數(shù)學(xué)發(fā)展中的對(duì)稱破缺及其作用

數(shù)學(xué)發(fā)展中的對(duì)稱破缺及其作用

N09：A1674-7062(2009)06-0077-07對(duì)稱是自然界最普遍的現(xiàn)象。自然中生物、植物、建筑、人體等均呈現(xiàn)各種對(duì)稱性，從遠(yuǎn)古時(shí)的工藝圖案、實(shí)用飾品、文字形象中的對(duì)稱，到現(xiàn)代的物體結(jié)構(gòu)、語言形式、公式圖形以及抽象的結(jié)構(gòu)、概念、方法等的對(duì)稱，可謂對(duì)稱無處不在。所謂對(duì)稱，直觀表現(xiàn)即圖形部分重疊或規(guī)則變化；進(jìn)一步解釋即圖形在適當(dāng)變化位置后產(chǎn)生重疊。用數(shù)學(xué)語言描述便是，對(duì)象在某種變換下的不變性。例如平面上的圓，可通過變換驗(yàn)證其各種對(duì)稱性。對(duì)稱表現(xiàn)了簡單、和諧、勻稱，帶給人美的享受。無論是自然科學(xué)還是社會(huì)科學(xué)，都對(duì)對(duì)稱性表現(xiàn)出極大興趣，對(duì)稱性幾乎是所有學(xué)科關(guān)注或研究的對(duì)象之一。不具備上述直觀的重疊現(xiàn)象、規(guī)則變化，或在變換下不能保持某些不變屬性，則稱它是非對(duì)稱的。如果對(duì)象原來具有對(duì)稱性質(zhì)，但在其自身運(yùn)動(dòng)變化或外部人為干擾過程中，不再具備原有的不變特征，即其對(duì)稱性在變化或干擾下遭到破壞，我們稱此為“對(duì)稱破缺”。因此，對(duì)稱破缺是一種具有因果關(guān)系的現(xiàn)象描述，不僅表示從“對(duì)稱”到“非對(duì)稱”的變化狀態(tài)，也表示這種變化狀態(tài)下的變化結(jié)果。本文在簡要論述對(duì)稱概念從自然界進(jìn)入數(shù)學(xué)再到自然科學(xué)，并對(duì)物理科學(xué)發(fā)展產(chǎn)生重要作用的基礎(chǔ)上，主要分析數(shù)學(xué)發(fā)展中的對(duì)稱破缺現(xiàn)象，并指出它對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用。一對(duì)稱破缺是自然的普遍屬性數(shù)學(xué)從它誕生起就將對(duì)稱作為其研究的對(duì)象，圓、正方形、矩形、正多邊形等幾何圖形均為古代數(shù)學(xué)就開始研究的對(duì)稱圖形，代數(shù)中數(shù)字的表示、運(yùn)算的交換率、變量的代換等等都體現(xiàn)一定的對(duì)稱性。這種對(duì)稱性經(jīng)過幾千年的研究、發(fā)展，逐步被抽象、提升到理論的高度，并給予嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述，至19世紀(jì)以“群”的形式呈現(xiàn)給人們?！叭骸边@一抽象的數(shù)學(xué)概念一經(jīng)誕生，就給對(duì)稱性的描述帶來了強(qiáng)有力的工具，即刻在化學(xué)、物理等自然科學(xué)中產(chǎn)生影響，化學(xué)中晶體、空間點(diǎn)的分類，物理學(xué)中基本粒子的確定都充分發(fā)揮了“群”的作用。時(shí)空對(duì)稱是經(jīng)典物理學(xué)中最基本、最主要的對(duì)稱，以此為支托的相對(duì)性原理，便是經(jīng)典物理理論的邏輯支點(diǎn)。物理學(xué)家狄拉克(M.Dirac,1902-1984，英國)1929年關(guān)于反物質(zhì)的預(yù)言提供了對(duì)稱性如何指導(dǎo)物理學(xué)家探索自然奧秘的一個(gè)著名例子，他確信所有物理學(xué)都應(yīng)是相對(duì)論性不變的，狄拉克通過修改薛定諤方程使之具有洛倫茲不變性，驚異地發(fā)現(xiàn)其解比原有的薛定諤方程多一倍，最終推測這些多出來的解是描述另一個(gè)與電子性質(zhì)相反的粒子的，這就是我們現(xiàn)在稱之為正電子的反電子，其后的實(shí)驗(yàn)(1932年卡爾·安德森的實(shí)驗(yàn))確證狄拉克關(guān)于反物質(zhì)的預(yù)測是正確的[1]?，F(xiàn)代粒子物理學(xué)更是依賴于對(duì)稱性，“人們在對(duì)稱性關(guān)系的研究中尋求前進(jìn)的途徑”(物理學(xué)家玻爾語)。對(duì)稱性可以通過幾何變換揭示，物理學(xué)中許多守恒定律都對(duì)應(yīng)于某種幾何變換下的不變性，這是物理學(xué)領(lǐng)域中普遍存在的規(guī)律。20世紀(jì)初，德國著名女?dāng)?shù)學(xué)家、尊稱為“代數(shù)學(xué)之母”的諾特(E·Noether,1882-1938)，揭示了守恒律和對(duì)稱性之間的依存關(guān)系。諾特定理：如果一個(gè)體系的作用量存在某種對(duì)稱性，即在某種變換下作用量具有不變性，則該體系必定存在一條相應(yīng)的守恒律。