材料力學(xué)-第8章應(yīng)力狀態(tài)

2023/2/51第八章應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)2023/2/52基本變形的應(yīng)力計(jì)算和強(qiáng)度條件材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/53FF拉伸（壓縮）應(yīng)力計(jì)算公式：強(qiáng)度條件：其中，許用應(yīng)力：實(shí)驗(yàn)測(cè)得材料相應(yīng)的極限應(yīng)力安全因數(shù)（安全系數(shù)）材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/54彎曲變形應(yīng)力計(jì)算公式：強(qiáng)度條件：其中，許用應(yīng)力：?jiǎn)蜗蚶鞂?shí)驗(yàn)測(cè)得材料的極限應(yīng)力安全因數(shù)（安全系數(shù)）材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/55扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)力計(jì)算公式：強(qiáng)度條件：其中，許用切應(yīng)力：剪切實(shí)驗(yàn)測(cè)得材料的極限應(yīng)力安全因數(shù)（安全系數(shù)）材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/56可見(jiàn)，對(duì)于材料的拉伸、壓縮、彎曲和扭轉(zhuǎn)問(wèn)題其共同特點(diǎn)是：一是材料的危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)點(diǎn)只承受正應(yīng)力或切應(yīng)力二是需要實(shí)驗(yàn)直接確定失效時(shí)的極限應(yīng)力，并依此建立強(qiáng)度準(zhǔn)則但是，對(duì)于工程上的復(fù)雜結(jié)構(gòu)危險(xiǎn)點(diǎn)同時(shí)受正應(yīng)力和切應(yīng)力作用，很難用實(shí)驗(yàn)確定極限應(yīng)力如何分析材料危險(xiǎn)受力情況以及極限荷載？應(yīng)力狀態(tài)材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/57應(yīng)力狀態(tài)的基本概念平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析應(yīng)力圓主應(yīng)力與主平面空間應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/58應(yīng)力狀態(tài)的基本概念1.

什么是應(yīng)力狀態(tài)？3.

描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的方法

2.

為什么要研究應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/59應(yīng)力狀態(tài)的概念——過(guò)一點(diǎn)、在不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（StateoftheStressesofaGivenPoint）。應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/510應(yīng)力的點(diǎn)的概念

—同一截面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同

橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。FQ橫截面上切應(yīng)力分布橫截面上正應(yīng)力分布FNxMz應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/511應(yīng)力的面的概念—同一點(diǎn)處不同方向面上的應(yīng)力各不相同受力之前,桿件表面同一點(diǎn)處取一正方形受拉后，正方形變成了矩形，直角沒(méi)有改變。應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析受拉后，正方形變成菱形。2023/2/512低碳鋼拉伸實(shí)驗(yàn)鑄鐵拉伸實(shí)驗(yàn)韌性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/513應(yīng)力的面的概念—過(guò)同一點(diǎn)不同方向面上的應(yīng)力各不相同斜截面上存在正應(yīng)力和切應(yīng)力橫截面上只有正應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/514

受扭之前，圓軸表面為正圓。

思考題TT為什么變?yōu)闄E圓？受扭后，圓形變?yōu)槭裁葱螤睿繎?yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/515為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)沿45o螺旋面斷開(kāi)？低碳鋼扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/516同一點(diǎn)不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同，此即應(yīng)力的面的概念。應(yīng)力指明

哪一點(diǎn)？哪個(gè)方向面？應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/517

為什么要研究應(yīng)力狀態(tài)不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力。不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，而且也要研究斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/518微元及其各面上一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的描述

dxdydz微元（Element）

描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的基本方法

應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/519三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)(Three-DimensionalStateofStresses)yxz應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/520平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)yxz應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/521xyxy單向應(yīng)力狀態(tài)(OneDimensionalStateofStresses)純切應(yīng)力狀態(tài)

(ShearingStateofStresses)應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析

(PlaneStateofStresses)平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)2023/2/522三向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純切應(yīng)力狀態(tài)特例特例應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/523F例：畫(huà)出圖示矩形截面梁在紅線截出橫截面內(nèi)不同點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)Qyz1123455432應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析

