「高中數(shù)學(xué)異面直線距離(教師用)」

求異面直之間距離的用方法求異面直線之間的距離是立體幾何重難點(diǎn)之一常有利用圖形性質(zhì),直接找出該公垂線然后求解；或者通過空間圖形性,將異面直線距離轉(zhuǎn)化為直線與其平行平面間的距離,或轉(zhuǎn)化為分別過兩異面直線平行平面間的距,轉(zhuǎn)化為求一元二次函數(shù)的最值問題,或用等體積變換的方法來解。方法一定義法也叫接法根據(jù)定義,找出或作出異面直線的公垂線段,再計(jì)算此公垂線段的長這是求異面直線距離的關(guān)鍵。該種方法需要考慮兩種情:一是如兩條一面直線垂,一般采用的方法找或做：過其中一個(gè)直線與另一個(gè)直線垂直的平面。若兩個(gè)直線不垂直,則需要找第三條直線第3條直線與兩個(gè)異面直線都垂直,平移第3直線使得與兩個(gè)異面直線都相交。例１已知邊長a為的兩個(gè)正方形ＡBCD和ＣＦ成１20的二面角求異面直線CＤ與AE間的距離。思路分析：由四邊形AＢＣ和CDＦ是正方形，得ＣD⊥AD,ＣD⊥DE,即C⊥平面ADE,過DＤH⊥AE于可得DＨ⊥ＡE，DHCD所以ＤH是異面直線ＡE的公垂線⊿ADE中,∠ＡＤE＝120aaDＨ＝。即異面直線CD與ＡE間的距離為。22

,AD=DE=，ABHDCE例2如圖，在空間四邊AＢCＤ中ＡB=＝CD＝D＝ACBD=ａEF分別是、ＣD的中點(diǎn)．求證：Ｆ是和CD的公垂線;求和C間的距離；（3)求和ＡC成角的大?。┳C明：連結(jié)B,已知可得AF＝．又因?yàn)锳EB,所以F⊥交ABＥ.同理ＥF⊥ＤC交于點(diǎn)F.所以EF是AB和C的公垂線.(2）在ｔ△Ｆ中，F(xiàn)＝BE

，

例圖所以E＝BF-2=2

，即EF=

．由（1)知是AB、C的公垂線段所以和Ｃ間的距離為a

.（3）過E點(diǎn)作∥交BC,因?yàn)椋恋闹悬c(diǎn)，所以G為Ｃ的中點(diǎn).以∠即為異面直線E和AC所成的角

EFFG21EFFG2111111在△中Ｆ

,Ｇ＝FGaｃｏs∠FＥ＝2

.例3

所以∠FEG＝45°所以異面直線EF與AC成的角為45°.正方體AＢCD-AＢCD棱長為a,求異面直線與BＣ的距離。１１取的中點(diǎn)連結(jié)PD，ＰＢ分別交AC，于M，點(diǎn)易證：ＤB⊥AC，DB⊥１１

Ｃ，1∴MN為異面直線ACＢ

1的公垂線段，易證：MＮBD=。例4、正四棱錐S－ABCD中，底面邊長為a，側(cè)棱長為＞a)．求：底面對角線AC與側(cè)棱SＢ間的距離.解:作SＯ⊥面AＢCＤ于O,則點(diǎn)O是正方形ＡＣD的中心．∵SO⊥ＡC,BＯ⊥AC,∴AＣ⊥面SOB.在△SOB中，作OH⊥SB于Ｈ①,根據(jù)①、②可知OH是ＡC與SB的距離．

E-BCDA1E-BCDA1∵OH·SB=SO·OB,方法二轉(zhuǎn)化為線面離若a、b兩條異面直線，過b一點(diǎn)A作a平行線記C與b定的平面α。從而，異面直線a、ｂ間的距離等于線面a、α間的距離。例1直角梯形ABＣD在平面外一點(diǎn),90

，ＳA⊥平面＝AＢ=BC=，AD=2求異面直線與AB間的距離.解：如圖，設(shè)Ｆ是AＤ的中點(diǎn),連結(jié)、則ＡBCF．故AB∥平面ＣＳ故直線AB平面ＣFＳ的距離就是異面直線SC與A間的距離,在平面內(nèi)作AE⊥，垂足為E，易知AB⊥平面Ｓ故CＦ⊥平面SＡＦ.∴⊥AＥ.從而ＡＥ⊥平面,