簡言之，任一變換下的不變性必對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒律。表1給出了基本的守恒定律與幾何對(duì)稱變換間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。諾特定理實(shí)際上是在抽象數(shù)學(xué)理論中的對(duì)稱性與自然物理學(xué)科中的對(duì)稱性之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，這與楊振寧在創(chuàng)立規(guī)范場理論后所建立的規(guī)范場理論與纖維叢理論間的對(duì)應(yīng)關(guān)系[2]一樣，顯示了物理學(xué)與數(shù)學(xué)的高度吻合，令物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家均感到驚奇無比。李政道(1926-)、楊振寧(1922-)于1956年春夏提出、吳健雄(1912-1997)1957年通過“旋轉(zhuǎn)的極化鈷原子核β衰變”實(shí)驗(yàn)證實(shí)，弱相互作用下宇稱(P)不守恒以及CPT定理，可謂是對(duì)稱性研究之杰作(C為電荷共軛變換，乃指將系統(tǒng)所有粒子都變成其反粒子的變換，P和T分別是空間反射變換和時(shí)間反演變換。這三種變換是描述粒子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)起舉足輕重作用的對(duì)稱變換，楊振寧曾用一幅黑白對(duì)稱圖形來比喻CP變換和CPT變換[3])。物理學(xué)家不僅很好地應(yīng)用對(duì)稱概念于物理研究，并創(chuàng)造了對(duì)稱破缺概念，它是1960年前后由美籍日本物理學(xué)家南部(YoichiroNambu，1921-)等從固體物理學(xué)引入粒子物理學(xué)。利用對(duì)稱與對(duì)稱破缺于粒子物理研究，有效地發(fā)現(xiàn)了許多新粒子與不守恒性。到目前為止，除了CPT聯(lián)合不變性未發(fā)現(xiàn)破缺外，幾乎所有守恒律在一定條件下均會(huì)發(fā)生對(duì)稱破缺，這使人們看到，不僅對(duì)稱是自然界的普遍現(xiàn)象，對(duì)稱破缺也是宇宙的普遍規(guī)律。對(duì)稱是相對(duì)的，破缺是絕對(duì)的，兩者相輔相成，互為依賴。對(duì)稱性通常是一個(gè)很直觀的概念，可通過直觀的位置相對(duì)、度量相同、旋轉(zhuǎn)不變等方式來描述。確切的可通過數(shù)學(xué)描述來定義，數(shù)學(xué)中將對(duì)稱性描述為對(duì)象在某種變換下的不變性。李政道則從物理實(shí)在角度將對(duì)稱性定義為“基于某些基本量不可觀測的假設(shè)……，一旦一個(gè)不可觀測量變?yōu)榭捎^測，對(duì)稱性就破缺了”[4]。兩者本質(zhì)其實(shí)是一致的。對(duì)稱破缺意味著原有平衡態(tài)的結(jié)束，為尋求新的平衡狀態(tài)，必須在更廣范圍內(nèi)進(jìn)行考察，發(fā)現(xiàn)新的對(duì)稱。數(shù)學(xué)與物理學(xué)是兩個(gè)密不可分的學(xué)科，物理學(xué)是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要?jiǎng)恿υ春妥顬榻咏匀坏膶?shí)驗(yàn)室，數(shù)學(xué)則為物理學(xué)提供必要的表現(xiàn)形式與美學(xué)追求方向。然而，對(duì)自然中對(duì)稱性研究作出重大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)自身研究中應(yīng)用對(duì)稱破缺思想似乎沒有像在物理、化學(xué)中的應(yīng)用那樣引起重大熱潮，我們對(duì)此作一初步探索。二數(shù)學(xué)發(fā)展中的對(duì)稱破缺現(xiàn)象對(duì)稱性在數(shù)學(xué)和物理研究中歷來都作為一個(gè)基本準(zhǔn)則被應(yīng)用。近代物理對(duì)對(duì)稱性的廣泛應(yīng)用始于群，很多近現(xiàn)代物理學(xué)內(nèi)容都是在追求對(duì)稱性目標(biāo)下獲得，如麥克斯韋電磁場理論、愛因斯坦引力場方程、狄拉克相對(duì)論性電子波動(dòng)方程等都將對(duì)稱性特征表現(xiàn)得淋漓盡致。更為驚奇的是，物理學(xué)家還發(fā)現(xiàn)了對(duì)稱破缺現(xiàn)象，并實(shí)際用于物理研究，產(chǎn)生了意想不到的成果，導(dǎo)致一系列不守恒現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)。