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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在正方體中,,分別為,的中點(diǎn),則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.2.函數(shù)的部分圖像大致為()A. B.C. D.3.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問(wèn)題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問(wèn)水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?,露出水面兩尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問(wèn)水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為()A. B. C. D.4.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.5.已知橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.6.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a7.對(duì)于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.8.已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球(),現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球,再換回一個(gè)不同顏色的球(即若取出的是白球,則放回一個(gè)黑球;若取出的是黑球,則放回一個(gè)白球),記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是.若,則=()A. B.1 C. D.29.已知,則p是q的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.若不相等的非零實(shí)數(shù),,成等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列,則()A. B. C.2 D.11.已知命題p:直線a∥b,且b?平面α,則a∥α;命題q:直線l⊥平面α,任意直線m?α,則l⊥m.下列命題為真命題的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)12.已知、分別為雙曲線:(,)的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,,則的離心率為()A.2 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上,,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,,則球的體積為_(kāi)_________.14.已知均為非負(fù)實(shí)數(shù),且,則的取值范圍為_(kāi)_____.15.設(shè)實(shí)數(shù),若函數(shù)的最大值為,則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_____.16.設(shè)向量,,且,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男女合計(jì)已知在全部人中隨機(jī)抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率為.(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明你的理由;(2)已知在不患心肺疾病的位男性中,有位從事的是戶外作業(yè)的工作.為了指導(dǎo)市民盡可能地減少因霧霾天氣對(duì)身體的傷害,現(xiàn)從不患心肺疾病的位男性中,選出人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,求所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率.下面的臨界值表供參考:(參考公式,其中)18.(12分)如圖,在四面體中,.(1)求證:平面平面;(2)若,求四面體的體積.19.(12分)已知命題:,;命題:函數(shù)無(wú)零點(diǎn).(1)若為假,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若為假,為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;(2)的角的對(duì)邊分別為且,,求邊上的高的最大值.21.(12分)△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長(zhǎng).22.(10分)已知橢圓:過(guò)點(diǎn),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于,兩點(diǎn).(1)證明:當(dāng)取得最小值時(shí),橢圓的離心率為.(2)若橢圓的焦距為2,是否存在定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
連接,,因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,取的中點(diǎn)為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因?yàn)?,所以為異面直線與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,,在等腰中,取的中點(diǎn)為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計(jì)算能力.2、A【解析】
根據(jù)函數(shù)解析式,可知的定義域?yàn)?,通過(guò)定義法判斷函數(shù)的奇偶性,得出,則為偶函數(shù),可排除選項(xiàng),觀察選項(xiàng)的圖象,可知代入,解得,排除選項(xiàng),即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?,則,∴為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,排除選項(xiàng),且當(dāng)時(shí),,排除選項(xiàng),所以正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象,利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.3、C【解析】
由題意知:,,設(shè),則,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【詳解】解:由題意知:,,設(shè),則在中,列勾股方程得:,解得所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的長(zhǎng)度型,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
設(shè),,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設(shè),,設(shè)直線斜率為,則,,相減得到:,的中點(diǎn)為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.6、C【解析】
兩復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
由已知可得的單調(diào)性,再由可得對(duì)稱性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對(duì)于任意,函數(shù)滿足,因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)時(shí),是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因?yàn)?,所以?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對(duì)稱性的代數(shù)形式,屬于中檔題..8、B【解析】由題意或4,則,故選B.9、B【解析】
根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)再分析即可.【詳解】因?yàn)?所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
由題意,可得,,消去得,可得,繼而得到,代入即得解【詳解】由,,成等差數(shù)列,所以,又,,成等比數(shù)列,所以,消去得,所以,解得或,因?yàn)?,,是不相等的非零?shí)數(shù),所以,此時(shí),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、C【解析】
