2023屆湖北省黃石市重點中學高三3月份第一次模擬考試數學試卷含解析

2023年高考數學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，內角的平分線交邊于點，，，，則的面積是（）A． B． C． D．2．已知函數，滿足對任意的實數，都有成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．4．網絡是一種先進的高頻傳輸技術，我國的技術發(fā)展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機，現調查得到該款手機上市時間和市場占有率（單位：%）的幾組相關對應數據.如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據數據得出關于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款手機市場占有率能超過0.5%（精確到月）（）A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月5．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB的中點，若，且，則面積的最大值是()A． B． C． D．6．已知數列滿足,(),則數列的通項公式()A． B． C． D．7．若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．8．如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為（）A． B． C． D．9．已知定義在上的函數，若函數為偶函數，且對任意，，都有，若，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知實數，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知過點且與曲線相切的直線的條數有（）．A．0 B．1 C．2 D．312．一個陶瓷圓盤的半徑為，中間有一個邊長為的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發(fā)現落在正方形花紋上的米共有51粒，據此估計圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.147二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用數字、、、、、組成無重復數字的位自然數，其中相鄰兩個數字奇偶性不同的有_____個.14．已知向量，，若滿足，且方向相同，則__________．15．為激發(fā)學生團結協(xié)作，敢于拼搏，不言放棄的精神，某校高三5個班進行班級間的拔河比賽．每兩班之間只比賽1場，目前（—）班已賽了4場，（二）班已賽了3場，（三）班已賽了2場，（四）班已賽了1場．則目前（五）班已經參加比賽的場次為__________．16．已知復數z1＝1﹣2i，z2＝a+2i（其中i是虛數單位，a∈R），若z1?z2是純虛數，則a的值為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正方形所在平面外一點滿足，其中分別是與的中點.（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.18．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為(為參數)，直線與曲線交于兩點.(1)求的長；(2)在以為極點，軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，設點的極坐標為，求點到線段中點的距離.19．（12分）函數（1）證明：；（2）若存在，且，使得成立，求取值范圍.20．（12分）已知函數，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.21．（12分）已知動點到定點的距離比到軸的距離多.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設，是軌跡在上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.22．（10分）如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若點在線段上，且平面，，，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，進而求出，然后利用三角形的面積公式可計算出的面積.【詳解】為的角平分線，則.，則，，在中，由正弦定理得，即，①在中，由正弦定理得，即，②①②得，解得，，由余弦定理得，，因此，的面積為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積的計算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題.2、B【解析】

由題意可知函數為上為減函數，可知函數為減函數，且，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】由題意知函數是上的減函數，于是有，解得，因此，實數的取值范圍是．故選：B.【點睛】本題考查利用分段函數的單調性求參數，一般要分析每支函數的單調性，同時還要考慮分段點處函數值的大小關系，考查運算求解能力，屬于中等題.3、D【解析】

構造函數，利用導數求得的單調區(qū)間，由此判斷出的大小關系.【詳解】依題意，得，，.令，所以.所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用導數求函數的單調區(qū)間，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查對數式比較大小，屬于中檔題.4、C【解析】

根據圖形，計算出，然后解不等式即可.【詳解】解：，點在直線上，令因為橫軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，故選：C【點睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數以及線性回歸方程的實際應用，基礎題.5、A【解析】

根據正弦定理可得，求出，根據平方關系求出.由兩端平方，求的最大值，根據三角形面積公式，求出面積的最大值.【詳解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點，且，，即，即，，當且僅當時，等號成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數量積運算，屬于中檔題.6、A【解析】

利用數列的遞推關系式，通過累加法求解即可．【詳解】數列滿足：，，可得以上各式相加可得：，故選：．【點睛】本題考查數列的遞推關系式的應用，數列累加法以及通項公式的求法，考查計算能力．7、C【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，由點到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計算即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．8、B【解析】

根據三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據幾何體的各面面積可得最大面的面積．【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題．9、A【解析】

根據題意，分析可得函數的圖象關于對稱且在上為減函數，則不等式等價于，解得的取值范圍，即可得答案.【詳解】解:因為函數為偶函數，所以函數的圖象關于對稱，因為對任意，，都有，所以函數在上為減函數，則，解得：.即實數的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查函數的對稱性與單調性的綜合應用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.10、B【解析】

畫出可行域，根據可行域上的點到原點距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，，三點所圍成的三角形及其內部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內的點到原點距離的平方，顯然原點到所在的直線的距離是可行域內的點到原點距離的最小值，此時，點到原點的距離是可行域內的點到原點距離的最大值，此時.所以的取值范圍是.故選：B【點睛】本小題考查線性規(guī)劃，兩點間距離公式等基礎知識；考查運算求解能力，數形結合思想，應用意識.11、C【解析】

