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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則點(diǎn)的軌跡方程是()A. B.C. D.2.造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國(guó)古代四大發(fā)明,此說(shuō)法最早由英國(guó)漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來(lái)許多中國(guó)的歷史學(xué)家所繼承,普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對(duì)中國(guó)古代的政治,經(jīng)濟(jì),文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)作用.某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生500名,隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問(wèn)中國(guó)古代四大發(fā)明,能說(shuō)出兩種發(fā)明的有45人,能說(shuō)出3種及其以上發(fā)明的有32人,據(jù)此估計(jì)該校三級(jí)的500名學(xué)生中,對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有()A.69人 B.84人 C.108人 D.115人3.復(fù)數(shù)的模為().A. B.1 C.2 D.4.已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.45.已知向量,(其中為實(shí)數(shù)),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.若集合,則=()A. B. C. D.7.函數(shù)的部分圖像如圖所示,若,點(diǎn)的坐標(biāo)為,若將函數(shù)向右平移個(gè)單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱,則的最小值為()A. B. C. D.8.如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若,則λ+μ的值為()A. B. C. D.9.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,是橢圓的右焦點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.10.已知棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的四個(gè)面中,最大面積為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),若函數(shù)的圖象恒在軸的上方,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.12.已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,其底面邊長(zhǎng)為4,、、分別為側(cè)棱,,的中點(diǎn).若在三棱錐內(nèi),且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍,則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知x,y>0,且,則x+y的最小值為_____.14.已知函數(shù),若方程的解為,(),則_______;_______.15.從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為__________.16.某種牛肉干每袋的質(zhì)量服從正態(tài)分布,質(zhì)檢部門的檢測(cè)數(shù)據(jù)顯示:該正態(tài)分布為,.某旅游團(tuán)游客共購(gòu)買這種牛肉干100袋,估計(jì)其中質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是_____袋.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知分別是的內(nèi)角的對(duì)邊,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面積.(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的值.18.(12分)已知函數(shù),其中.(1)函數(shù)在處的切線與直線垂直,求實(shí)數(shù)的值;(2)若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn),且.①求實(shí)數(shù)的取值范圍;②求證:.19.(12分)本小題滿分14分)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度20.(12分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.21.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面為正方形,,,,,為的中點(diǎn),為棱上的一點(diǎn).(1)證明:面面;(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求二面角余弦值.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
設(shè)坐標(biāo),根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出,從而可利用表示出;由坐標(biāo)運(yùn)算表示出,代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè),,其中,,即關(guān)于軸對(duì)稱故選:【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解,涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算;關(guān)鍵是利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.2、D【解析】
先求得名學(xué)生中,只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的人數(shù),由此利用比例,求得名學(xué)生中對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中,只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有人,設(shè)對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有人,則,解得人.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用樣本估計(jì)總體,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】解:,復(fù)數(shù)的模為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的求法,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
將直線方程代入拋物線方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值.【詳解】F(1,0),故直線AB的方程為y=x﹣1,聯(lián)立方程組,可得x2﹣6x+1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=6,x1x2=1.由拋物線的定義可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.5、A【解析】
結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,將兩個(gè)條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當(dāng),則,解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本小題考查平面向量的運(yùn)算,向量垂直,充要條件等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識(shí).6、C【解析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)圖象以及題中所給的條件,求出和,即可求得的解析式,再通過(guò)平移變換函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱,求得的最小值.【詳解】由于,函數(shù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為,所以函數(shù)的半個(gè)周期,所以,又,,則有,可得,所以,將函數(shù)向右平移個(gè)單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱,即平移后為偶函數(shù),所以的最小值為1,故選:B.【點(diǎn)睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關(guān)鍵,要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系,屬于簡(jiǎn)單題目.8、B【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示,利用,列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(0,0).不妨設(shè)AB=1,則CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),解得則.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了由平面向量線性運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù),屬于中檔題.9、A【解析】