首先判斷出為假命題、為真命題,然后結(jié)合含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線面平行的判定,我們易得命題若直線,直線平面,則直線平面或直線在平面內(nèi),命題為假命題;根據(jù)線面垂直的定義,我們易得命題若直線平面,則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直,命題為真命題.故:A命題“”為假命題;B命題“”為假命題;C命題“”為真命題;D命題“”為假命題.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷,考查含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
作出圖象,取AB中點(diǎn)E,連接EF2,設(shè)F1A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,進(jìn)而得到e的值【詳解】解:取AB中點(diǎn)E,連接EF2,則由已知可得BF1⊥EF2,F(xiàn)1A=AE=EB,設(shè)F1A=x,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,則EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,則e故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用,考查離心率的求法,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.對(duì)于圓錐曲線中求離心率的問(wèn)題,關(guān)鍵是列出含有中兩個(gè)量的方程,有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對(duì)方程進(jìn)行整理,從而求出離心率.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則它的外接球就是棱長(zhǎng)為的正方體的外接球,求出正方體的對(duì)角線的長(zhǎng),就是球的直徑,然后求出球的體積.【詳解】解:因?yàn)?,為正三角形,所以,因?yàn)?,所以三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,所以它的外接球就是棱長(zhǎng)為的正方體的外接球,因?yàn)檎襟w的對(duì)角線長(zhǎng)為,所以其外接球的半徑為,所以球的體積為故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查球的體積,幾何體的外接球,考查空間想象能力,計(jì)算能力,屬于中檔題.14、【解析】
設(shè),可得的取值范圍,分別利用基本不等式和,把用代換,結(jié)合的取值范圍求關(guān)于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因?yàn)?,令,則,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,,即,令則函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值為,即.當(dāng)且,即,或,時(shí)取等號(hào);因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,令,則函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值為,即,當(dāng),且時(shí)取等號(hào),所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結(jié)合求代數(shù)式的取值范圍;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;基本不等式:和的靈活運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.15、【解析】
根據(jù),則當(dāng)時(shí),,即.當(dāng)時(shí),顯然成立;當(dāng)時(shí),由,轉(zhuǎn)化為,令,用導(dǎo)數(shù)法求其最大值即可.【詳解】因?yàn)?,又?dāng)時(shí),,即.當(dāng)時(shí),顯然成立;當(dāng)時(shí),由等價(jià)于,令,,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,,則,又,得,因此的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.16、【解析】
根據(jù)向量的數(shù)量積的計(jì)算,以及向量的平方,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:且由所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)計(jì)算,主要考查計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān),理由見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)結(jié)合題意完善列聯(lián)表,計(jì)算出的觀測(cè)值,對(duì)照臨界值表可得出結(jié)論;(2)記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、,其余三人分別為、、,利用列舉法列舉出所有的基本事件,并確定事件“所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)”所包含的基本事件數(shù),利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【詳解】(1)由于在全部人中隨機(jī)抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率為,所以人中患心肺疾病的人數(shù)為人,故可將列聯(lián)表補(bǔ)充如下:患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男女合計(jì).故有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān);(2)記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、,其余三人分別為、、.從中選取三人共有以下種情形:、、、、、、、、、.其中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的有種情形,分別為:、、、、、、、、,所以所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想解決實(shí)際問(wèn)題,同時(shí)也考查了利用列舉法求解古典概型的概率問(wèn)題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取中點(diǎn),連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,利用全等三角形證得,由此證得平面,進(jìn)而證得平面平面.(2)由(1)知平面,即是四面體的面上的高,結(jié)合錐體體積公式,求得四面體的體積.【詳解】(1)證明:如圖,取中點(diǎn),連接,由則,則,故故,平面.又平面,故平面平面(2)由(1)知平面,即是四面體的面上的高,且.在中,,由勾股定理易知故四面體的體積【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明,考查錐體體積計(jì)算,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】
(1)為假,則為真,求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)有零點(diǎn)條件得的取值范圍;(2)由為假,為真,知一真一假;分類討論列不等式組可解.【詳解】(1)依題意,為真,則無(wú)解,即無(wú)解;令,則,故當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng),,單調(diào)遞減,作出函數(shù)圖象如下所示,觀察可知,,即;(2)若為真,則,解得;由為假,為真,知一真一假;若真假,則實(shí)數(shù)滿足,則;若假真,則實(shí)數(shù)滿足,無(wú)解;綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的問(wèn)題.其思路:與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)是恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題.解決此類問(wèn)題時(shí),一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化,得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組),再通過(guò)解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍.20、(1).(2)【解析】
(1)由題意利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域,得出結(jié)論.(2)由題意利用余弦定理?三角形的面積公式?基本不等式求得的最大值,可得邊上的高的最大值.【詳解】解:(1)∵函數(shù),當(dāng)時(shí),,.(2)中,,∴.由余弦定理可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),即的最大值為3.再根據(jù),故當(dāng)取得最大值3時(shí),取
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