平面向量的概念與線性運(yùn)算

考點(diǎn)34平面向量的概念與線性運(yùn)算【命題解讀】平面向量是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn).往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常以平面圖形為載體，考查線性運(yùn)算、數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問(wèn)題【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】向量的有關(guān)概念零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，其方向是不確定的.平行(共線)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.我們規(guī)定零向量與任一向量平行.單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.相反向量：與向量a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.向量的線性運(yùn)算向量加法滿足交換律a+b=b+a，結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).向量加法可以使用三角形法則，平行四邊形法則.向量的數(shù)乘：實(shí)數(shù)久與向量a的積是一個(gè)向量，記作如，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：|入a|=|川|a|；當(dāng)義＞0時(shí)，入a與a方向相同:當(dāng)義＜0時(shí)，入a與a方向相反:當(dāng)a=0時(shí)，入a=0；當(dāng)入=0時(shí)，入a=0.實(shí)數(shù)與向量的運(yùn)算律：設(shè)入，UER，a，b是向量，則有：入Qa)=(ga；(義+?)a=4a+"a:入(a+b)=Aa+Ab.向量共線定理：如果有一個(gè)實(shí)數(shù)人，使b=Aa(a^0)，那么b與a是共線向量：反之，如果b與a(aN0)是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)人，使b=2a.逢熱身;訓(xùn)練1、 已知下列各式：口晶+靈+枝；□AB+MB+BO+OM；nOA+OB+BO+CO；□AB-AC+BD-CD,其中結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為()1B.2C.3D.42、設(shè)a,b是非零向量，則a=2b是首=就成立的()充要條件 B.充分不必要條件

C.C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件TOC\o"1-5"\h\z3、已知M幣=4e]+2e2，PQ=2e1+te2，若M、P、Q三點(diǎn)共線，則t=（ ）A.1B.2C.4D.-14、 （2019秋?如皋市期末）（多選題）在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，AC與BD交于M，設(shè)AB=a,AD=b，則下列結(jié)論正確的是（ ）]—丁一—■:* ]一l一*[—2丁一—1_-A.AC=—a+b B.BC=—a+b C.BM=—a+—bD.EF=—a+b\o"CurrentDocument"2 2 3 3 45、（多選題）設(shè)點(diǎn)M是□刀合。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）若AM=^2AB+jAC，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)若AM=2AB-AC，則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上若AM=-BM-CM，則點(diǎn)M是口ABC的重心若AM=xAB+yAC,且x+y=?，EMBC的面積是UABC面積的26、 在左ABC中，AB^aC1」AB-aC，則ZBAC=.丑典飽剖析考向一平面向量的有關(guān)概念例1、（2019年徐州開(kāi)學(xué)初考試）給出下列四個(gè)命題：若|a|=|b|，則a=b；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則"京=DC”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；若a=b，b=c，貝a=c；a=b的充要條件是|a|」|b|且a〃b.其中正確命題的序號(hào)是（）A.②③ B.①② C.③④ D.②④變式1、.（多選）給出下列命題，不正確的有（ ）若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且AB=DC，則ABCD為平行四邊形a=b的充要條件是|a|」|b|且anb已知?！稙閷?shí)數(shù)，若扁=?b，則a與b共線變式2、給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；

久a=0Q為實(shí)數(shù)），則2必為零；刀n為實(shí)數(shù)，若2a=〃b，則a與b共線.其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.3變式3、（山東泰安一中2019屆高三模擬）給出下列命題:兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；屆=0（人為實(shí)數(shù)），則A必為零；人，〃為實(shí)數(shù)，若la=〃b，則a與b共線.其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為（）B.1D.3B.1D.3C.2變式4、如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心?（1）與而相等的向量有；（2）與C相等的向量有；（3）與BC共線的向量有.答案：（1）血，無(wú)，OC；⑵OA,EF,DO（3）cb,oAAO,OD,gAD,DAEF,Fe方法總結(jié)：向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)（1） 向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度.（2） 非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制.⑶相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等.⑷單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度.（5）零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線.考向二向量的線性運(yùn)算例2>(1)(2019-安徽合肥二模)在△ABC中，BD=|BC，若茍=a，AC=b，則刀D=( )2,1 1NA.^a+^b B.^a+^b

