【高中數(shù)學(xué)】第4章 4.4 數(shù)學(xué)歸納法

000000004.4*

數(shù)學(xué)歸納法素養(yǎng)目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)了數(shù)歸納法的原理(點(diǎn)、難)．握用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的一般方法與步驟．(點(diǎn))用學(xué)歸納法證明一些數(shù)學(xué)命題點(diǎn)

1.學(xué)抽象；2邏輯推理；3數(shù)學(xué)運(yùn)算情境導(dǎo)學(xué)往一匹健壯的駿馬身上放一根稻草，馬毫無反應(yīng)；再添加一根稻草，馬還是絲毫沒有感覺；又加一根……一直往馬身上添稻草，當(dāng)最后一根輕飄飄的稻草放到了馬兒身上后，駿馬竟不堪重癱倒在地．這在社會(huì)學(xué)里，取名為“稻草原理”．這其中蘊(yùn)含著一種怎樣的數(shù)學(xué)思想呢？．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的定一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有的命題，可按下步驟進(jìn)行：歸納奠基證明當(dāng)n＝(∈*)時(shí)命題成立；歸納遞推以“當(dāng)＝k(∈*，kn)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＋1時(shí)題也成立”．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開的所有正整數(shù)都立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框表示判斷正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×．與自然數(shù)n有的題都可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明×)在利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，只要推理過程正確，也可以不用進(jìn)行假設(shè)×)

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，由nk到n＋1等式的項(xiàng)數(shù)一定增加了一項(xiàng)(×)．式子＋k＋k2…＋nA．1C．＋k＋k

(nN*，當(dāng)n＝時(shí)式子的值為B)B．＋kD．上不對(duì)．用數(shù)學(xué)歸納法證明≥n3(≥，n∈*時(shí)，第一步驗(yàn)證()A．n＝C．＝3

B．＝D．n4C解析：由題知的最小值為，所以第一步驗(yàn)證n否成立．．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的等式時(shí)，當(dāng)n＝k時(shí)表達(dá)式為14＋×7…k＋＝k＋2，則當(dāng)＝k＋1時(shí)表達(dá)式_×＋2×7＋k(3k＋1)(k＋1)(3k＋＝(＋1)(＋2)解析：k更為＋．式子＋3＋5…(2n1)＝(＋2

，當(dāng)＝1，右邊的式子為_．＋1)

解析：＝1時(shí)式子變“＋3＝(12

”，故右邊的式子(＋

【例】用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋×＋5＋…＋(2－×

n

n

n－3)∈*

01－－1…－即－－1…＝11－－01－－1…－即－－1…＝11－－－1…證明：(1)當(dāng)n時(shí)，左邊＝，右邊2(2－3)＋3，邊＝右邊，所以等式成立．假設(shè)當(dāng)＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即1＋3＋×

＋＋(2k－×

＝2

k－3)則當(dāng)n＋1時(shí)，＋×2＋5

＋＋(2k－×1

＋＋×

k＝2

k－＋＋＋×2

＝2

k－＋3

k＋1)－3]，即當(dāng)＝k＋，等式也成立．由1)(2)知，等式對(duì)任∈N*成立．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，一是弄清取一值時(shí)式兩端項(xiàng)的情況；二是弄清從n＝k到＝k＋1等兩端的項(xiàng)是如何變化的，即增加了哪些項(xiàng)，減少了哪些項(xiàng)；三是證明n＝k＋1時(shí)論也成立，要設(shè)法將待證式與所作假設(shè)建立聯(lián)系，并向n＋時(shí)明目標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行變形．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1111345＋

＝(∈*)．＋2證明：(1)當(dāng)n時(shí)，左邊＝－＝，3右邊＝＝，式成立．＋3假設(shè)n(k∈*)時(shí)，等式成立，111245＋2＋在上式兩邊同時(shí)乘