Ｓ故為直AＢ到平面ＣＦS的距離,即Ｃ與AB距離．2在RtSAF,易得ＡＥ=2思考,與方一的思是否統(tǒng)一

B

A圖

C

F

Ｄ例2如圖，ＢＦ條異面直線分別在直二面角Ｂ的兩個(gè)面內(nèi)和棱分別成α、β角，又它們和棱的交點(diǎn)間的距離為求兩條異面直線BF、AE間的距離。思路分析:BＦ、ＡＥ兩條異面直線分別在直二面角-AB-Q的兩個(gè)面內(nèi)，EAB＝α,∠ＦAB＝β，ABｄ，在平面Q內(nèi)，過Ｂ作BHＥ,將異面直線、AE間的距離轉(zhuǎn)化為AE與平面ＢＤ間的距離即為A平面ＢＣD間的距離因二面角ＡＢ-Q是直二面角A作AC⊥ＡＢ交BF于C,即AＣ⊥平面ＢD，過Ａ作Ｄ⊥BD交于D,連結(jié)ＣD。設(shè)A到平面BCD的距離為h。由體積法VＡ,得h＝

dsin1

FCβ

B方法三體積法:體積法實(shí)質(zhì)也為線面法

αEHD本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再將線面距離轉(zhuǎn)化為錐體的高然后體積公式求之。例１：正方體，求ＡC與的距離

11，即33111，即331當(dāng)求ＡC與B的距離轉(zhuǎn)化為求AＣ與平面AB的距離后設(shè)C到平面Ａ１1

ＣＢ的距離為ｈ，則1∵

h·(a)=·a·a，

∴h=，即Ａ與B的距離為ａ。１例2設(shè)長方體的三邊長為=5，ＢC４，BB=3,求AB和之間的距離1解:如圖4,由AB∥,知∥平面．111

D

1

Ｃ故要求ＡＢ和之間的距離，1只要求出A到平面ADB的距離即可.1連結(jié)D,1

AA

1

D圖３

B

B

1

C則三棱錐ABD的也就是AB平面的距離．11而

A1

1S??ABDD11

,

12可求得h．5故ＡB和之間的距離為.評注:等體積法是解決距離問題的常用方法,用它可避免作一些復(fù)雜的輔助線，關(guān)鍵是找到容易計(jì)算面積的底面。方法四轉(zhuǎn)化為面面離若a、ｂ是兩條異面直線,則存在兩個(gè)平行平面α、β,且a∈α、b∈β。求、b兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為平行平面α、β間的距離。例1

棱長a的正方體ABCD中，求兩對角線B與BC間的距離．1111解:連結(jié)AD,BD,,D，11∵D∥B,∥D，ADD，11∴平面D∥平CD．111

A

1

D

1

ＯＮ

B

C1

1連結(jié)ACC,則C⊥，由三垂線定理,111

A

DＭ

B

E

C圖

1111知AC⊥BD．同理,BC∴⊥平面CD111111同理⊥平面AD．∴平CD∥平面ABＤ11設(shè)與平面ADCD的交點(diǎn)分別為ＭN,則Ｍ的長即為平面CD111與平面D距離,也就是異面直AB間的距離11設(shè)與BD的交點(diǎn)為Ｏ,連結(jié)ON,在平中A⊥,1111ON⊥,則AON1OC，∴MNCN同MNAM．11∴MNACa．故與B的距離為a．33評注:把求異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為求直線與平面或平面與平面間的距離是求異面直線間距離時(shí)最常用的兩種轉(zhuǎn)化手段.例2已知：三棱錐SＡ中，SA=BC=1３，＝AC＝＝１5,求異面直線AD與Ｂ的距離。思路分析這是一不易直接求解的幾何把它補(bǔ)成一個(gè)易求解的幾何體的典型例子常常有時(shí)還常把殘缺形體補(bǔ)成完整形體不規(guī)則形體補(bǔ)成規(guī)則形體不熟悉形體補(bǔ)成熟悉形體等所以把三棱錐的四個(gè)面聯(lián)想到長方體割去四個(gè)直三棱錐所得,此，將三棱錐補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為長方體,設(shè)長方形的長、寬、高分別為x、y、S