思考：畫(huà)出橫截面A上各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)。A2023/2/524T例2：畫(huà)出圖示螺旋槳軸桿表面一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1.螺旋槳帶動(dòng)軸桿向前，產(chǎn)生拉力FF2.軸桿帶動(dòng)螺旋槳旋轉(zhuǎn)，有扭轉(zhuǎn)作用T應(yīng)力狀態(tài)的基本概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/525平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/526平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析α平面應(yīng)力狀態(tài)分析的目的：分析過(guò)一點(diǎn)任意角度方向面上的應(yīng)力分布分析方法：將所求方向的斜截面與微元所形成三角形微元取出，通過(guò)平衡方程求解xs2023/2/527

方向角與應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)約定

微元的局部平衡

平面應(yīng)力狀態(tài)中任意方向面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/528拉為正壓為負(fù)正應(yīng)力：拉為正，壓為負(fù)

方向角與應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)約定平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/529使微元順時(shí)針?lè)睫D(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。切應(yīng)力：

方向角與應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)約定※

引入正負(fù)號(hào)之后平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/530

方向角與應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)約定α方向角由

x軸指向逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?；反之為?fù)。xy平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析dAα2023/2/531tyxx′

平衡方程y'

平衡對(duì)象——用

斜截面截取的微元局部

參加平衡的量：力——應(yīng)力乘以其作用的面積

微元的局部平衡

xs平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/532x′tyxdAαxs平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析α2023/2/533y′tyxdAαxs

課堂思考：根據(jù)y′方向的平衡條件寫(xiě)出的表達(dá)式平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/534xdA根據(jù)和方向上的平衡條件：由三角倍角公式，可得到任意方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力：平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/535507010030°70例題1：圖示微元，表面正應(yīng)力與切應(yīng)力已知。求法向與x軸正向成30°的斜面上所受正應(yīng)力與切應(yīng)力。所示應(yīng)力單位為MPa。解：平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/536平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析例題2：兩端密封圓柱形壓力容器，圓筒部分由壁厚為δ，寬度為b的塑條壓成螺旋狀并熔接而成。圓筒內(nèi)徑，容器承受內(nèi)壓強(qiáng)p，若熔接部分承受的拉應(yīng)力不得超過(guò)塑條中最大拉應(yīng)力的80%，試求塑條許可寬度b。2023/2/537平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/538平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析Ｄlp1s2sσ1=?σ2=?222023/2/539平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析Ｄp111

(2

l)ppDll1s2s2023/2/540平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/541平面應(yīng)力狀態(tài)分析材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析由幾何關(guān)系代入表達(dá)式，并考慮得：若熔接部分承受的拉應(yīng)力不得超過(guò)塑條中最大拉應(yīng)力的80%，試求塑條許可寬度b2023/2/542應(yīng)力圓材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/543

應(yīng)力圓方程

應(yīng)力圓的畫(huà)法

應(yīng)力圓的應(yīng)用

材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/544由微元任意方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力公式兩方程等號(hào)左右兩邊同時(shí)平方后相加：

應(yīng)力圓方程

材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓α2023/2/545應(yīng)力圓方程：該方程描述了以為橫軸，為縱軸的坐標(biāo)系。這種圓稱為應(yīng)力圓（stresscircle）或莫爾圓（Mohrcircle）。應(yīng)力圓的圓心位于橫軸，圓心坐標(biāo)為：圓半徑為：OR材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/546Oa(sx,txy)BBb(sy,tyx)建立坐標(biāo)系由面找點(diǎn)確定圓心和半徑ABAABB

應(yīng)力圓的畫(huà)法

材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓c2023/2/547

二倍角對(duì)應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是方向面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。

轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；

點(diǎn)面對(duì)應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著微元某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；

應(yīng)力圓與微元應(yīng)力狀態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/548A點(diǎn)面對(duì)應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著微元某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；A材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/549ADnxAθD轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；二倍角對(duì)應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是方向面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/550

二倍角對(duì)應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是方向面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。

轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；

點(diǎn)面對(duì)應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著微元某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；

應(yīng)力圓與微元應(yīng)力狀態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/551Oca(sx,txy)BBb(sy,tyx)建立坐標(biāo)系由面找點(diǎn)確定圓心和半徑ABAABB