近代物理在對(duì)稱——對(duì)稱破缺——對(duì)稱——對(duì)稱破缺……的往復(fù)中發(fā)展前進(jìn)。最近大半個(gè)世紀(jì)以來，在自覺應(yīng)用對(duì)稱破缺思想中，現(xiàn)代物理學(xué)有了新的飛躍，并在哲學(xué)認(rèn)識(shí)上發(fā)展了對(duì)稱與對(duì)稱破缺思想。數(shù)學(xué)是在研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系中發(fā)展而來的，現(xiàn)實(shí)世界的普遍屬性——對(duì)稱，自然也是數(shù)學(xué)關(guān)注的重要內(nèi)容。德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家魏爾(HermannWeyl,1885-1955)在其名著《對(duì)稱》[5]中回顧了對(duì)稱性概念的發(fā)展歷程，指出它如何從普通關(guān)于比例和諧等模糊對(duì)稱概念發(fā)展為數(shù)學(xué)中平移、反射、旋轉(zhuǎn)等幾何概念，又從這些概念發(fā)展為關(guān)于變換下不變性的現(xiàn)代對(duì)稱概念[6]。數(shù)學(xué)家追求對(duì)稱性，似乎是一種天然、自覺的行為，不對(duì)稱性僅是一種美學(xué)的失衡，沒有像物理學(xué)家那樣將對(duì)稱破缺的追求作為科學(xué)研究的一種自覺行為。一個(gè)極好的例子就是，由于魏爾過分鐘情于對(duì)稱，以至拋棄了他自己提出的不滿足左右對(duì)稱的二分量中微子理論(1929)，它正是(從對(duì)稱性上考慮)28年后李政道和楊振寧所獲得的宇稱不守恒[7]，并以此榮獲諾貝爾物理獎(jiǎng)的對(duì)稱破缺。事實(shí)上，數(shù)學(xué)發(fā)展中對(duì)稱性的破壞，即對(duì)稱破缺，導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、理論、方法的追溯決不是個(gè)別例證，只是在對(duì)稱性目標(biāo)追求下掩蓋了對(duì)對(duì)稱破缺的深入認(rèn)識(shí)與進(jìn)一步的探索。本節(jié)中我們借用對(duì)稱破缺概念，考察以往數(shù)學(xué)發(fā)展中數(shù)學(xué)家是如何在對(duì)稱性目標(biāo)追求下處理對(duì)稱破缺，使數(shù)學(xué)各個(gè)部分在和諧的結(jié)構(gòu)體系中互生互存、協(xié)調(diào)發(fā)展。(一)形式對(duì)稱破缺數(shù)學(xué)概念、定理、結(jié)論、公式、圖形等外表對(duì)稱性，可稱為形式對(duì)稱性，是數(shù)學(xué)家追求的一個(gè)目標(biāo)，不合這樣要求的結(jié)果通常被認(rèn)為是不好的，要么被拋棄，要么重新修改使之達(dá)到和諧。很多時(shí)候，結(jié)論在特殊情形下表現(xiàn)出非常完美的形式，一旦推廣到一般情形，這種完美就消失殆盡。這就需要重新限定范圍或建立合適的框架，使原有的完美性重現(xiàn)。例如，圓錐曲線(圓、橢圓、雙曲線和拋物)在直角坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)形是極其完美的，具有明顯的各種對(duì)稱性。但當(dāng)這種特殊的圓錐曲線表為一般二次曲線后，就產(chǎn)生對(duì)稱破缺。設(shè)一般二次曲線為：f(x，y)=Ax[2]+By[2]+2Dxy+2Ex+2Fy+C=0，其圖像性質(zhì)無法直接判斷，作圖也不方便，相對(duì)于坐標(biāo)系來說它已失去通常的對(duì)稱性。為重顯對(duì)稱，可對(duì)它作平移、旋轉(zhuǎn)等變換，化為以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的標(biāo)準(zhǔn)形。此例是一種相對(duì)破缺，圖形自身具有對(duì)稱性，但相對(duì)坐標(biāo)系出現(xiàn)對(duì)稱破缺，經(jīng)適當(dāng)變換可重現(xiàn)對(duì)稱。大多情形，要重獲對(duì)稱需數(shù)學(xué)家良好的直覺與高超的技巧。形式對(duì)稱比較直觀，位置對(duì)稱、循環(huán)對(duì)稱，時(shí)間周期、旋律對(duì)稱，定理、公式等都能觀察與感覺，判斷標(biāo)準(zhǔn)清晰，這種例子在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中俯拾皆是，如幾何圖形、對(duì)稱多項(xiàng)式、二項(xiàng)式系數(shù)三角形、根與系數(shù)關(guān)系的韋達(dá)定理、復(fù)根的成對(duì)性、多元函數(shù)的雅可比行列式、常微分方程的朗斯基行列式、麥克斯韋電磁方程、波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程等，表現(xiàn)為圖形局部重疊、變量全部出現(xiàn)并呈齊整勻稱形式等，一旦不滿足這些條件即變?yōu)榉菍?duì)稱結(jié)構(gòu)，呈對(duì)稱破缺。