－k＋3

得1111345＋2＋＝

－＝＝＝，k＋2＋3＋即當(dāng)＝k＋等式成立．由1)(2)可知對(duì)任何n∈N*等式都成立．

111【例】用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋…＋－＋－＋＋－(n∈N*)．1232122－12證明：(1)當(dāng)n時(shí)，左邊＝，右邊1＝，左>右邊，所以不等式成立2假設(shè)當(dāng)n(∈N*)時(shí)，不等式成立，111即＋＋＋>1－＋－＋…＋－321k－12k則當(dāng)＝k＋，＋＋…＋＋32111>1＋－＋…＋－＋342k2k111>1＋－＋…＋－＋342k2k1111＝1＋－＋…＋－＋－，k－1k即當(dāng)＝k＋，不等式也成立．由1)(2)知，不等式對(duì)何∈N*都立．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式需要注意：．在歸納遞推證明過程中，方向不明確時(shí)，可采用分析法完成，經(jīng)過分析找到推證方向后，再用綜合法、比較法等其他方法證明．．在推證“n＝k＋1時(shí)等式也成立”的過程中，常常要將表達(dá)式作適當(dāng)放縮、變形，便于應(yīng)用所作假設(shè)，變換出要證明的結(jié)論．1n用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋＋＋(nN*)．312證明：(1)當(dāng)n時(shí)，左邊＝，右邊＝，不式成立．假設(shè)當(dāng)n(∈N*)時(shí)不等式成立，即1＋＋＋＋>31111則當(dāng)＝k＋1＋＋＋…＋＋＋＋…>＋＋＋…32k1＋1k12k12k12

1＋＋21＋＋2＋

k11k>＋＋＋＋＝＋(2k21)2k＋1＝.∴當(dāng)＝k＋，不等式成立．由1)(2)可知，不等式任何∈*立．【例】求證a

n

＋(a＋1)2n

1

能被

＋＋1整除．其中n∈*a∈R)證明：(1)當(dāng)n時(shí)，a＋(a1＝a＋a＋1顯然能被a＋a＋1整，命題成立假設(shè)當(dāng)n(∈N*)時(shí)，

1

能被＋a除．則當(dāng)＝k＋，2＋(1)1＝a1＋1)(a＋2＝[ak＋a＋2k]＋a＋1)(a＋1)2k1－a2k＝a[1(a1)2k]＋(a2＋a1)(＋1)1

上式能被2a＋1整，即當(dāng)＝k＋，命題成立．由1)(2)知，對(duì)一切n∈N*a∈，題都成立．證明整除問題的關(guān)鍵是湊項(xiàng)，即采取增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，湊出＝k時(shí)的情形，從而利用歸納遞推使問題得以解決．用數(shù)學(xué)歸納法證明：若f(n)×2n11

，則f)能被整除．∈N*)證明：(1)當(dāng)n時(shí)，f(1)3×5＋

＝×23∴能被除，命題成立．假設(shè)n(k∈*)時(shí)，f)＝31＋23k

能被整．則n＋時(shí)，f＋＝3×523

n1n12n1n12＝52

×3×521＋3＝×3×18×3k＝×3×18×(3×21＋)＝×3×1＋8f(k)．因?yàn)閒()能被整除，173×52k

1

也能被17整，所以fk＋1)能被整．由1)(2)可知，對(duì)任意∈*f(n)能被整除．．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋＋＋＋n3)＝(∈*時(shí)，第一步驗(yàn)證＝1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是)A．1C．＋2＋

B．＋D．1＋3＋D解析由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知：當(dāng)n時(shí)等式的左邊是12＋(1＝1＋23＋4.故選．．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明f＝n2>0(n5∈*時(shí)應(yīng)先證()A．C．f

B．fD．(5)>0D解析利數(shù)學(xué)歸納法證明fn)＝2nn∈N*時(shí)，第一步應(yīng)該先證明n時(shí)命題成立，即f＝－>0.選D．．明命題“凸n邊內(nèi)角和等于－”，n取的第一個(gè)值是()A．1C．

