平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用

平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用重點(diǎn)學(xué)習(xí)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題;體會(huì)向量是一種處理幾何問題的有力工具。體會(huì)用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程；體會(huì)向量是一種處理物理問題的重要工具。難點(diǎn)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為向量問題考試要求考試>題型選擇題、填空題>難度中等、較難且典例精析典例--：向量的線性運(yùn)算在平面幾何中的應(yīng)用例題1已知：任意四邊形ABCD中，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)。求證：EF=1（AB+DC）。證明：因?yàn)镋F=EA+AB+BF，EF=ED+DC+CF，所以2EF=EA+ED+AB+DC+BF+CF。因?yàn)镋,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，所以AE=ED,BF=FC,所以EA+ED=0,BF+CF=0,所以2EF=aB+DC,EF=1(aB+dC)。2所以命題成立。C2"1'1E FB總結(jié)提升：用向量方法解決幾何問題的步驟：平面幾何問題設(shè)向量＞向量問題字一解決向量問題—原T解決幾何問題典例二：向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用例題2 （1）在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°（如圖），求重物平衡時(shí)，兩根繩子拉力的大小。30()N（2）帆船比賽是借助風(fēng)帆推動(dòng)船只在規(guī)定距離內(nèi)競速的一項(xiàng)水上運(yùn)動(dòng)，如果一帆船所受的風(fēng)力方向?yàn)楸逼珫|30°，速度為20km/h，此時(shí)水的流向是正東，流速為20km/h。若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向。解（1）如圖，兩根繩子的拉力之和OA+OB=OC，且|OC|=|OG|=300N，ZAOC=30°，ZBOC=60°o在△OAC中，匕ACO=ZBOC=60°，ZAOC=30°，則ZOAC=90°，

I—從而|OA|=|OC|?cos30°=150r3(N),|AC|=|OC|?sin30°=150(N),所以|OB|=|AC|=150(N)。答：與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150方N,與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N。(2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，風(fēng)的方向?yàn)楸逼珫|30°,速度為.|=20(km/h),水流的方向?yàn)檎龞|，速度為|v2|=20(km/h),設(shè)帆船行駛的速度為V,則v=V]+v2。由題意，可得向量V1=(20cos60°,20sin60°)=(10,10t'3)，向量V2=(20,0),則帆船的行駛速度為v=v1+v2=(10,10V3)+(20,0)=(30,10v'3),所以|v|=v'302+(10*'3)2=20^3(km/h)。因?yàn)閠anq= ；=^-(a為V和羽2的夾角，且為銳角)，所以a=30°,所以帆船向北偏東60°的方向行駛，速度為20*3km/h?？偨Y(jié)提升：利用向量法解決物理問題有兩種思路，第一種是幾何法，選取適當(dāng)?shù)幕祝瑢㈩}中涉及的向量用基底表示，利用向量運(yùn)算法則，運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算。第二種是坐標(biāo)法，通過建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。留歸納總結(jié)平面向量線性運(yùn)算在平面幾何中的應(yīng)用(1)常見問題及處理技巧問題類型線平行、點(diǎn)共線等問題所用知識(shí)共線向量定理公式表示a//b問題類型線平行、點(diǎn)共線等問題所用知識(shí)共線向量定理公式表示a//b=a=Xb=xy-xy=0其中a=(x,y),b=(x,y),b。0(2)用向量方法處理平面幾何問題的“三步曲”

建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題。通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題。把運(yùn)算結(jié)果“翻連”成幾何關(guān)系。注意：向量是數(shù)學(xué)中證明幾何命題的有效工具之一。在證明幾何命題時(shí)，可先把已知條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算就很容易得出結(jié)論。一般地，利用實(shí)數(shù)與向量的積可以解決共線、平行、長度等問題。向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來，這樣就可以用代數(shù)方程研究幾何問題，同時(shí)也可以用向量來研究某些代數(shù)問題。用向量理論討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個(gè)步驟：（1） 問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；（2） 建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；（3） 求解參數(shù)，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解一一理論參數(shù)值；（4） 回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題。Qi同步練奪（答題時(shí)間：30分鐘）用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個(gè)燈具，如圖所示，已知燈具重10N，則每根繩子的拉力大小為N。一條河寬為800m，一船從A處出發(fā)垂直到達(dá)河正對(duì)岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達(dá)B處所需時(shí)間為min。一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2,F3（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成90°角，且F「F2的大小分別為2和4，則F3的大小為（ ）B.2NA.B.2N人騎自行車的速度是吧，風(fēng)速為V"則逆風(fēng)行駛的速度為（A.v1—v2 B.V]+v2C.VJ—|v2| D.|匕|TOC\o"1-5"\h\z1 2 v2已知三個(gè)力F1=(—2,—1),F2=(—3,2),F3=(4,—3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上一個(gè)力氣，則F4等于( )A.(—1,—2) B.(1,—2)C.(—1，2) D.(1，2)已知兩個(gè)力F1，F(xiàn)2的夾角為90°,它們的合力大小為10N，合力與F1的夾角為60°,那么F1的大小為( )A.5履N B.5NC.10N D.5巨N已知作用在點(diǎn)A的三個(gè)力f1=(3,4),兒=(2,—5),￡=(3,1),且A(1,1),則合力f=f+f2+f3的終點(diǎn)坐標(biāo)為( )A. (9,1) B. (1,9)C. (9,0) D. (0,9)河水的流速為5m/s,若一艘小船沿垂直于河岸方向以12m/s的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船在靜水中的速度大小為()A.13m/s B.12m/sC.17m/s D.15m/s,已與一G,已與一G都成60。=(1,2)o故選D。設(shè)合力/的終點(diǎn)為日參考答案答案：10解析：設(shè)重力為G,每根繩的拉力分別為F],F2,則由題意得角，且|FJ=|F2|o.?.|匠]|=|旦=1。=102..?每根繩子的拉力都為10No答案：3解析：Vv=v+v=v}~\-v,實(shí)際船水1 21*1=20km/h,"1=12km/h,|p|=^'1V|2—|%|2=<202—122=16(km/h)o,、 0.8?,?所需時(shí)間t=——=0.05(h)=3(min)o16???該船到達(dá)B處所需的時(shí)間為3min。答案：C答案：B答案：D解析：?.?物體平衡，.?/]+五2+五3+尸4=°，:.F=-F-F2-F3=-(-2,-1)-(-3,2)-(4,-3)答案：B解析：如圖，有|F]|=|F|cos60°1=10x-=5(N)2答案：A解析：/=/；+方+Z=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,P(x,_y),則。尸=OA4/=(1,1)+(8,0)