(二)方法對(duì)稱破缺除可直觀把握的對(duì)稱外，有些對(duì)應(yīng)關(guān)系也可具對(duì)稱性，包括一些方法、手段、技巧、思想等，我們可將它們稱作廣義對(duì)稱。誠如魏爾在《對(duì)稱》中所說的，“對(duì)稱性不管你按廣義還是狹義來定義，其含義總有一種多少時(shí)代以來人們試圖用以領(lǐng)悟和創(chuàng)造秩序、美和完善性的觀念”，這種觀念上的對(duì)稱指導(dǎo)我們尋求和諧、簡單、實(shí)用、美妙的新思想或方法。過于偏頗于某些特殊方法，引起思維定式，不利于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，形成思維或方法對(duì)稱破缺。古希臘幾何在歐幾里得的貢獻(xiàn)下成為一個(gè)數(shù)學(xué)體系，《幾何原本》的演繹方法成了處理數(shù)學(xué)的典范方法。中世紀(jì)前，幾何是重要而熱門的數(shù)學(xué)分支，許多古代大數(shù)學(xué)家都著有非常重要的幾何著作。算術(shù)與代數(shù)盡管也有悠久的歷史，但總體發(fā)展較幾何遲緩，其基礎(chǔ)的建立還是近代的事，嚴(yán)格性在當(dāng)時(shí)與幾何相去甚遠(yuǎn)。幾何學(xué)的順行使問題處理偏于幾何方法，“數(shù)形結(jié)合”更多是以形代數(shù)。數(shù)與形本身是一種地位對(duì)等的現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象。因此，數(shù)、形方法在經(jīng)典數(shù)學(xué)中歷來都是一種“對(duì)稱”的方法論思想，上述這種偏頗可以認(rèn)為是數(shù)形方法的一種對(duì)稱破缺。笛卡兒(R.Descartes,1596-1650，法國)對(duì)此深感不安，他認(rèn)為，演繹方法“與其說是用來探索未知的東西，不如說是用來交流已知的東西”，但他也從幾何證明中吸取營養(yǎng)，認(rèn)為由成串簡單易懂的推理可以想到，“所有人們能夠知道的東西，都是相互有聯(lián)系的”[8]，主張將代數(shù)與幾何中最好的東西取長補(bǔ)短，相互結(jié)合。在他這種偉大方法論思想指引下，作為處理幾何問題的普遍方法——解析幾何終于問世，從而導(dǎo)致微積分的發(fā)明，使數(shù)學(xué)進(jìn)入近代快速發(fā)展期。這種思想、方法上破缺的矯正需要豐富創(chuàng)造力，對(duì)問題需有宏觀與深刻的理解。作為數(shù)學(xué)學(xué)科或方法發(fā)展不平衡的對(duì)稱破缺，是數(shù)學(xué)家尋求創(chuàng)新與發(fā)展的重要啟示。歐氏幾何的演繹方法，不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)整理的一種標(biāo)準(zhǔn)手段，也是確認(rèn)數(shù)學(xué)結(jié)論正確性的通行方法，它逐步發(fā)展為現(xiàn)代嚴(yán)格的公理化方法，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起了極大推動(dòng)作用。數(shù)學(xué)給人的印象似乎是演繹證明的堆砌。但從宏觀數(shù)學(xué)發(fā)展看，演繹數(shù)學(xué)并非數(shù)學(xué)的全部，單一的邏輯演繹就形成非對(duì)稱的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)模式，從而產(chǎn)生對(duì)稱破缺，近代笛卡兒的解析幾何、現(xiàn)代吳文俊的機(jī)械化數(shù)學(xué)等都是在此破缺基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。(三)概念對(duì)稱破缺數(shù)學(xué)研究一切對(duì)象的關(guān)系模式。為了具有普適性，往往將具體對(duì)象抽象化。如希爾伯特對(duì)幾何公理化時(shí)指出，抽象點(diǎn)既可表示雨點(diǎn)、水滴、地點(diǎn)等，也可表示茶杯、桌子等任何事物。研究抽象對(duì)象獲得的抽象關(guān)系模式同樣也具有廣泛的普適性，這種高度抽象與廣泛應(yīng)用不僅給思維與理解帶來準(zhǔn)確性，也提供了更廣闊的遐想空間，有助于思維的深入發(fā)展。如果將許多對(duì)象共性特征抽取作為抽象化基礎(chǔ)，那么不同對(duì)象間所具有的共性就是這兩類對(duì)象間的某種不變性質(zhì)，這就呈現(xiàn)了某種對(duì)稱或局部對(duì)稱性。