B．2D．C解析：＝3時(shí)凸n邊就是三角形，而三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于，所以命題成立．故選．111用學(xué)歸納法證1＋－…＋－＝＋＋…＋第一步應(yīng)驗(yàn)證34nn＋1＋的等式是；從“n＝k”到“＝k＋1”左邊需增加的等式是．11－＝－解析當(dāng)n時(shí)應(yīng)當(dāng)驗(yàn)證的第一個(gè)式子是－＝，從221“n”到“＝k＋1”左邊需增加的等式是－2．?dāng)?shù)列{}＝1且a＝a＋求出，，；

n1n1n213241n1n1n213241歸納出數(shù)列{}通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明歸出的結(jié)論．解：由a＝a＝a＋

知：351＝a＋＝，a＝a＋＝，＝a＋＝.××33×4n－猜想數(shù)列{}通公式為＝，nn證明如下：×－1①當(dāng)＝1時(shí)左邊＝a＝，右邊＝＝1∴左邊＝右邊，即猜想成立；2－②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)猜想成立，即有a＝，k那么當(dāng)＝k＋1時(shí)a＝＋

2－1k＋12＝＋＝＝，kkk＋k從而猜想對(duì)＝k＋1也立．n－1由①②可知，猜想對(duì)任意的nN*都成立，所以數(shù)列{}通項(xiàng)公式為＝nn．?dāng)?shù)學(xué)歸納法只能用來證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，其原理類似于不等式的傳遞性．．要認(rèn)識(shí)到用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩缺一不可．．應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，關(guān)鍵是證明n＝＋時(shí)命，要想證好這一步，需明確以下兩點(diǎn)：一是要證什么，二是n＝＋時(shí)命題與所作假設(shè)的區(qū)別是什么．明確了這兩點(diǎn)，也就明確了這一步的證明方向和基本方法．．有關(guān)“和式”或“積式”，一定要“數(shù)清”是多少項(xiàng)的和或積，以準(zhǔn)確確n由n＝k變到＝k＋1時(shí)和”或“積”的情況．

課時(shí)分層作業(yè)十)數(shù)學(xué)歸納法鐘分基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)考點(diǎn)分訓(xùn)練知識(shí)點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸法證明等式分用數(shù)學(xué)歸納法證明等式＋＋＋…＋(＋＝(n∈N*)時(shí)第步驗(yàn)證＝，左邊應(yīng)取的項(xiàng)()A．1C．＋2＋

B．＋D．1＋3＋D解析當(dāng)＝n＋＝，故左邊應(yīng)為1＋＋3)數(shù)學(xué)歸納法證明＋2＋＋…＋n2

n4＝

＋2則＝k＋n∈*時(shí)等式左邊應(yīng)在nk的礎(chǔ)加()A．2B．(k＋1)C．

＋D．(k2＋1)＋(k2＋＋(＋＋…＋k＋1)2D解析當(dāng)＝時(shí)等式左邊＝1＋…＋k

；當(dāng)n＝＋時(shí)等式左邊＝＋2＋…＋k＋k2

＋＋＋(k＋1)2.選D．3.(10用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋3…＋(2n－1)＝n2證明：(1)當(dāng)n時(shí)，左邊＝，右邊1等式成立．

(∈*)．假設(shè)當(dāng)n(∈N*)時(shí)，等式成立，即13＋＋(2k－1)＝

，那么，當(dāng)n＝k＋1，13…－1)＋＋1)－1]＝k2

＋[2(k＋－1]＝2

＋k＋1＝k＋1)2這就是說，當(dāng)n＋時(shí)等式成立．根據(jù)1)和2)知等式對(duì)任意正整數(shù)都立．知識(shí)點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸法證明不等式114.(5分)用學(xué)歸納法證明：＋＋…＋－，設(shè)n＝k時(shí)2＋2不等式成立，則當(dāng)＝k＋，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式_．1111＋＋＋＋>－322k＋3