聯(lián)立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標(biāo),然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得,由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因?yàn)?所以,所以.所以,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn),考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由三視圖可知,該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形,平面,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即可.【詳解】由三視圖可知,該三棱錐如圖所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三視圖知,因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)闉榈冗吶切危?所以該三棱錐的四個(gè)面中,最大面積為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.11、B【解析】
函數(shù)的圖象恒在軸的上方,在上恒成立.即,即函數(shù)的圖象在直線上方,先求出兩者相切時(shí)的值,然后根據(jù)變化時(shí),函數(shù)的變化趨勢(shì),從而得的范圍.【詳解】由題在上恒成立.即,的圖象永遠(yuǎn)在的上方,設(shè)與的切點(diǎn),則,解得,易知越小,圖象越靠上,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象,最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值,然后得出參數(shù)范圍.12、D【解析】
如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面,計(jì)算,由勾股定理解得,此外接球的體積為,三棱錐體積為,得到答案.【詳解】如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中,過(guò)作底面的垂線,垂足為,與平面交點(diǎn)記為,連接、.依題意,所以,設(shè)球的半徑為,在中,,,,由勾股定理:,解得,此外接球的體積為,由于平面平面,所以平面,球心到平面的距離為,則,所以三棱錐體積為,所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題,三棱錐體積,球體積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
處理變形x+y=x()+y結(jié)合均值不等式求解最值.【詳解】x,y>0,且,則x+y=x()+y1,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)x=4,y=2,取得最小值1.故答案為:1【點(diǎn)睛】此題考查利用均值不等式求解最值,關(guān)鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件,注意考慮等號(hào)成立的條件.14、【解析】
求出在上的對(duì)稱軸,依據(jù)對(duì)稱性可得的值;由可得,依據(jù)可求出的值.【詳解】解:令,解得因?yàn)?,所以關(guān)于對(duì)稱.則.由,則由可知,,又因?yàn)?,所以,則,即故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱軸,考查了誘導(dǎo)公式,考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于沒(méi)有正確判斷的取值范圍,導(dǎo)致求出.在求的對(duì)稱軸時(shí),常用整體代入法,即令進(jìn)行求解.15、【解析】
基本事件總數(shù),抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種,由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率.【詳解】從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,基本事件總數(shù),抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種,分別為:,,,,,,,,,,則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法,考查運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意辨別概率的模型.16、1【解析】
根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性,求得質(zhì)量低于的袋數(shù)的估計(jì)值.【詳解】由于,所以,所以袋牛肉干中,質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是袋.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)由已知結(jié)合正弦定理先進(jìn)行代換,然后結(jié)合和差角公式及正弦定理可求;(Ⅱ)由余弦定理可求,然后結(jié)合三角形的面積公式可求;(Ⅲ)結(jié)合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)椋?,所以,由正弦定理可得,;(Ⅱ)由余弦定理可得,,整理可得,,解可得,,因?yàn)椋?;(Ⅲ)由于,.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式,二倍角公式及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18、(1);(2)①;②詳見解析.【解析】
(1)由函數(shù)在處的切線與直線垂直,即可得,對(duì)其求導(dǎo)并表示,代入上述方程即可解得答案;(2)①已知要求等價(jià)于在上有兩個(gè)根,且,即在上有兩個(gè)不相等的根,由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)構(gòu)建不等式組,解得答案,最后分析此時(shí)單調(diào)性推及極值說(shuō)明即可;②由①可知,是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根,由韋達(dá)定理可表達(dá)根與系數(shù)的關(guān)系,進(jìn)而用含的式子表示,令,對(duì)求導(dǎo)分析單調(diào)性,即可知道存在常數(shù)使在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,進(jìn)而求最值證明不等式成立.【詳解】解:(1)依題意,,,故,所以,據(jù)題意可知,,解得.所以實(shí)數(shù)的值為.(2)①因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn),且,所以在上有兩個(gè)根,且,即在上有兩個(gè)不相等的根.所以解得.當(dāng)時(shí),若或,,,函數(shù)在和上單調(diào)遞增;若,,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn),且.所以,實(shí)數(shù)的取值范圍是.②由①可知,是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根,所以其中.故,令,其中.故,令,,在上單調(diào)遞增.由于,,所以存在常數(shù),使得,即,,且當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),,又,,所以,即,故得證.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩直線的位置關(guān)系、由極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題,還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立,屬于難題.19、【解析】解:解:將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為,即,它表示以為圓心,2為半徑圓,………4分直線方程的普通方程為,………8分圓C的圓心到直線l的距離,……………10分故直線被曲線截得的線段長(zhǎng)度為.……………14分20、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)利用,利用正弦定理,化簡(jiǎn)即可證明(2)利用(1),得到當(dāng)時(shí),,得出,得出,然后可得【詳解】證明:(1)據(jù)題意,得,∴,∴.又∵,∴,∴.解:(2)由(1)求解知,.∴當(dāng)時(shí),.又,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題21、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)要證明面面,只需證明面即可;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,分別為,,軸建系,分別計(jì)算出面法向量,面的法向量,再利用公式計(jì)算即可.【詳解】證明:(1)因?yàn)榈酌鏋檎叫?,所以又因?yàn)?,,滿足,
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