應(yīng)力圓的畫(huà)法

材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/552材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓課堂練習(xí)畫(huà)出下圖應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓：(-140,-80)(0,80)(-70,0)2023/2/553已知某點(diǎn)兩截面應(yīng)力(MPa)，試畫(huà)出該點(diǎn)應(yīng)力圓，并求出圖中兩截面夾角。40103020AB建立坐標(biāo)系由面找點(diǎn)確定圓心和半徑

思考：材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/554

在應(yīng)用過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)將應(yīng)力圓作為思考、分析問(wèn)題的工具，而不是計(jì)算工具。

應(yīng)力圓的應(yīng)用

材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/555sxsxtso2×45o2×45oBEADadcbeEEBB45o45o拉中有剪的例子：材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/556ctso2×45o2×45oadbesxsxEBEBsxsx材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/557EBsxsx

軸向拉伸時(shí)，45o方向面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力，正應(yīng)力不是最大值，切應(yīng)力卻最大。材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/558ots2×45o2×45osy'＝tsx'＝－tBEDAttd(0,-t)Ca(0,t)eb剪中有拉的例子：材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/559sy'＝tsx'＝－tBEDAttsy'＝tsx'＝－tBE材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/560

在純切應(yīng)力狀態(tài)下，45o方向面上只有正應(yīng)力沒(méi)有剪應(yīng)力，而且正應(yīng)力為最大值。DAttsy'＝tsx'＝－tBE材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/561例題3：圖示圓桿分別采用低碳鋼（a）和鑄鐵（b）進(jìn)行扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，低碳鋼斷裂面垂直于軸線，鑄鐵的斷裂面與軸線成45°角。試采用應(yīng)力圓分析該兩種材料不同的斷裂特性。（a）低碳鋼（b）鑄鐵材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓2023/2/562解：圓桿扭轉(zhuǎn)，微元為平面應(yīng)力狀態(tài)。取圓桿表面微元，可知該微元的應(yīng)力狀態(tài)為純剪。材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓OAABBCC2023/2/563最大切應(yīng)力的方向角αs＝0°與低碳鋼的斷裂面一致，所以低碳鋼是剪力引起破壞。與鑄鐵的斷裂面一致，所以

鑄鐵這種脆性破壞是拉應(yīng)力引起。最大拉應(yīng)力的方向角α0＝45°材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓ABCOABC2023/2/564思考：1.

正應(yīng)力最大時(shí)的方向角與切應(yīng)力最大時(shí)的方向角有什么關(guān)系？2.

正應(yīng)力最大的平面上切應(yīng)力是否一定為零？3.

切應(yīng)力最大的平面上正應(yīng)力是否一定為零？5.

平面內(nèi)最大切應(yīng)力是否是過(guò)一點(diǎn)所有方向面中切應(yīng)力的最大值？4.平面內(nèi)最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力之間有何關(guān)系？材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力圓OR2023/2/565主應(yīng)力與主平面材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/566材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面

主平面、主應(yīng)力與主方向

平面應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力問(wèn)題：1.過(guò)一點(diǎn)所有方向面上的最大正應(yīng)力、最大切應(yīng)力是多少？2.最大正應(yīng)力所在平面？2023/2/567材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面極值正應(yīng)力最大切應(yīng)力最大正應(yīng)力所在平面2023/2/568材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面主平面:主方向：主應(yīng)力：定義切應(yīng)力為零的平面（極值正應(yīng)力所在平面）主平面外法線方向主平面上的正應(yīng)力（極值正應(yīng)力）2023/2/569材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面相鄰主平面一定兩兩相互垂直，由三對(duì)互垂主平面所構(gòu)成的微體成為主平面微體主應(yīng)力：3個(gè)（平面內(nèi)2個(gè)＋平面外1個(gè)）問(wèn)：空間內(nèi)一點(diǎn)有幾個(gè)主應(yīng)力、主平面、主方向？主平面和主方向：3對(duì)問(wèn)：主平面之間的相互關(guān)系？平面應(yīng)力狀態(tài)是主應(yīng)力的特殊情況主應(yīng)力排序2023/2/570由主方向方向角公式：代入任意方向面正應(yīng)力公式解析法求平面應(yīng)力狀態(tài)下的三個(gè)主應(yīng)力材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面2023/2/571