數(shù)學(xué)對(duì)象間的這種對(duì)稱性往往不易被人發(fā)現(xiàn)，因?yàn)橛袝r(shí)抽象是從表面看來完全不同的兩類或更多類對(duì)象中獲得的，它掩蓋了蘊(yùn)涵著的某些對(duì)稱性，這時(shí)也可認(rèn)為對(duì)象間呈現(xiàn)出某種概念對(duì)稱破缺。射影幾何中，彭色列(V.Poncelet,1788-1867，法國)利用中心投影(蒙日利用平行投影)研究圖形在透射，即圖形的透視或連續(xù)多次透視變換下的不變性質(zhì)，發(fā)展了對(duì)合與調(diào)和點(diǎn)列理論(而不是交比概念)，并強(qiáng)調(diào)“連續(xù)性原理”的重要性，利用它將實(shí)圖形引申到虛圖形。以圓的交弦定理為例，“虛”的意思即：相交弦的交點(diǎn)從圓內(nèi)移到圓外(弦的延長線上的點(diǎn))時(shí)原有定理仍然成立。當(dāng)兩圓相交時(shí)，公共弦上的點(diǎn)滿足交弦性質(zhì)，兩圓相離時(shí)，公共弦成為虛的，但定理仍然成立，不過這時(shí)原來的交弦點(diǎn)或公共弦延長線上的點(diǎn)就變?yōu)閮蓤A根軸上的點(diǎn)。虛元素觀念給建立對(duì)偶原理提供了合理基礎(chǔ)，但卻使普通實(shí)元素系統(tǒng)產(chǎn)生對(duì)稱破缺。普適法則的追求及“對(duì)偶原理”的需要使數(shù)學(xué)家第一次將無窮遠(yuǎn)點(diǎn)、直線、平面作為普通的點(diǎn)、直線與平面對(duì)待，為無窮元素爭得了一席平等之地，也為點(diǎn)、線或點(diǎn)、面間的破缺關(guān)系重獲對(duì)稱搭建了一座橋梁，“這些理想的無窮遠(yuǎn)元素給我們帶來了好處，它們使結(jié)合定律系統(tǒng)變得盡可能簡單明了。由于點(diǎn)和線之間的對(duì)稱性，從此就如所共知的那樣，產(chǎn)生了幾何學(xué)富有成效的對(duì)偶原理”[9]。19世紀(jì)射影幾何復(fù)興使人們有機(jī)會(huì)重新審視幾何學(xué)地位，發(fā)現(xiàn)其邏輯上比歐氏幾何更基本，歐氏幾何繼非歐幾何后再次降格為別人的侍從。無窮元素的處理，使沒有直觀形象的虛元素“無窮”成為與實(shí)對(duì)象一樣的普通元素；對(duì)偶原理則在平面點(diǎn)與線、空間點(diǎn)與面間構(gòu)建了一種對(duì)稱結(jié)構(gòu)。普呂克把笛卡兒點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)改為齊次點(diǎn)坐標(biāo)(x[，1]，x[，2]，x[，3])后，獲得漂亮的“線坐標(biāo)”概念，使對(duì)偶原理有了明確的代數(shù)表述和嚴(yán)格證明，并使“無窮”元素從形式上完全平民化，(x[，1]，x[，2]，x[，3])不僅表示普通實(shí)點(diǎn)、實(shí)線，也可表示無窮那樣的虛點(diǎn)、虛線，使其與普通點(diǎn)、線一樣，具有共同的表示與處理方式，更清楚地揭示了無窮元素與普通元素、平面點(diǎn)與直線間的對(duì)稱關(guān)系。普呂克的齊次坐標(biāo)使點(diǎn)線面中的概念對(duì)稱破缺真正獲得了對(duì)稱重建。無窮元素的對(duì)稱化處理，是古代無窮感性認(rèn)識(shí)的具體化，也是分析算術(shù)化對(duì)無窮辯證理解與處理的繼續(xù)，康托爾(L.Cantor,1845-1918，德國)將普通自然數(shù)與超窮數(shù)對(duì)稱化后創(chuàng)立“超窮集合論”，魯賓遜(A.Robinson,1918-1974，德國)將“無窮小量”與普通實(shí)數(shù)對(duì)稱化后導(dǎo)致非標(biāo)準(zhǔn)分析誕生，幾何中“無窮元素”理想化處理與數(shù)論中庫默爾的“理想數(shù)”引入是理想元素方法最富成效的例子[10]。(四)理論對(duì)稱破缺具體的定理、性質(zhì)、圖形等直觀形式的對(duì)稱破缺，與抽象的概念、方法、思想等內(nèi)在關(guān)系的廣義對(duì)稱破缺都對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展具有推動(dòng)作用。學(xué)科理論在分類、屬性、處理方法等方面也會(huì)產(chǎn)生對(duì)稱破缺，這種破缺將引起新分支的建立與發(fā)展。歐氏幾何第五公設(shè)問題研究導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，這將原有完美、對(duì)稱的歐氏幾何系統(tǒng)打開一個(gè)缺口，發(fā)現(xiàn)其外還有一個(gè)沒有矛盾、一時(shí)又找不到現(xiàn)實(shí)對(duì)應(yīng)的羅巴契夫斯基(N.Lobatchevsky,1792-1856，俄國人)幾何。羅氏幾何的發(fā)現(xiàn)并沒有就此中止非歐幾何的發(fā)展，由此產(chǎn)生了眾多各異的非歐幾何，進(jìn)一步的發(fā)展首先來自理論對(duì)稱破缺的啟發(fā)。