111解析：＝k＋1時(shí)，目標(biāo)不等式為＋＋…＋＋－.222k＋35.(10證明不等式1

1＋＋＋n∈*)．3n證明：(1)當(dāng)n時(shí)，左邊＝，右邊2左右邊，不等式成立．假設(shè)當(dāng)n(∈N*)時(shí)，不等式成立，即1＋

11＋＋＋3k當(dāng)n＋時(shí)，＋

1＋＋＋＋3kk＋<2k＋

＋1＋1＝k＋1k＋1<

＋＋2＝＝2k＋1.k＋1k＋1所以當(dāng)＝k＋1時(shí)不等式成立．由1)(2)可知，原不等對(duì)任意nN*成立．知識(shí)點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸法證明整除問題6.(5分用學(xué)歸納法證明34n

2

＋5

1

能被14整的過程中＝k＋1時(shí)4(k1)

＋51)1

應(yīng)變形為

25(34k＋52k1

)＋×34k2

解析：當(dāng)＝k＋時(shí)

1)2

＋52(

1)1

＝×3

＋×

14k＋52k＋56×

2

7.(10用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋＋(＋2)3能除(n∈*)．證明：(1)當(dāng)n時(shí)，1＋

＋33

＝36被9整除，所以結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n(∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即k＋(＋3(k＋2)3能9整．則當(dāng)＝k＋，(＋1)3

＋(k＋2)

＋(k＋3)3＝[k＋(＋＋(k＋2)]＋[(＋3)33]＝[k

＋(k＋1)

＋(k＋3

]＋92

＋27＋＝[k

＋(k＋1)

＋(k＋3

]＋9(k＋k＋．因?yàn)閗3(＋＋(k＋3能整，2＋3＋也能被除，所以＋3

＋(k＋2)

＋(k＋3)3

也能被整除，即n＝＋結(jié)論也成立．

由1)(2)知命題對(duì)一切∈*成立．能力提升練能力考點(diǎn)適提升8.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明＋a＋a2計(jì)算所得的式子B)A．1B．＋aC．＋a＋2D．＋a2＋a3

＋…＋a

－an＝(an∈*)在驗(yàn)證＝1時(shí)邊1a111分)利用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋＋＋∈*，且n≥2)，第二步由到n＋2n＋1時(shí)等式左端的變化()A增加了這項(xiàng)k＋11B增加了和兩項(xiàng)k＋1k＋21C．加了和兩項(xiàng)，減少了這項(xiàng)k＋1k＋2D．上不對(duì)111C解析當(dāng)n＝k時(shí)左端為＋＋＋＋當(dāng)＝k＋1時(shí)端＋＋kk＋1k＋22kk＋k＋11＋…＋＋＋，k＋32k2＋1k＋2對(duì)比可知，確．10(5分用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為奇數(shù)時(shí)＋yn

能被x＋y整”，第二步歸納遞推中的假設(shè)應(yīng)寫成()A假設(shè)＝2k＋1(∈N*時(shí)確，再推n＝k＋3正確B假設(shè)＝2－∈N*)正確，再推n＝k＋1時(shí)正確C．設(shè)n＝k(∈N*時(shí)正確，再推＝k＋正確D．設(shè)n(k∈N*)時(shí)正確，再推＝k＋2時(shí)確B解析：∵為正奇，∴在證明時(shí)，應(yīng)假設(shè)＝－1(k∈N*時(shí)正確，再推出＝2＋時(shí)正確．故選B．分對(duì)于不式n2n≤＋1(nN*)，某學(xué)生的證明過程下：當(dāng)＝1時(shí)