CSABBy21522

A

z

x

BC

132解得，y＝2,z=１。由于平‖平面Ｂ平面ＳA、平間的距離是2,所以異面直線AD與Ｂ的距離是2。例3正方體，求ＡＣ與ＢC的距離

1111111111111111111111111111111111111111ｉ11解法:（轉(zhuǎn)化法∵平面ACＤ//面ACＢ∴AC與的距離等于平面AＣD與平面Ａ１CB的距離,如圖3所示）∵

DB⊥平面ACD被平面ACD和平面AB三等分∴所距離為１BD＝

。

小結(jié):這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離。方法五構(gòu)造函數(shù)法極值法根據(jù)異面直線間距離是分別在兩條異面直線上的兩點(diǎn)間距離的最小值,可用求函數(shù)最小值的方法來求異面直線間的距離。例1知正方體BD的棱長１為求ＡBDB的距離。１思路分析:在AB任取一點(diǎn)M，作１MP⊥ＡBPN⊥ＢD則ＭＮ⊥BD１１１只要求出MＮ的最小值即可。設(shè)A則１

D1NAPB1

122ＭｘＡP=x以=ａ–x，22

MD2=(a–452

０

（2，

AB

2

2例2

23(x)a。當(dāng)ｘ22正方體，求AC的距離。

2a時(shí)=。3任取點(diǎn)Q∈,作QR⊥于點(diǎn)，作Ｋ⊥ＡCK點(diǎn)，如圖4示,

設(shè)RC=x,則OK2=x+(a-ｘ)2=（x－a２+ａ2,故QK的小值，即與的距離等于１

a。小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)通過求這個(gè)函數(shù)的最小值來得到二異面直線之間的距離。例3已知正方形ACD正方形AＤ在平面互相垂直并相交于直線．這兩個(gè)正方形的邊長均求異面直線ＡE和ＢD的距離．解:Ｐ是AE上任意一點(diǎn)，過Ｐ作PQ垂直AD垂足為Q,∵平面ＡＤEF平面ABC,

且平面ADEＦ

平面ABCD＝Ａ∴⊥平面ABCD.過Ｑ作QR⊥BD垂足為連結(jié)PＲ,則QR是ＰＲ在平面ABＣ上的射影由Ｑ⊥BD知BD∴的長度是上任意一點(diǎn)Ｐ到BD距離設(shè)ＡQx則QD=x.APQPAQ45

0

,

0

，AQx,則x.在DQR中45

0

,90

0

,DQa則ＱR

(-x∵⊥平面ABCD,平ＡＢＤ

∴ＰQQR.在

PQR,PR

PQ

x)]

,

E23aa2(x)3∴當(dāng)=時(shí),PR取最小值a

.

FA

DQ圖４

Ｒ

B

C即異面直線AE和Ｂ的距離為．評注因異面直線的距離是異面直線上兩點(diǎn)間距離最短的從而可將異面直線的距離轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解.

在求異面直BC間的距離時(shí),可先在ＳＡ任取一點(diǎn)Ｄ,作ＤＥ⊥直徑AC于Ｅ，則⊥底面圓.再作EF⊥BＣ于F,則有DF⊥BC,于是的最小值就是SＡ與間的距離.方法六:公法如圖已知異面直線a所的角為q,公垂線段AA＇AF＝ｎ?

應(yīng)用此公式時(shí),要注意正、負(fù)號的選擇．?