設切點為，則，由于直線經過點，可得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關于的方程，從而可求方程．【詳解】若直線與曲線切于點，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點與曲線相切的直線方程為或，故選C．【點睛】本題主要考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導數的幾何意義求解切線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．12、B【解析】

結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B【點睛】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對首位數的奇偶進行分類討論，利用分步乘法計數原理和分類加法計數原理可得出結果.【詳解】①若首位為奇數，則第一、三、五個數位上的數都是奇數，其余三個數位上的數為偶數，此時，符號條件的位自然數個數為個；②若首位數為偶數，則首位數不能為，可排在第三或第五個數位上，第二、四、六個數位上的數為奇數，此時，符合條件的位自然數個數為個.綜上所述，符合條件的位自然數個數為個.故答案為：.【點睛】本題考查數的排列問題，要注意首位數字的分類討論，考查分步乘法計數和分類加法計數原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.14、【解析】

由向量平行坐標表示計算．注意驗證兩向量方向是否相同．【詳解】∵，∴，解得或，時，滿足題意，時，，方向相反，不合題意，舍去．∴．故答案為：1．【點睛】本題考查向量平行的坐標運算，解題時要注意驗證方向相同這個條件，否則會出錯．15、2【解析】

根據比賽場次，分析，畫出圖象，計算結果.【詳解】畫圖所示，可知目前（五）班已經賽了2場．故答案為：2【點睛】本題考查推理，計數原理的圖形表示，意在考查數形結合分析問題的能力，屬于基礎題型.16、-1【解析】

由題意，令即可得解.【詳解】∵z1＝1﹣2i，z2＝a+2i，∴，又z1?z2是純虛數，∴，解得：a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查了復數的概念和運算，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先證明EF平面，即可求證；（2）根據二面角的余弦值，可得平面，以為坐標原點，建立空間直角坐標系,利用向量計算線面角即可.【詳解】（1）連接，交于點，連結.則，故面.又面，因此.（2）由（1）知即為二面角的平面角，且.在中應用余弦定理，得，于是有，即，從而有平面.以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,則，于是，，設平面的法向量為，則，即，解得于是平面的一個法向量為.設直線與平面所成角為，因此.【點睛】本題主要考查了線面垂直，線線垂直的證明，二面角，線面角的向量求法，屬于中檔題.18、（1）;（2）.【解析】

（1）將直線的參數方程化為直角坐標方程，由點到直線距離公式可求得圓心到直線距離，結合垂徑定理即可求得的長；（2）將的極坐標化為直角坐標，將直線方程與圓的方程聯立，求得直線與圓的兩個交點坐標，由中點坐標公式求得的坐標，再根據兩點間距離公式即可求得.【詳解】（1）直線的參數方程為(為參數)，化為直角坐標方程為，即直線與曲線交于兩點.則圓心坐標為，半徑為1，則由點到直線距離公式可知，所以.（2）點的極坐標為，化為直角坐標可得，直線的方程與曲線的方程聯立，化簡可得，解得，所以兩點坐標為，所以，由兩點間距離公式可得.【點睛】本題考查了參數方程與普通方程轉化，極坐標與直角坐標的轉化，點到直線距離公式應用，兩點間距離公式的應用，直線與圓交點坐標求法，屬于基礎題.19、（1）證明見詳解；（2）或或【解析】

（1）（2）首先用基本不等式得到，然后解出不等式即可【詳解】（1）因為所以（2）當時所以當且僅當即時等號成立因為存在，且，使得成立所以所以或解得：或或【點睛】1.要熟練掌握絕對值的三角不等式，即2.應用基本不等式求最值時要滿足“一正二定三相等”.20、（1）；（2）【解析】

（1）由,可求出的值,進而可求得的解析式;（2）分別求得和的值域,再結合兩個函數的值域間的關系可求出的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,解得,故.（2）因為,所以,所以，則,圖象的對稱軸是.因為,所以,則,解得,故的取值范圍是.【點睛】本題考查了三角函數的恒等變換,考查了二次函數及三角函數值域的求法,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.21、（1）或；（2）證明見解析，定點【解析】

（1）設，由題意可知，對的正負分情況討論，從而求得動點的軌跡的方程；（2）設其方程為，與拋物線方程聯立，利用韋達定理得到，所以，所以直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點．【詳解】（1）設，動點到定點的距離比到軸的距離多，，時，解得，時，解得.動點的軌跡的方程為或（2）證明：如圖，設，，由題意得（否則）且，所以直線的斜率存在，設其方程為，將與聯立消去，得，由韋達定理知，，①顯然，，，，將①式代入上式整理化簡可得：，所以，此時，直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點.【點睛】本題主要考查了