＋1≤＋1，不等式成立．假設(shè)當(dāng)n(∈N*)時(shí)等成立k

＋k≤k＋1當(dāng)n＝k＋1，

＋

nnnn123n1221nnnn123n1221＝k

＋3＋2<

＋3＋2

＝＋1)＋1所以當(dāng)＝k＋1時(shí)，不等式成立．上述證法()A過程全都正確B．＝1驗(yàn)不確C．設(shè)不正確D．nk＝k＋的理不正確D解析n＝的驗(yàn)證及假設(shè)都確，但從＝k到n＋的推理中沒有使用假設(shè)作為條件，而是通過不等式的放縮法直接證明，這不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求．故選D．12.(5分用數(shù)學(xué)納法證明12

＋2

＋…＋(－1)2n2

＋n1)2

＋…＋2

＋2＝

＋1

時(shí)，由＝的假設(shè)到證明＝＋時(shí)，等式左邊應(yīng)的式子是________________________________________________________________________．(＋1)2

＋k

解析：當(dāng)nk時(shí)左12

＋22

＋＋(－1)22k－1)＋…＋

＋12

當(dāng)n＋時(shí)，左邊＝＋

＋＋2＋1)＋k

＋(k－1)2…＋＋1，所以等式左邊添加的式子(＋1)＋k213.(5分)用學(xué)歸納法證明(n＋1)·(＋2)·n＝2

n

××3×－∈*)，“從k到＋”左端增乘的代數(shù)式．＋解析令f(n＝(n＋＋2)…＋n)，則fk)＝＋1)(＋2)(＋)，f＋＝(k＋2)(k＋3)(k＋k)(2k＋1)(2＋2)，f1所以＝＝2(2k＋f＋14.(5分)若存在正整數(shù)m使得f()＝n＋7)·3＋9(n∈*)能被m整，則m的大值．解析f＝36f(2)×3，f＝36×10，…，猜想m的最大值為36.S115.(15分)已知數(shù)列{}前和為，中＝且＝.n1求，；猜想數(shù)列{}通公式，并證明．Sa＋解：(1)a＝＝，a＝，×1631則a＝，似地求得a＝2153

123nnn11112＋11123nnn11112＋111由＝，＝，a＝，…，××55猜想：＝.1證明：①當(dāng)＝1時(shí)由1)可知等式成．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)想成立，即a＝

，1S那么，當(dāng)n＝k＋1，由題設(shè)＝，得a＝

S，a＝，k1所以S＝－

＝k(2k－＝，1k＋1S＝(k＋1)(2k＋1)a，k＝－＝(k＋1)(2k＋a－.1因此，k＋＝

kk＋1所以a＝1＝

[21][2這就證明了當(dāng)n＋時(shí)命題成立．由①②可知命題對(duì)任意∈*成立．

n246n247472nn10131057910n246n247472nn101310579107131nn36136112n1n1nn1nn1第四章質(zhì)量評(píng)估(時(shí)間：分，分值分)一、單項(xiàng)選擇題(本題共小，每小題分共40分)．在等差數(shù){}，a＝，a＝2則＝)A1C．

B．0D．B解析：在等差數(shù)列{}，若a＝，a＝，則＝(a＋a)(4＋a＝2，解得＝n22266故選B．已知等比數(shù)列{}公為－，且a＋a＝1則＋a＝)A8C．－4

B．8D．D解析由題意可知＋＝(＋×(－2．若是差數(shù)列{}前n項(xiàng)和，且S－＝，則S的為)A．12C．22

B．18D．26D解析根據(jù)題意得－＝a＋＋＋＋＋＋a＝7＝，所以＝，＝13＝13a＝26.故選D．7．已知等比數(shù)列{}前n項(xiàng)為，且9＝，a＝，則a＝()A