平面應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力

將以上三個(gè)主應(yīng)力按照代數(shù)值由大到小排列，并分別用表示則有：材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面2023/2/572

平面應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力

FFFFFF※材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面2023/2/573應(yīng)力圓與三個(gè)主應(yīng)力材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面應(yīng)力圓處于坐標(biāo)軸不同位置時(shí)，三個(gè)主應(yīng)力的排序略有不同

主應(yīng)力排序

s1s2

s32qptx'y'sx'ocbeadss2023/2/574主應(yīng)力排序tx'y'sx'oadcbess材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面應(yīng)力圓處于坐標(biāo)軸不同位置時(shí)，三個(gè)主應(yīng)力的排序略有不同2023/2/575tx'ysxoadcbess材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面應(yīng)力圓處于坐標(biāo)軸不同位置時(shí)，三個(gè)主應(yīng)力的排序略有不同主應(yīng)力排序2023/2/576x-y坐標(biāo)系x′-y′坐標(biāo)系σ'-σ''坐標(biāo)系同一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)有無(wú)窮多種表達(dá)形式。其中，以主應(yīng)力的表達(dá)最為簡(jiǎn)單材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面主應(yīng)力是反映應(yīng)力狀態(tài)本質(zhì)的特征量2023/2/577

根據(jù)主應(yīng)力的大小與方向可以確定材料何時(shí)發(fā)生失效或破壞，確定失效或破壞的形式。因此，可以說(shuō)主應(yīng)力是反映應(yīng)力狀態(tài)本質(zhì)的特征量。材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面2023/2/578例題

4已知:應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。解：1.確定主應(yīng)力

試求：1．寫(xiě)出主應(yīng)力1、2、3的表達(dá)式；

2．若已知x＝63.7MPa，xy=76.4MPa，當(dāng)坐標(biāo)軸x、y反時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)=120后至x′、y′

，求:

x′、τx′y′

。

應(yīng)用平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力公式材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面2023/2/579解：1.確定主應(yīng)力

應(yīng)用平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力公式因?yàn)閥＝0，所以有又因?yàn)槭瞧矫鎽?yīng)力狀態(tài)，故有材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面2023/2/580于是，根據(jù)1＞2＞3的排列順序，得

材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面2023/2/581解：2.計(jì)算方向面法線旋轉(zhuǎn)后的應(yīng)力分量

將已知數(shù)據(jù)x＝63.7MPa，y＝0，xy＝－yx=76.4MPa，=120等代入任意方向面上應(yīng)力分量的表達(dá)式

，求得：

材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面2023/2/582例題5：如圖，薄壁圓管受扭轉(zhuǎn)和拉伸同時(shí)作用。圓管平均直徑D＝50mm，壁厚δ＝2mm。外加力偶矩Me＝600N?m，軸向載荷Fp＝20kN。薄壁管截面的扭轉(zhuǎn)截面模量可近似取為。1.求圓管表面上過(guò)D點(diǎn)與母線夾角為30°的斜截面上的應(yīng)力。2.求D點(diǎn)的主應(yīng)力與最大切應(yīng)力。材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面2023/2/583解：1.取微元，利用拉伸和圓軸扭轉(zhuǎn)公式計(jì)算微元各面上的應(yīng)力：2.求斜截面上的應(yīng)力，首先：則材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面2023/2/584解：3.確定主應(yīng)力與最大切應(yīng)力：根據(jù)最大主應(yīng)力計(jì)算公式求得面內(nèi)主應(yīng)力另因?yàn)槠矫鎽?yīng)力狀態(tài)，有按照代數(shù)值大小排序，D點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為：D點(diǎn)的最大切應(yīng)力為：材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力與主平面2023/2/585空間應(yīng)力狀態(tài)的概念材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/586過(guò)一點(diǎn)所有方向面中的最大切應(yīng)力

材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念O平面內(nèi)最大切應(yīng)力：空間應(yīng)力狀態(tài)下

極值切應(yīng)力？2023/2/587為確定過(guò)一點(diǎn)的所有方向面上的最大切應(yīng)力，考察主平面微元體過(guò)一點(diǎn)所有方向面中的最大切應(yīng)力