C.1a—|b2 1D.|a—|b（2）（-題多解）（2020?廣東一模）已知A,B,C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足16OA—12OB—3OC=0,則（ ）~^A -^A -^AA.OA=12AC+3AC_ ~^C 一-^C -^CB.OA=12AB—3AC—~^A 一"^c ^AC.OA=—12AC+3AC~^B 一"^B_-^BD.OA=—12AB—3AC變式1、（山西平遙中學(xué)2019屆期末）在A4BC中，aB=c,—2=b,若點(diǎn)D滿足B2=2^2，則A2等TOC\o"1-5"\h\z于（）2 1 5 2A.gb+^c B§c一幸C.|b—jc D.jb+jc變式2、（2019-衡水中學(xué)五調(diào)）如圖所示，在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，H為AE的中點(diǎn)，則DF=（ ）變式3、1.在口ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則EB等于（ ）2.如圖，在等腰梯形ABCD中，DC=2aB，BC=CD=DA，DE口AC于點(diǎn)E，則DE等于（ ）變式4、（2019無(wú)錫區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（ ）aAB+AD=AC B.AC+CD+DO=OA^A.C.aB+AC+CD=AD D.AC+BA+DA=0變式5、（2019宿遷期末）如圖所示，四邊形ABCD為梯形，其中AB//CD,AB=2CD,M,N分別為AB,TOC\o"1-5"\h\zCD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）pyc'二A M g?二?1-?—1—二1———*—*1—-? *1A.AC=AD+-ABB.MC=-AC+-BCC.MN=AD+—ABD.BC=AD——AB2 2 2 4 2方法總結(jié)：向量的線性運(yùn)算，即用幾個(gè)已知向量表示某個(gè)向量，基本技巧為：一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則.考向三共線定理的應(yīng)用例3、如圖，在^ABO中，OC=4（5A，6D=*5B，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)6A=a，苞=b.試用a和b表示O認(rèn)變式1>（2019-河南鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)）已知A，B，C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O不在直線l上，則使等式x2OA+xOB+BC=0成立的實(shí)數(shù)x的取值集合為（）TOC\o"1-5"\h\zA.{0} B.C.{—1} D.{0，一1}變式2、（2019秋?清遠(yuǎn)期末）等邊三角形ABC中，BD=DC，EC=2~AE，AD與BE交于F，則下列結(jié)論\o"CurrentDocument"正確的是（ ）、—*1—*—二 _—*2—:1—*A.AD=一（AB+AC） B.BE=-BC+一BA2 3 3

C.AF=1AD D.BF=1BA+1BC2 2 3變式3、設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.芯=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b)，求證：A,B,D三點(diǎn)共線;試確定實(shí)數(shù)婦使ka+b和a+kb共線.方法總結(jié)：利用共線向量定理解題的方法a〃boa=Ab(b^0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.即A，B，C三點(diǎn)共線?！?，—7共線.若a與b不共線且la=〃b，則人=〃=0.dt=AoB+〃。2(人，〃為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則人+〃=1.普優(yōu)的提升-實(shí)戰(zhàn)演練1、 在口ABC中，點(diǎn)G滿足GA+GB+GC=0.若存在點(diǎn)。，使得OG^^BC，且OA=mdB+nOC，則m—n等于()A.2B.—2C.1D.—12、 A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D(點(diǎn)O與點(diǎn)D不重合)，若OC=^OA+〃OB(2，^DR)，則久+〃的取值范圍是() --/■TOC\o"1-5"\h\zA.(0,1) B.(1，+叨 .： ■C.(1，V2] D.(—1,0) ■.''3、【2018年高考全國(guó)I卷理數(shù)】在^ABC中，AD為BC邊上的中線，舊為 ? AD的中3-1—A-AB--AC?4 43-1—A-AB--AC?4 4\o"CurrentDocument"B1AB-3AC

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C.C.3AB+1AC4 4D.-AB+3AC444、.在口/BC中，下列命題正確的是（ ）,^^—^—^A.AB—AC=BCB.AB+bC+CA=0C.若函+AC）-（AB~AC）=0,則「ABC為等腰三角形D.若AC-AB>0,則「ABC為銳角三角形5、（2020屆山東省泰安市高三上期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,AB±AD,AB=2AD=2DC,E為A.TOC\o"1-5"\h\zBC邊上一點(diǎn)，且BC=3EC,F為AE的中點(diǎn)，則（ ）A.BC=--AB+AD2BAF=-AB+-AD3 3CBF=-2AB+-AD3 3DCF=-AB--aD6 36、【江蘇卷】在△ABC中，AB=4,A