B

C．A解析∵S＝，a6∴9＝，－－

D．∴9(1－q3

)＝1－q6

，∴1q3

＝9∴＝1∴a＝＝.1．在數(shù)列{}，若＝，a＝＋

n

，則等()A．2

n

－1

B．2n

－C．1

D．2n1A解析∵＝＋

，∴－＝2n

21324nn1n1n－n46425n54643524442453533521324nn1n1n－n46425n5464352444245353353＋＋＋n＋4nnnnn1nnn3nnnnn1n1nn11n1nn1nn∴a－＝2，a－＝

，a－＝2，…，－＝

n

相加得－＝＋22＋…＋n

1

n1＝＝1

－2.∴＝2

n1．已知數(shù)列，，，，，則其前n項(xiàng)S為()416A．n2

＋n＋1－

B．n＋－

2nC．21－

1

D．n2

＋＋21A解析∵＝＋，nn1∴＝＋＝n2＋n－.n1n－．已知數(shù)列{a}遞的等比數(shù)列，且－＋aa＝，則a－＝()A．6C．10

B．8D．12D解析∵{}遞的等比數(shù)列，∴－∵a＝2a2a，a＝2，a－＋a＝144可為a2－2a＋a2

＝144(

5－a)2

＝144∴－＝故選．11111n正偶數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…－＝34－1n時(shí)，若已假設(shè)n(k≥2且為偶數(shù)時(shí)式成立，則還需要再證)A．n＝＋時(shí)等式成立B．＝k＋2時(shí)式成立C．＝2＋時(shí)等式成立D．＝＋時(shí)等式成立B解析：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟可知，n(k≥2且k偶)下一個(gè)偶數(shù)為n＋2.故選B二、多項(xiàng)選擇題(本題共小，每小題分共20分)．已知等比數(shù)列{}前n項(xiàng)為，下列數(shù)列中一定是比數(shù)列的()A．{a2}C．{}

B．{a}D．，S－，－解析由數(shù)列{}等比數(shù)列可知，＝(≠，對(duì)于A，＝2，故A項(xiàng)中的a列是等比數(shù)列對(duì)B，＝＝2

lga≠0故B項(xiàng)的列是等比數(shù)列對(duì)于Clga

1

nnnn2nn66676766n6667131n6667676667132166671131nnnnnnnnnS2nT12n1n2n1nnnn12n1n2n1nnnnnnn2nn66676766n6667131n6667676667132166671131nnnnnnnnnS2nT12n1n2n1nnnn12n1n2n1nnnk1k1nnnnnn23,126745,不一定為常數(shù)，{a}一為等比數(shù)列；對(duì)D，a＝－

，為等比數(shù)列，公比為－1則有能為0，即，－，－不一定成等比數(shù)列．故選．10在等差數(shù){}，aa>0，且aa，為數(shù)列{}前項(xiàng)和，)A公差<0B．a(chǎn)＋C．D．的n的小值為解析∵a<0>0，且a，∴d>0，a－a，a＋a，∴＝66(＋＝66(a＋)>0，S＝＝a，1312∴使S的n的小值為Sn＋39a．已知兩個(gè)等差數(shù){}{}前項(xiàng)分別為和T，且＝，則使得為T＋3數(shù)的正整數(shù)值為)A．2C．ACD

解析：由題意可得＝2n

B．3D．141aa＝＝，則＝＝11T＋1815＝＝3＋.n＋n＋1由于為整數(shù)，則n為的正約數(shù)，＋1的能取值，因此，正整數(shù)的可能取值有故12于數(shù){}存在正整數(shù)kk≥2)使aa則稱a是列{a}“值”是列{}“值點(diǎn)”數(shù){}a＝＋－8面能作為數(shù)列{}的“谷值點(diǎn)”的)A．3C．