在歐氏幾何到非歐幾何發(fā)展的漫長路途中，薩凱里(G.Saccheri,1667-1733，意大利)的思想具有里程碑作用，他將直線外一點(diǎn)處的平行線作了如下分類：過這點(diǎn)(a)恰好有一條直線與之平行；(b)沒有直線與之平行；(c)至少有兩條直線與之平行。他希望用(b)、(c)代替第五公設(shè)后能推出矛盾，從而肯定只有(a)成立。他確實(shí)從(b)與其他公理出發(fā)導(dǎo)出了矛盾，對(duì)(c)雖然沒有導(dǎo)出矛盾，但他不敢面對(duì)由此得到的稀奇古怪的結(jié)論，最后還是不了了之，以《歐幾里德無懈可擊》作為他對(duì)歐氏幾何最終的忠實(shí)辯護(hù)。19世紀(jì)以前的許多數(shù)學(xué)家都與薩凱里一樣，不敢輕易否定根深蒂固的歐氏幾何。歷史發(fā)展表明，薩凱里對(duì)平行線的上述分類是完全、和諧的。羅氏幾何只解決了薩凱里分類中的一種情形，就分類的完整性而言是不完美的，呈現(xiàn)一種對(duì)稱性破缺，這種破缺究竟是無法彌補(bǔ)的缺陷還是蘊(yùn)涵豐富寶藏的金山一角，這不能不引起數(shù)學(xué)家的興趣。黎曼為獲得哥廷根大學(xué)教師資格，1854年就高斯指定的幾何基礎(chǔ)問題作了一次公開演講，并于1868年以《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》為題正式發(fā)表，導(dǎo)致另一門非歐幾何——黎曼幾何的發(fā)現(xiàn)。它不僅對(duì)羅氏非歐幾何作了極好的補(bǔ)充，且進(jìn)一步發(fā)展了高斯的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，給出了全新的黎曼流形、流形曲率等概念，將物理空間看成是一種特殊的流形，并嚴(yán)格區(qū)分了無界與無限。黎曼幾何創(chuàng)立不久，貝爾特拉米(E.Beltrami,1835-1900，意大利)(1869)便找到了其歐氏幾何模型，將黎曼幾何看成歐氏幾何中球面上的二重橢圓幾何，事實(shí)表明這是物理世界更好的描述。而且，黎曼幾何恰好是前面提到的薩凱里對(duì)平行線所作分類，即過直線外一點(diǎn)沒有直線與已知直線平行的完整補(bǔ)充，薩凱里與羅氏都由此推出矛盾，使幾何體系產(chǎn)生對(duì)稱破缺，黎曼卻在改變直線的無限延伸性后使之重新恢復(fù)和諧，達(dá)到新的對(duì)稱[11]。這樣，就薩凱里對(duì)直線外一點(diǎn)所作平行線分類而言，獲得了圓滿的解釋。黎曼幾何的發(fā)現(xiàn)，從整體上表明，三角形內(nèi)角和大于、等于、小于π的三種幾何是一個(gè)和諧、完整的整體。羅巴契夫斯基幾何與黎曼幾何以極其完美的形式證實(shí)了幾何分類的和諧性(需對(duì)兩點(diǎn)決定一直線另作理解)。理論對(duì)稱破缺對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)具有重大意義。幾何空間概念打破后，代數(shù)的千年禁錮也隨之解體，形成破缺之勢。哈密爾頓(R.Hamilton,1805-1865，英國)的四元數(shù)幾乎與非歐幾何同時(shí)發(fā)現(xiàn)，沖破了交換律的束縛，成為代數(shù)學(xué)解放的先導(dǎo)，與幾何學(xué)雙雙獲得理論發(fā)展的突破，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的重要里程碑，隨后發(fā)現(xiàn)的一系列新代數(shù)使破缺后的代數(shù)體系在新的層次與更廣范圍內(nèi)達(dá)到“對(duì)稱”。三數(shù)學(xué)發(fā)展中對(duì)稱破缺的作用對(duì)稱、非對(duì)稱均為宇宙的普遍現(xiàn)象，對(duì)稱破缺現(xiàn)象的普遍存在，特別是它對(duì)物理學(xué)發(fā)展的巨大推動(dòng)作用，使“破缺”成為上世紀(jì)下半葉以來自然科學(xué)研究的一個(gè)重要課題，并引起科學(xué)哲學(xué)范疇內(nèi)的大量討論，如文獻(xiàn)[12-16]等。對(duì)稱與非對(duì)稱在一定條件下可以轉(zhuǎn)換。原有對(duì)象的對(duì)稱性在一定條件干擾下喪失，即呈對(duì)稱“破缺”，破缺描述了這種轉(zhuǎn)化過程；若對(duì)稱破缺后，對(duì)象在新的條件、層次上重獲新的對(duì)稱，我們可稱其為“對(duì)稱重建”。上圖表示對(duì)稱、非對(duì)稱及破缺與重建間的基本關(guān)系。一般的非對(duì)稱不能稱之為對(duì)稱破缺，這從對(duì)稱破缺的物理學(xué)來源即可知，具體可參見物理學(xué)中對(duì)稱破缺的大量論述，許多文獻(xiàn)如文[12]都稱非對(duì)稱即對(duì)稱破缺，我們認(rèn)為欠妥。盡管魏爾提出“不對(duì)稱很少僅僅是由于對(duì)稱性的不存在”[5]11，但并沒有確切依據(jù)表明對(duì)稱與不對(duì)稱間具有必然的對(duì)應(yīng)關(guān)系。