高數-第五章文科高等數學

第三章變量變化速度與局部改變量估值問題——導數與微分數學中研究導數、微分及其應用的部分，叫做微分學.研究不定積分、定積分及其應用的部分，叫做積分學.微積分學本章介紹導數、微分的概念及其運算法則.可追溯到古希臘和我國魏晉時期16世紀應用萌生微積分學的創(chuàng)始人:德國數學家Leibniz微分學導數描述函數變化快慢微分描述函數變化程度都是描述物質運動的工具(從微觀上研究函數)導數思想最早由法國數學家Ferma

在研究極值問題中提出.英國數學家Newton牛頓(1642–1727)偉大的英國數學家,物理學家,天文學家和自然科學家.他在數學上的卓越貢獻是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(微分)術,次年又提出反流數(積分)術,并于1671年完成《流數術與無窮級數》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學的數學原理》和《廣義算術》等.萊布尼茨

(1646–1716)德國數學家,哲學家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關微積分學的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓.他還設計了作乘法的計算機,系統(tǒng)地闡述二進制計數法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.第一節(jié)

函數的局部變化率導數一、導數的概念與幾何意義二、可導與連續(xù)的關系

三、高階導數的定義主要內容：如圖,取極限得

自由落體運動s=的瞬時速度問題一、抽象導數概念的現實原型原型一曲線的切線斜率曲線在M

點處的切線割線MN

的極限位置MT(當時)割線MN

的斜率切線MT的斜率兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是質量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題(一).導數的定義1.函數在x0處的導數.定義:設函數在點x0的某個鄰域內有定義,當自變量在點x0處取得改變量時,函數取得相應的改變量如果當時,的極限存在,即:則稱此極限值為在點x0處的導數(或微商)記為:二、導數的概念與幾何意義存在若也稱在的導數為無窮大

.說明:1.兩種表達形式:2.一致性說明1.是瞬時變化率是平均變化率導數是平均變化率的極限2.是表示導數的一個整體符號.3.點導數是因變量在這點的變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.2.自由落體運動的瞬時速度問題1.切線問題回顧原型一與原型二導數的幾何意義.物理意義1).幾何意義切線方程為2).物理意義非均勻變化量的瞬時變化率.變速直線運動:路程對時間的導數為物體的瞬時速度.稱為[t,t0]上的平均速度.三、由定義求導數步驟:(1)

求增量(2)

算比值(3)

求極限算比值注：常數的導數等于零.求增量求極限(2)算比值(3)求極限(1)求增量求增量算比值求極限(2)算比值(3)求極限(1)求增量例如,例2—例4的結果可以推廣到冪函數解cosx是連續(xù)函數例解一般地：例如,證明:對數函數的導函數常用函數的導數：特別地特別地四、左導數和右導數右導數：左導數：定理

斜率為－1

斜率為1提示與分析：斜率為－1

斜率為1斜率為－1

斜率為1五、可導與連續(xù)的關系

反之不一定成立.可導一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導.定理

定理凡可導函數都是連續(xù)函數.證注意:該定理的逆定理不成立.例:設問a,b為何值時,函數f