2023屆遼寧省錦州市重點(diǎn)中學(xué)高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知正方體的體積為,點(diǎn),分別在棱,上,滿足最小,則四面體的體積為A. B. C. D.2.已知函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.3.已知是第二象限的角,,則()A. B. C. D.4.若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值等于()A. B. C. D.5.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.6.中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示,到2018年底,全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里,其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)C.2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列7.設(shè)集合(為實(shí)數(shù)集),,,則()A. B. C. D.8.已知的展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為().A. B. C. D.9.已知點(diǎn),點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.410.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖后,輸出的值為5,則的取值范圍是().A. B. C. D.12.下列不等式正確的是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在長(zhǎng)方體中,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.14.函數(shù)的定義域是__________.15.設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上,點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上,則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為_________16.某部門全部員工參加一項(xiàng)社會(huì)公益活動(dòng),按年齡分為三組,其人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本,若組中甲、乙二人均被抽到的概率是,則該部門員工總?cè)藬?shù)為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知x,y,z均為正數(shù).(1)若xy<1,證明:|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy?2yz?2xz的最小值.18.(12分)2019年是中華人民共和國(guó)成立70周年.為了讓人民了解建國(guó)70周年的風(fēng)雨歷程,某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:,,…,,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從年齡在,,內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再?gòu)倪@8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談,用表示年齡在)內(nèi)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查,其中有名市民的年齡在的概率為.當(dāng)最大時(shí),求的值.19.(12分)如圖,湖中有一個(gè)半徑為千米的圓形小島,岸邊點(diǎn)與小島圓心相距千米,為方便游人到小島觀光,從點(diǎn)向小島建三段棧道,,,湖面上的點(diǎn)在線段上,且,均與圓相切,切點(diǎn)分別為,,其中棧道,,和小島在同一個(gè)平面上.沿圓的優(yōu)?。▓A上實(shí)線部分)上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長(zhǎng)度,并確定的取值范圍;求當(dāng)為何值時(shí),棧道總長(zhǎng)度最短.20.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,且曲線的左焦點(diǎn)在直線上.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;(Ⅱ)求曲線的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值.21.(12分)已知函數(shù)(,)滿足下列3個(gè)條件中的2個(gè)條件:①函數(shù)的周期為;②是函數(shù)的對(duì)稱軸;③且在區(qū)間上單調(diào).(Ⅰ)請(qǐng)指出這二個(gè)條件,并求出函數(shù)的解析式;(Ⅱ)若,求函數(shù)的值域.22.(10分)如圖1,在邊長(zhǎng)為4的正方形中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由題意畫出圖形,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,可得當(dāng)時(shí)最小,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,得,進(jìn)一步求出四面體的體積即可.【詳解】解:如圖,

∵點(diǎn)M,N分別在棱上,要最小,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,三線共線時(shí),最小,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,則,∴.

取,連接,則共面,在中,設(shè)到的距離為,

設(shè)到平面的距離為,

.

故選D.【點(diǎn)睛】本題考查多面體體積的求法,考查了多面體表面上的最短距離問題,考查計(jì)算能力,是中檔題.2、D【解析】

運(yùn)用輔助角公式,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,由對(duì)稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對(duì)稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當(dāng)時(shí),的最小值,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.3、D【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因?yàn)?由誘導(dǎo)公式可得,,即,因?yàn)?所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;屬于中檔題.4、A【解析】

首先畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求的最小值.【詳解】解:作出實(shí)數(shù),滿足不等式組表示的平面區(qū)域(如圖示:陰影部分)由得,由得,平移,易知過點(diǎn)時(shí)直線在上截距最小,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題,求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域,利用幾何意義求值,屬于中檔題.5、A【解析】

求出集合,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】∵,,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng),顯然正確;對(duì)于,,選項(xiàng)正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯(cuò).故選:D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題7、A【解析】

根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】因?yàn)榈恼归_式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.考點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù),二項(xiàng)式系數(shù)和.9、D【解析】