從而，不對(duì)稱也未必是從對(duì)稱“破缺”而來。從動(dòng)態(tài)發(fā)展觀點(diǎn)看，對(duì)稱、非對(duì)稱只是一對(duì)相對(duì)穩(wěn)定、階段靜止或局部平衡的基本狀態(tài)，“破缺”與“重建”反映了這兩種基本狀態(tài)間的動(dòng)態(tài)變化過程，熱力學(xué)第二定律告訴我們，“重建”一般不是原有“破缺”的恢復(fù)，它是不可逆的變化過程，重建后的對(duì)稱往往處于另一環(huán)境或更高層次中。若原有對(duì)稱在破缺之后通過重建獲得新的對(duì)稱，對(duì)稱性程度在反復(fù)的破缺、重建后逐步提高，系統(tǒng)就形成一種“螺旋漸進(jìn)”式的進(jìn)化或發(fā)展。我們已經(jīng)看到，數(shù)學(xué)發(fā)展的各階段均存在對(duì)稱破缺現(xiàn)象，這種破缺或是由于新概念、新理論、新方法的建立，或是由于某一學(xué)科深入發(fā)展導(dǎo)致不平衡，或是由于數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)和思維的不完善而產(chǎn)生。對(duì)稱性作為美學(xué)的一個(gè)基本原則是數(shù)學(xué)外在表現(xiàn)目標(biāo)之一，對(duì)稱破缺使原有的和諧成為邏輯上的不協(xié)調(diào)，這種不協(xié)調(diào)導(dǎo)致新的“對(duì)稱”目標(biāo)的追求。因此可以說，對(duì)稱破缺是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力之一，它與對(duì)稱性原則一樣對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展具有積極作用。(一)對(duì)稱破缺是數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的源泉數(shù)學(xué)發(fā)展的基本動(dòng)力來自兩個(gè)方面，科學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)自身，前者為數(shù)學(xué)發(fā)展的外部動(dòng)力，后者為數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部動(dòng)力。兩者均會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)提出大量問題，數(shù)學(xué)問題是這兩種動(dòng)力在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式，表達(dá)了數(shù)學(xué)需要達(dá)到的基本目標(biāo)?！皢栴}是數(shù)學(xué)的心臟”[17]，問題缺乏意味著數(shù)學(xué)發(fā)展的中止或死亡。科學(xué)實(shí)踐為解決實(shí)際問題，可提出某些具體要求作為問題產(chǎn)生的信息來源，數(shù)學(xué)自身問題從何而來這是數(shù)學(xué)研究需要考慮的一個(gè)基本問題。出于美學(xué)原則，數(shù)學(xué)研究獲得的結(jié)論往往希望具有某種簡單性，對(duì)稱就是其中的一個(gè)基本要求，為達(dá)到這個(gè)目標(biāo)就會(huì)產(chǎn)生如何實(shí)現(xiàn)的問題。因此，對(duì)稱性要求本身就產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題。當(dāng)對(duì)稱破缺發(fā)生時(shí)，原有的美學(xué)和諧遭到破壞，形成直觀的不勻稱和邏輯的不協(xié)調(diào)，此時(shí)為了重返對(duì)稱，就會(huì)考慮重獲對(duì)稱的各種目標(biāo)和手段，從而產(chǎn)生有利于達(dá)到既定目標(biāo)的各種數(shù)學(xué)問題。用信息論觀點(diǎn)來考察，對(duì)稱破缺具有比對(duì)稱更多的信息量，對(duì)稱破缺是信息之源[18]，形象不對(duì)稱、結(jié)構(gòu)不合理、如何完成對(duì)稱重建、重建目標(biāo)向何方發(fā)展等都是產(chǎn)生問題的信息源，破缺即是問題。實(shí)際上，我們大多處于非對(duì)稱、非平衡、非穩(wěn)定、非線性、非均勻的復(fù)雜狀態(tài)之中，對(duì)稱作為“簡單”的一種表現(xiàn)形式是描述系統(tǒng)或?qū)ο笞罘奖?、簡潔的手段，身處如此一個(gè)“非”正常的大背景之中，加上歷史悠久的對(duì)于“對(duì)稱”的依賴，使人們過分強(qiáng)調(diào)“對(duì)稱性”在科學(xué)認(rèn)識(shí)中的地位[15]53。但是，近現(xiàn)代自然科學(xué)研究告訴我們，以對(duì)稱為背景的對(duì)稱破缺也是自然界的普遍現(xiàn)象，幾乎所有守恒律都存在破缺情形。