BD．576AD解a＝＋－8，a＝2a＝，a＝2，a＝，a＝，a＝，a＝，＝.1223427故a3是谷值點(diǎn)”；a>，>a，是谷值點(diǎn)”>a，>a，是“谷值點(diǎn)”a<是谷值點(diǎn)”．故選．

nn2432412343412n11113nn2954n12nn95464n141nn2432412343412n11113nn2954n12nn95464n14141nnnnnn1n1三、填空題本題共小題，每小題分共20分13.已知{}各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S，S＝，＝15則＝________.解∵＝3S＝，∴a＋＝3，a＋＝－＝12.＋a∴＝4＝＋a

∵a>0，∴＝∴a＋q＝3＝∴＝1.a＝a＝4.14.已知等差數(shù){}有10項(xiàng)其奇數(shù)項(xiàng)之和為10偶數(shù)項(xiàng)之和為，則公差是．解∵－＝5d，∴d＝4.15.已知數(shù)列{}足－a＝aa(∈*)，數(shù)列{}足＝，bnn1nnn

1＋b＋＋b＝，則b＝，b＝________.1解由題意可得－＝3即數(shù)列{}公為的等差數(shù)列，由b＋＋…a＋b＝，b＝10所以＝，b＝13，bb＝16.在一個(gè)數(shù)列中果一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積為同一個(gè)常數(shù)么個(gè)數(shù)列稱為等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為該數(shù)列的公積．已知數(shù){}等積數(shù)列，且＝2，公積為，那么這個(gè)數(shù)列的前41的和為．－解析：由題意可＝－＝＝a＝，…＝＝，12239402＝，∴＝×(－2)＋20－＝92.四、解答題本題共小題，共70分17.(10分)數(shù)列{}前項(xiàng)和為，知＝S－n*)，求數(shù){}通項(xiàng)公式．解：＝，＝3－，a＝.111當(dāng)n，由已知a＝－，得a＝－

nn1n1nn1nn110nnn2nn10nnnn5nnn132nn2nnnn1nna1111nn－nn1n1nn1nn110nnn2nn10nnnn5nnn132nn2nnnn1nna1111nn－2n1nnn兩式作差得－＝S－)a，∴a＝a，n41∴數(shù)列{}首＝，比q＝－的等數(shù)列．n∴a＝

n1×－n

1

18.(12分)已知為等差數(shù){}前n項(xiàng)＝8，＝－10.求，；設(shè)T＝a＋＋＋，求T.解：(1)∵＝10＋d＝8045d－，∴d－2.∴a＝－2(n－＝－，10－2S＝＝n－n2n2

令＝，得n當(dāng)n，T＝－n；當(dāng)n，T＝－＋2S＝n2

－9n，n，∴＝，≥19.(12分)已知數(shù)列{a}足

1＝＋(n∈*，且a＝，a＝a.a求{}通項(xiàng)公式；若＝a(∈*)求數(shù)列{}前項(xiàng)和.解：由

n

11＝＋(n∈*可知數(shù)列差數(shù)列．由知得＝5，＝×.1anaa3a51設(shè)其公差為，則＋＝5，＋＝＋，1解得＝1＝2，于是＝＋－1)＝2－，a整理得＝n311由(1)得＝a＝＝1

，所以S＝n

1－＋－＋＋－3n2＋1

＝n

nn1n14＋＋1＝a－＝3－241nnn1n14＋＋1＝a－＝3－241nn9nn12nn1nnnn11120.(12分)某地區(qū)原有森林木材存量為每年增長率為因產(chǎn)建設(shè)的需要，每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)a為后該地區(qū)森林木材存量．求{}表達(dá)式．為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量應(yīng)不少于a.果b，72那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過幾年(≈解：(1)第一年后的森林木材存量為a，n年的森林木材存量為，5∴a＝1＋－＝－b55＝a－＝a－b－ba－＋1b21325由上面的a，a，推＝－n＋2…＋＋＝a－(其中nN*)．證明如下：①當(dāng)n時(shí)＝－，結(jié)論成立．15②假設(shè)當(dāng)＝時(shí)，a＝－4k－b成立，則當(dāng)＋1時(shí)