當(dāng)∠ＤAＦ=q時(shí)負(fù)號當(dāng)F(或點(diǎn)Ｅ)在點(diǎn)（A的另一側(cè)時(shí)取正

A

O?．

O

/B例５已知圓柱的底面半徑為３為4AB點(diǎn)分別在兩底面圓周上并且AB＝5，求異直線AB軸/間的距離。思路分析：在圓柱底面上AO⊥Ｏ/,BＯ

⊥ＯＯ/又OO圓柱的高，ＡB=

AB1111111//圖1AB1111111//圖1５，所以d=

332

。即異面直線AB與軸ＯO/之間的距離為

332

。方法七射影將兩條異面直線射影到同一平面內(nèi),射影分別是點(diǎn)和直線或兩條平行,那么點(diǎn)和直線或兩條平行線間的距離就是兩條異面直線射影間距離。例6在正方體ABCD-ABD中AB=1M、1１１N分別是棱AB、ＣC的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)。１求異面直線DＭ、間的距離。思路分析：兩條異面直線比較難轉(zhuǎn)化為線面、

D

1

1

1N面面距離時(shí)，可采用射影到同一平面內(nèi)，把異面直線DM射影到同一平面Ｂ內(nèi)，轉(zhuǎn)化為Ｃ１2QN的距離然,易知BＣ的距離為。4

DCEQAMB所以異面直線DM、EN間的距離為

24

。8、向量求條異面直線的距離下面介紹一種利用向量進(jìn)行計(jì)算的簡易方我們先來看看空間向量在軸上的射設(shè)向量AＢ，那么它在軸上的投影為AB從１可以看出為了作出u軸上的射影,可以過點(diǎn)AB分作u軸直的ABuA'B'

兩個(gè)平面么點(diǎn)Ａ在ｕ軸上的射影分別為A’、’，且點(diǎn)A’、Ｂ’必定在平面顯然，就是在u上的射影．從另一方面看，線段就是異面直線A’A和B’B如果它們不平行的話)的公垂線段，也就是兩異面直線間的距離.所以,異面直線上任意兩點(diǎn)所連接的向量在公垂線方向上射影的模亦即投影的絕對值就是兩異面直線間的距離.為所|A

/

/

|AB|cos

|A

/

/

|表示兩異面直線間的距離．由于們之間的距離處處相等，所以ｕ軸的選取不一定要是公垂線而只要同時(shí)與兩異面直線垂直,也就是說只要與垂線方向向量共線即可下面看個(gè)例子．

111111111111111111例5正方體ABCD－AＢＣD的棱長為a,求異面直線Ａ與的距離．１１解:如圖以直線DA為x軸，DCy,Ｄ為z軸，Ｄ為原點(diǎn),立空間直角坐標(biāo)系.有D(0，0，0)、A(，０,0C(0,a,０、(０，，且＝（-a,a,０=(-ａ＝(0,ａ,0).１設(shè)=(x,ｙ，由·＝·=0,得ａy＋0·z＝0解得ｘ.=(k,k,k）(k≠0)

-a

∴d=

＝

=

O

(D)

．

yC答:異面直線Ａ與的距離是

.

x

A

圖2

B綜合題:例.如圖知正方體ABCDC的棱長,兩異面直C11111的距離.解法一（面面平行法)如附圖，兩異面直、B間的距離1

兩平行平BDA、BCD間的11距離d,且由三垂線定理知AC與這兩個(gè)平行平面垂直。1由平面幾何知識易證AC被這兩平行平面三等分，1

d

33

a.解法公垂線段法）由上可知面直BD、B的公垂線段平行且等于AC，由這一特殊的比3例關(guān)系聯(lián)想到三角形的重心，啟發(fā)我們?nèi)?gòu)造重心!故找尋交線的中點(diǎn)P,設(shè)PC1

BCM,PABD證M、N分別為BCC和的重心，由1PM＝平行且等于AC，則即為兩異面直線BD、公3PA3垂線段!思維發(fā)散空間四邊形的四個(gè)內(nèi)角,最多有多少個(gè)直角?如附圖在空間四邊CMNOCMNNOC90對是否為直角呢？不妨假90則異面直線、BC有兩條公垂線段MN、OC這與1公垂線段的唯一性矛盾！

直角最多只能有

3。解法三最小值法)在BC任取M在BC內(nèi)作,再在底面11

222222ABCD內(nèi)作BD，MHx

BHHN

22

則在直角三角形MHN中，有

2

2

13x,2當(dāng)x

a3

，即點(diǎn)為一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，d1

33

a解法四線面平行等積法):C1

／/

面ABD,則兩異面直BDBC11間的距離B面BD距點(diǎn)到面ABD的距離111故可由等積法得:V

BD

＝Ｖ

11＝33