眼和外傷）的優(yōu)先級因子，而且這些因子的值是隨著時間而變化的，在約束條件中我們將具體敘述。模型的建立

目標函數二：

其中

表示t時刻門診的m(1為外傷、2為白內障雙眼、3為白內障單眼、4為青光眼、5為視網膜疾病)類病人中未住院的第j個病人在n+1天是否被安排入住，0表示未安排入住、1表示安排入住。

表示t時刻門診的m類病人中未住院的第j個病人到n+1天已等待的天數。模型的建立 ▲然后我們挖掘約束條件，下面將挖掘的約束條件進行分析： （1）n+1天入住的人數不能超過n+1天出院的人數，我們以表示n+1天出院的人數。該約束可以表示為：模型的建立 （2）假如是星期六、日，對于白內障（雙眼）病人，他們在星期一就要開始做手術，而且他們術前準備時間為1~2天，他們只能是在星期六或星期天住進去，如果未能住入，他們將再等上一星期，所以這兩天要優(yōu)先安排他們入?。话變日希▎窝郏┑目砂才抛≡旱臅r間相對青光眼、視網膜疾病少一些，所以前者的優(yōu)先級系數也要相對后者大一些；另外外傷必須有絕對的優(yōu)先。該約束可以表示為：模型的建立 （3）假如是星期一、二，對于白內障（單眼）病人，如果還未能住入，他們將再等上一星期，所以要保證他們優(yōu)先；白內障（雙眼）由于兩只眼睛分開做，所以這兩天是不安排入住的；外傷必須有絕對的優(yōu)先。該約束可以表示為：模型的建立 （4）假如是星期三、四、五，對于白內障（雙眼）、白內障（單眼）這三天是不安排入住的；青光眼、視網膜疾病情況一樣，可安排入??；外傷必須有絕對的優(yōu)先。該約束可以表示為：模型的建立 （5）對于同一類病人，為了合理，還是要先來先住院。該約束可以表示為：模型的建立 （6）0-1約束

綜上所述，我們得到問題二的雙目標規(guī)劃模型為：模型的建立目標函數：

約束條件：模型的求解4.3問題二的求解4.3.1對問題二模型的求解

（1）根據各類病人術后時間觀察情況，隨機模擬出還未出院或門診的各類病人的術后觀察情況。該步在我們模型準備中已經進行，在此只需利用結果。

（2）將雙目標規(guī)劃模型轉化為單目標規(guī)劃模型。

為了求解該雙目標的規(guī)劃模型，我們必須將其轉化成單目標規(guī)劃模型。一般，領導者在權衡當前效益和長遠發(fā)展兩方面時，總是選擇一個令自己滿意的組合方式。對二者賦予權重,稱為偏好系數。因此目標函數為：模型的求解

經過調查與分析，取為0.6是比較合理的，所以我們取為0.6。 （3）確定第一天，即2008年9月12日出院病人數。 （4）經過用Lingo程序對模型計算，得到第一天安排哪些人入住。 （6）重復（3）、（4）直到將所有的門診病人都安排入院。

在算具體某一天的安排方案時，我們按照如下流程圖進行計算：模型的求解模型的求解

我們得到的結果如下表：

表計算得到的每天的病床安排方案（部分結果）序號類型門診時間入院時間第一次手術時間第二次手術時間出院時間2視網膜疾病2008-8-302008-9-122008-9-14///2008-9-233青光眼2008-8-302008-9-122008-9-14///2008-9-214視網膜疾病2008-8-302008-9-122008-9-14///2008-9-225視網膜疾病2008-8-302008-9-122008-9-14///2008-9-2710視網膜疾病2008-8-312008-9-122008-9-14///2008-9-2511視網膜疾病2008-8-312008-9-122008-9-14///2008-9-2812視網膜疾病2008-8-312008-9-122008-9-14///2008-9-2813青光眼2008-8-312008-9-122008-9-14///2008-9-2397外傷2008-9-112008-9-122008-9-13///2008-9-17模型的求解4.3.2用問題一的評價指標體系對問題二模型進行評價

對問題二模型結果的評價并與FCFS原則的評價結果進行比較。模型的求解

表2問題二模型結果的評價并與FCFS原則的評價結果的比較

從上表中可以看出，我們模型的結果比FCFS原則結果優(yōu)，但不很明顯。原因是原來已堆積了很多的病人，我們是在處理歷史遺留問題。為了更明顯的體現我們模型的優(yōu)越性，我們再隨機模擬出一段時間的門診病人，運用模型來進行求解，得到結果，結果見附錄三。然后再與上表進行對比，如下表：人均等待時間住院時間平均每天的入住量FCFS原則結果12.539.376.18問題二模型結果12.189.156.21模型的求解

表3問題二的三種結果評價指標比較

從上表可以看出我們的模型使評價指標體系中的每一指標都比FCFS原則優(yōu)，且隨著時間的推移，模型的優(yōu)越性越來越顯著。

人均等待時間住院時間T2+T3平均每天的入住量FCFS原則結果12.539.376.18問題二模型結果12.189.156.21追加安排的結果11.668.709.60模型的評價模型的優(yōu)點：

模型的實用性：病床的安排問題，實際上就