高數(shù)-第五章文科高等數(shù)學(xué)

第三章變量變化速度與局部改變量估值問題——導(dǎo)數(shù)與微分?jǐn)?shù)學(xué)中研究導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用的部分，叫做微分學(xué).研究不定積分、定積分及其應(yīng)用的部分，叫做積分學(xué).微積分學(xué)本章介紹導(dǎo)數(shù)、微分的概念及其運(yùn)算法則.可追溯到古希臘和我國魏晉時(shí)期16世紀(jì)應(yīng)用萌生微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家Ferma

在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家Newton牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茨

(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.第一節(jié)

函數(shù)的局部變化率導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義二、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

三、高階導(dǎo)數(shù)的定義主要內(nèi)容：如圖,取極限得

自由落體運(yùn)動(dòng)s=的瞬時(shí)速度問題一、抽象導(dǎo)數(shù)概念的現(xiàn)實(shí)原型原型一曲線的切線斜率曲線在M

點(diǎn)處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時(shí))割線MN

的斜率切線MT的斜率兩個(gè)問題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題(一).導(dǎo)數(shù)的定義1.函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù).定義:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在點(diǎn)x0處取得改變量時(shí),函數(shù)取得相應(yīng)的改變量如果當(dāng)時(shí),的極限存在,即:則稱此極限值為在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或微商)記為:二、導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義存在若也稱在的導(dǎo)數(shù)為無窮大

.說明:1.兩種表達(dá)形式:2.一致性說明1.是瞬時(shí)變化率是平均變化率導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限2.是表示導(dǎo)數(shù)的一個(gè)整體符號(hào).3.點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在這點(diǎn)的變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.2.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題1.切線問題回顧原型一與原型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義.物理意義1).幾何意義切線方程為2).物理意義非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.變速直線運(yùn)動(dòng):路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度.稱為[t,t0]上的平均速度.三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:(1)

求增量(2)

算比值(3)

求極限算比值注：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零.求增量求極限(2)算比值(3)求極限(1)求增量求增量算比值求極限(2)算比值(3)求極限(1)求增量例如,例2—例4的結(jié)果可以推廣到冪函數(shù)解cosx是連續(xù)函數(shù)例解一般地：例如,證明:對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：特別地特別地四、左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)：左導(dǎo)數(shù)：定理

斜率為－1

斜率為1提示與分析：斜率為－1

斜率為1斜率為－1

斜率為1五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

反之不一定成立.可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo).定理

定理凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證注意:該定理的逆定理不成立.例:設(shè)問a,b為何值時(shí),函數(shù)f