作為自然或宇宙一部分的數(shù)學(xué)，是否就能離開這一自然規(guī)律而使對(duì)稱性保持永恒？上述數(shù)學(xué)對(duì)稱破缺現(xiàn)象告訴我們答案是否定的，數(shù)學(xué)中有關(guān)定理，如哥德爾不完全性定理等都部分地揭示了數(shù)學(xué)中“對(duì)稱破缺”現(xiàn)象的存在。無疑，對(duì)稱破缺是數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的源泉之一，是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部動(dòng)力之一。(二)對(duì)稱破缺是數(shù)學(xué)螺旋漸進(jìn)的臺(tái)階自然科學(xué)的許多實(shí)例，如人類進(jìn)化過程、相對(duì)論的發(fā)展等都表明，科學(xué)的革命與發(fā)展離不開對(duì)稱破缺。科學(xué)的發(fā)展過程，是對(duì)稱性和對(duì)稱破缺不斷交替形成和產(chǎn)生的過程[16]14。這種方式在數(shù)學(xué)發(fā)展中同樣顯示了清晰的脈絡(luò)。例如，數(shù)與形這兩個(gè)概念，在以形表數(shù)、以數(shù)示形這樣的“表示”意義下建立了基本的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)建立了數(shù)與形間一種簡單的對(duì)稱關(guān)系，使數(shù)形結(jié)合成為處理數(shù)學(xué)問題的一個(gè)古老而基本的數(shù)學(xué)方法?！皵?shù)形結(jié)合”這種對(duì)稱的方法論思想總是在對(duì)稱——破缺——新的對(duì)稱——新的破缺這樣的往復(fù)中推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，拉格朗日(Lagrange,1736-1713，法國)給予數(shù)形結(jié)合思想極高評(píng)價(jià)，“只要代數(shù)與幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，應(yīng)用就狹窄。但當(dāng)它們結(jié)成伴侶時(shí)，就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善”[8]24。解析幾何的出現(xiàn)導(dǎo)致了微積分的發(fā)現(xiàn)，使近代數(shù)學(xué)進(jìn)入快速發(fā)展期，代數(shù)與分析幾乎統(tǒng)治了整個(gè)17、18世紀(jì)，古老的綜合幾何方法被排斥于常規(guī)考慮之外，長期的偏頗使數(shù)形思想再次出現(xiàn)對(duì)稱破缺。一方面，因幾何在方法上直觀優(yōu)美、邏輯上嚴(yán)密清晰，使人難以忘懷；另一方面，由于解析幾何過分強(qiáng)調(diào)代數(shù)方法，引來一些數(shù)學(xué)家的攻擊，厭煩機(jī)械運(yùn)算過程帶來的“坐標(biāo)磨坊的嘎嘎聲”，產(chǎn)生它“到底是不是幾何學(xué)？”的疑問。破缺引起的結(jié)果就是所謂的“射影幾何復(fù)興”，這種復(fù)興不僅使幾何思想的精髓得以重現(xiàn)，也推動(dòng)了代數(shù)幾何、微分幾何等新學(xué)科的興起。又如東西方數(shù)學(xué)，普遍認(rèn)為西方演繹數(shù)學(xué)在近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展中起了主導(dǎo)作用，事實(shí)上東方的算法數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)發(fā)展中同樣具有重要作用。克萊因(M.Kline,1908-1992，美國)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展方式的這種“對(duì)稱破缺”給出了一個(gè)較為客觀和平衡的看法，認(rèn)為數(shù)學(xué)發(fā)展具有兩種獨(dú)立的傳統(tǒng)：希臘人樹立的邏輯演繹數(shù)學(xué)和印度、阿拉伯人發(fā)展的為求實(shí)用的數(shù)學(xué)[19]，但他忽視了中國及其他一些國家的數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的作用。吳文俊先生基于世界數(shù)學(xué)發(fā)展史及中國古代數(shù)學(xué)史的深入研究，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展方式不平衡的對(duì)稱破缺給出了客觀而合理的解釋，從價(jià)值論上指出，以古代中國為代表的東方數(shù)學(xué)的機(jī)械化算法體系和以