平面向量線性運(yùn)算C

精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義年級：初三 科目數(shù)學(xué) 課時數(shù)：3課題平面向量的線性運(yùn)算教學(xué)目的理解實(shí)數(shù)與向量乘積的意義，掌握實(shí)數(shù)與向量相乘滿足的運(yùn)算律；能夠利用實(shí)數(shù)與向量相乘的意義解決集合中兩直線平行及線段長度的問題。教學(xué)內(nèi)容【知識梳理】(一)實(shí)數(shù)與向量相乘設(shè)k是一個實(shí)數(shù)，a是向量，那么k與a相乘，所得的積是一個向量，記作ka【說明】如果k，0，且a豐0，那么ka的長度ka=k\^；i — —ka的方向：當(dāng)k>0時，ka與a同向；——當(dāng)k<0時，ka與a反向.如果k=0，且a=0，ka=0.實(shí)數(shù)與向量相乘滿足下列運(yùn)算律：設(shè)m、n為實(shí)數(shù)，則m(n^^=(mn)方；(m+n)a=ma+na；一("—m^a+*=ma+mb平行向量定理：如果向量b與非零向量a平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)m，使b-ma長度為1的向量稱為單位向量，用e表示.【說明】單位向量有無數(shù)多個；不同的單位向量是指它們的方向不同.對于任意非零向量a，與它同方向的單位向量記作a0,則有：a=aa0,-‘ 1一ao=aa-(二)向量的線性運(yùn)算：向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算如果是兩個不平行的向量，x、y是實(shí)數(shù)，那么場+yb叫做的線性組合.【典型例題分析】【例1】用單位向量e表示下列向量：———a與e方向相同，且長度為3,a=.b與e方向相反，且長度為'克,b=..c與e方向相反，c=2e，c=.【答案】(1)3e；(2)-<2e；(3)-2e【方法總結(jié)】根據(jù)方向是否相同確定正負(fù)號，根據(jù)長度關(guān)系確定倍數(shù).【借題發(fā)揮】1.向量2a與向量-3a方向.1丁向量-b與向量一5b方向.【答案】相反；相同—?用單位向量e表示下列向量：b與e方向相同，且長度為0.5，b=.c與e方向相同，長度相等，C=.a3-a與e方向相同，有=7；，a= .|e| 2【答案】0.5e；e；3e【例2】計算:(1)(3)a+a+(-a)；(2)(-b)+(-b)+(-b)；

b+(-b)+0；(4)(5)2(3a)；(6)(7)3(a+5b)；(8)+2b-3c)-(2a-3b+C)--b.3【答案】略【借題發(fā)揮】(6-、5a--b .k573(3a-b)+4(2a-b)；3.5(3.5(za-b+c)一a+2b一【答案】略一一一一一一一一 a-【例3】如果a+b=3c,a-b=-c，那么a與b是平行向量嗎？如果是，求甬.b【提示】兩個等式相加得到“=C，然后代入其中一個等式即可【答案】是；1【例4】如圖，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn).(1)用向量AB、AC表示向量EF,用向量DB、DC表示向量HG;(2)由AC-AB=BC,DC-DB=BC，可推出向量EF與HG相等嗎？四邊形EFGH是平行四邊形嗎?【答案】(1)ef=—AC-—AB；HG=—DC-—DB；(2)向量EF與HG相等；四邊形EFGH是平行四邊【借題發(fā)揮】

如果2a+b=3c,a+2b=c，那么a與b是平行向量嗎？如果是，求=.b【答案】是；5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD邊的中點(diǎn)，用向量的方法證明四邊形EFGH是菱形.【答案】略【例5】已知非零向量a，求作-2a，寸2a.【例6】如圖，已知向量a、b，求作向量-2(a+b)【答案】略【例7】如圖，已知向量oA、OB和a、b，求作:(1)向量a分別在OA、OB方向上的分向量;(2)向量b分別在OA、OB方向上的分向量.BB【答案】略【借題發(fā)揮】如圖，已知兩個不平行的向量a、b.求作：2a+3b,2a-3b.一丁 一5了一5二2.已知兩個不平行的向量a、b，求作：3a+-b,3a--b.【例8】如果向量a、b滿足關(guān)系式5a+6G-元）=0，試用a、b表示向量￡.【例9】如圖，已知口ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)^,設(shè)AD=a,:AB=b，分別求向量AE、AF、BF、DF關(guān)于a、b的分解式?B￡C【答案】AE=1a+b；AF=1a+b2 3【借題發(fā)揮】1.如果向量【借題發(fā)揮】1.如果向量a、b滿足關(guān)系式8（a-3￡）=7G-4￡），試用a、b表示向量￡.量量BC表示向量DE.【答案】略2.如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊BA、CA的延長線上，DE〃BC,AD=2，試用向AB3