材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/2/588材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念txysxIs2s3第I組方向面內(nèi)的最大切應(yīng)力所在平面內(nèi)的應(yīng)力不受的影響2023/2/589材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念第II組方向面內(nèi)的最大切應(yīng)力所在平面內(nèi)的應(yīng)力不受的影響IIIs2s3txysxOs12023/2/590材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念第III組方向面內(nèi)的最大切應(yīng)力所在平面內(nèi)的應(yīng)力不受的影響IIItxysxOs3IIIs2s12023/2/591對(duì)任意一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)，均可以找到一個(gè)特殊的方向角，使得微元上僅有三個(gè)主應(yīng)力作用。材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/2/592s1IIIs3IIIs2Otxysx微元任意方向面上的應(yīng)力對(duì)應(yīng)著三向應(yīng)力圓陰影區(qū)域某一點(diǎn)的坐標(biāo)。最大正應(yīng)力：最大切應(yīng)力：最小正應(yīng)力：三向應(yīng)力狀態(tài)下：材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念三向應(yīng)力圓2023/2/593

已知:三向應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，圖中應(yīng)力的單位為MPa。例題

6

試求：主應(yīng)力及微元內(nèi)的最大切應(yīng)力。材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/2/594故微元上平行于的方向面上的應(yīng)力值與無(wú)關(guān)。因此，當(dāng)確定這一組方向面上的應(yīng)力，以及這一組方向面中的主應(yīng)力和時(shí)，可以將所給的應(yīng)力狀態(tài)視為平面應(yīng)力狀態(tài)。

解：所給的應(yīng)力狀態(tài)中有一個(gè)主應(yīng)力是已知的，即材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/2/595這與平面應(yīng)力狀態(tài)相類(lèi)似。于是，平面應(yīng)力狀態(tài)下主應(yīng)力和公式可直接應(yīng)用解：所給的應(yīng)力狀態(tài)中有一個(gè)主應(yīng)力是已知的，即材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/2/596

本例中x=－20Mpa，xy=－40MPa。據(jù)此，求得

材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/2/597根據(jù)123的排列順序，可以寫(xiě)出微元內(nèi)的最大切應(yīng)力材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/2/598

例題

7obatmax20030050(MPa)

求：平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力1、2

、3和最大切應(yīng)力tmax。AB材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/2/599Ob2005030050(MPa)tmax

例題

8

求：平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力1、2

、3和最大切應(yīng)力tmax。aAB材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/2/5100O300100(MPa)tmax例題

9

求：平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力1、2

、3和最大切應(yīng)力tmax。abAB材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析空間應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/2/5101

各向同性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/510211橫向變形與泊松比μ

——泊松比1＋xyx1－x

廣義胡克定律

各向同性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/5103三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法：各向同性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/5104yzx對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，廣義胡克定律為各向同性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/5105證明：對(duì)于各向同性材料，三個(gè)彈性常數(shù)滿足以下關(guān)系各向同性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析例題

2023/2/5106各向同性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析解：構(gòu)造一個(gè)剪中有拉的應(yīng)力狀態(tài)O＝2023/2/5107如圖，邊長(zhǎng)為a的鋼塊嵌在理想剛性的槽內(nèi)，并受集中力F作用。已知鋼塊彈性模量E，泊松比μ，求鋼塊的主應(yīng)力，主應(yīng)變。各向同性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析例題

其中2023/2/5108一大小未知的矩形平板雙向受拉，拉應(yīng)力已知，平板彈性模量E，受力前在平板內(nèi)畫(huà)有一個(gè)半徑為a的圓。問(wèn)：受力后該圓的面積為多少？各向同性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析例題

2023/2/5109

空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/5110

總應(yīng)變能密度

體積改變能密度與畸變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/5111微元應(yīng)變能(strainenergy)dydxdz力的作用點(diǎn)所產(chǎn)生的位移

總應(yīng)變能密度

空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/5112dW=力在位移上所做的功轉(zhuǎn)變?yōu)槲⒃膽?yīng)變能=dV空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/5113應(yīng)變能密度(strain-energydensity)空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度材料力學(xué)－第8章應(yīng)力狀態(tài)分析2023/2/5114+將一般應(yīng)力狀態(tài)分解為兩種特殊情形

體積改變能密度與形狀改變能密度

不改變形狀，但改變體積不改變體積，但改變形狀空間