如圖所示:過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于,交軸于,則,設(shè),,則,利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示:過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于,交軸于,則,設(shè),,則,當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.10、A【解析】

利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入,排除掉C,D;再由判斷A選項(xiàng)正確.【詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題,代入特殊點(diǎn),采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法,屬于中檔題.11、C【解析】

框圖的功能是求等比數(shù)列的和,直到和不滿足給定的值時(shí),退出循環(huán),輸出n.【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;第四次循環(huán):;此時(shí)滿足輸出結(jié)果,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用,建議數(shù)據(jù)比較小時(shí),可以一步一步的書寫,防止錯(cuò)誤,是一道容易題.12、D【解析】

根據(jù),利用排除法,即可求解.【詳解】由,可排除A、B、C選項(xiàng),又由,所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及對(duì)數(shù)的比較大小問題,其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、C【解析】

根據(jù)確定是異面直線與所成的角,利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得.因?yàn)椋允钱惷嬷本€與所成的角,記為,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.14、【解析】由,得,所以,所以原函數(shù)定義域?yàn)?,故答案?15、【解析】

由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對(duì)稱,則點(diǎn)到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.【詳解】由題,因?yàn)榕c互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對(duì)稱,設(shè)點(diǎn)為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題.16、60【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比,可求得C組中的人數(shù);由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù),即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本,則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人,則組中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為:60.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡(jiǎn)單應(yīng)用,古典概型概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用,由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)最小值為1【解析】

(1)利用基本不等式可得,再根據(jù)0<xy<1時(shí),即可證明|x+z|?|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,從而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【詳解】(1)證明:∵x,y,z均為正數(shù),∴|x+z|?|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時(shí)取等號(hào).又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=1時(shí)取等號(hào),∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy?2yz?2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy?2yz?2xz的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了利用綜合法證明不等式和利用基本不等式求最值,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬中檔題.18、(1)分布列見解析,(1)【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù),結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù);的可能取值為0,1,1,由離散型隨機(jī)變量概率求法即可求得各概率值,即可得分布列;由數(shù)學(xué)期望公式即可求得其數(shù)學(xué)期望.(1)先求得年齡在內(nèi)的頻率,視為概率.結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì),表示出,令,化簡(jiǎn)后可證明其單調(diào)性及取得最大值時(shí)的值.【詳解】(1)按分層抽樣的方法拉取的8人中,年齡在的人數(shù)為人,年齡在內(nèi)的人數(shù)為人.年齡在內(nèi)的人數(shù)為人.所以的可能取值為0,1,1.所以,,,所以的分市列為011.(1)設(shè)在抽取的10名市民中,年齡在內(nèi)的人數(shù)為,服從二項(xiàng)分布.由頻率分布直方圖可知,年齡在內(nèi)的頻率為,所以,所以.設(shè),若,則,;若,則,.所以當(dāng)時(shí),最大,即當(dāng)最大時(shí),.【點(diǎn)睛】本題考差了離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法,二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.19、,;當(dāng)時(shí),棧道總長(zhǎng)度最短.【解析】

連,,由切線長(zhǎng)定理知:,,,,即,,則,,進(jìn)而確定的取值范圍;根據(jù)求導(dǎo)得,利用增減性算出,進(jìn)而求得取值.【詳解】解:連,,由切線長(zhǎng)定理知:,,,又,,故,則劣弧的長(zhǎng)為,因此,優(yōu)弧的長(zhǎng)為,又,故,,即,,所以,,,則;,,其中,,-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故時(shí),所以當(dāng)時(shí),棧道總長(zhǎng)度最短.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(Ⅰ)曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù));的極坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)16.【解析】

(

I

)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;(

II

)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,即可求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由題意:曲線的直角坐標(biāo)方程為:,所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),因?yàn)橹本€的直角坐標(biāo)方程為:,又因曲線的左焦點(diǎn)為,將其代入中,得到,所以的極坐標(biāo)方程為.(Ⅱ)設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)為,,,,所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為:,所以當(dāng)時(shí),即時(shí),橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)取得最大值16.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的參數(shù)方程,

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