【答案】略3.如圖，點(diǎn)B、B、B在AB上，C、C、C在AC上，BB=BB=BB=BA,CC=CC=CC1 2 3 1 2 3 1 12 23 3 1 12 23試用向量AB表示向量B]C]、Bq、BC3.【提示】結(jié)合三角形一邊平行線性質(zhì)解決【隨堂練習(xí)】填空題:1.已知m、n是實(shí)數(shù)，a、b是向量，對于命題:①m(a-b)=ma-mb②(m-n)a=ma-na———③若ma=mb，則a=b④若ma=na，則m=n其中正確命題為-【答案】①②5一-c=2-3-(2)—a-2b+。4—Ea+b-25一-c=2-3-(2)—a-2b+。4—Ea+b-23【答案】略3.已知菱形ABCD的邊長為1，ZABC=60°，AB=a，AC=C，【答案】24.已知向量a,b，且3(x+a)+2(x—2a)—4(x—a+b)=0，則x=【答案】］=4b-3aTOC\o"1-5"\h\z5.若向量x、y滿足2x+3:y=a,3x—2亍=b,a、b為已知向量，則x4 6. 32.【答案】 a+—b；—a—b13 13；13 13選擇題：1將—［2（2a+8b）—4（4a—2b）］化簡成最簡式為（ ）12A?2a—b； B?b—a； C?a—b； D?2b—a?下列說法正確的是（ ）A.向量AB與BA是兩平行向量； B.若a、b都是單位向量，則a=b；C.若AB=DC，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形；D.兩向量相等，那么它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同.設(shè)四邊形ABCD中，有DC=1AB且|AD|=|BC|,則這個四邊形是（）2A.平行四邊形； B.矩形； C.等腰梯形； D.菱形已知0是乙人'。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且2OA+OB+OC=0，那么（ ）A?aO=0D； B?AO=20D； C?AO=30D； D.2~AO=OD解答題：1.如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)0,設(shè)OA=a,OB=b，分別求向量OC、OD、、BC關(guān)于a、b的分解式.—?—?試用a、b表示向量X=—?A.a//C，b//C；已知兩個不平行的向量a,b.7-求作：(a+b)—(^a—2b).【課后作業(yè)】一、基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練填空題：1.在四邊形ABCD中，AB=DC，且|AB|=|AD|，則四邊形ABCD是.2.若a=3力與。的方向相反，且b—5，則a3.E,F在平行四邊形ABCD的對角線BD上，且有EB=DF中，設(shè)EC=a,EA=b,1AD=C，則：a+b=作出a+c—__— —已知AD、BE分別是△ABC的邊BC、AC上的中線，AD=a,BE=b，則BC=—? —? —?5.如果向量a、b滿足關(guān)系式4a+5（b—2X）=0，選擇題:—?1.下列條件中，不能判定a//b的是（-1CB.a-—2C，b——C；2—?D.|a|=3|b|.2.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）A?^aB=DC； B,aD+AB=A?^aB=DC； B,aD+AB=京；c,AB-aD=bD；D,AD+CB=6.3.若0、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是( )A.EF=OF+OE；B.EF=OF-OE；c.EF=-OF+OE；D.EF=-OF-OE4.已知a、b是兩個非零向量，e是一個單位向量，下列等式中正確的是aab-=e； B.—二—aabA.5.已知G是^ABC的重心，如圖1所示，則GA+GB-GC=( )B.4GE；C.4GD；解答題:1.已知向量a,b,c；求作：(1)5a—2b+3c(2)a-—b-2c52.如圖，AM=1AB，AN=1AC.求證：MN=1bC.如圖，已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)M、N是邊DC、BC的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，:AD=b分別求向量MN、B關(guān)于a、b的分解式.?N4.如圖，△ABC中，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，D、E分別在BA.CA的延長線上，且DE//BC,AE=1AC，設(shè)FB=a，AC=b，試用a、b的線性組合表示.5.如圖，D是^ABC的邊AC上的一點(diǎn)，AD=1DC，E、F、G分別是AD、BD、BC的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，Ac=b，試用a、b的線性組合表示6.在梯形ABCD中，AB//DC，E是BC的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC的延長線與點(diǎn)F，已知AB=a， (■ — 1- —DC=2a，AD=b，求向量AF、AE、DE關(guān)于a、b的分解式. A