懸臂梁的彎曲變形

本節(jié)討論懸臂梁的彎曲，考察薄板梁，左端固定，右端受切向分布力作用，其合力為F，懸臂梁在力的作用下將產(chǎn)生彎曲。設(shè)梁的跨度為/，高度為龍，厚度為一個(gè)單位，自重忽略不計(jì)。首先討論梁的彎曲應(yīng)力。對(duì)于懸臂梁，建立坐標(biāo)系如圖所示。則梁的邊界條件為hy=±- 小'二°丁用二°p=0 =0 v=0該邊界條件要完全滿足非常困難。但深入分析發(fā)現(xiàn)，只要梁是細(xì)長的，則其上下表面為主要邊界，這是必須精確滿足；而左右端面的邊界條件，屬于次要邊界。根據(jù)圣維南原理，可以使用靜力等效的應(yīng)力分布來替代，這對(duì)于離端面稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力并無實(shí)質(zhì)性的影響。因此兩端面的邊界條件可以放松為合力相等的條件。此外由于梁是外力靜定的，固定端的三個(gè)反力可以確定，因此在求應(yīng)力函數(shù)時(shí)，只要三面的面力邊界條件就可以確定。固定端的約束，即位移邊界條件只是在求解位移時(shí)才使用。這樣問題的關(guān)鍵就是選擇適當(dāng)?shù)膽?yīng)力函數(shù)，使之滿足面力邊界條件。因?yàn)樵诹旱纳舷逻吔缟希鋸澗貫镕(l-x)，即力矩與(l-x)成正比，根據(jù)應(yīng)力函B B陽二有)％血十『0由-y)%&數(shù)A 由 的性質(zhì)，設(shè)應(yīng)力函數(shù)為

其中f(y)^y的任意函數(shù)。將上述應(yīng)力函數(shù)代入變形協(xié)調(diào)方程，可得即奪，積分可得/(/)=十切十分十廿由于待定系數(shù)d不影響應(yīng)力計(jì)算，可令其為零。所以，應(yīng)力函數(shù)為/(/)=十切十分十廿輪(w)二(￡-幻(妒+或+勿將上述應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，可得應(yīng)力分量返回孔二bJ+七脫將上述應(yīng)力分量代入面力邊界條件灼F+叩，可以確定待定系數(shù)。b兌二0 r兌二°在上下邊界，川=勺 自動(dòng)滿足。而血"哼 ，則要求39-ah+M北+q=。43八——bh.+c=04J&咨=『ry—Q _豈在x=l邊界上， 曜 自動(dòng)滿足。而衛(wèi) ，則要求聯(lián)立求解上述三式，可得注意到對(duì)于圖示薄板梁，其慣性矩 12。所以應(yīng)力分量為F5=-?。ā籣切CT=0L/所得應(yīng)力分量與材料力學(xué)解完全相同。當(dāng)然對(duì)于類似問題，也可以根據(jù)材料力學(xué)的解答作為基礎(chǔ)，適當(dāng)選擇應(yīng)力函數(shù)進(jìn)行試解，如不滿足邊界條件，再根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行修正。返回應(yīng)力分量求解后，可以進(jìn)一步求出應(yīng)變和位移。du.dvTOC\o"1-5"\h\zS .s .將應(yīng)力分量代入幾何方程 阪',沙'1-1/' v 1頭=—^C^--—bj)二苛(q-吃務(wù))A 1—lr jz-j1-!/' V 1勺二烏—一F)=m(弓—3織)Y

物理方程GA 1—VY

物理方程G廠*—E]&公—(％1-V2fsy=、公—(％1-V2fsy=、, —CT)=—(4T-vLcr)E1-V"E]\'L?&_2(1+1/) _2(111/0GE秒E]壯可得dudu1z、S二——=—(￡7-vc)二dv1—G-加El… 」 Fev二一二一-i/b*)二u——(I-x)y，場(chǎng)礦，"Er”Svdu2Q+h)(1+v)F.h2隊(duì)匕二f*廠二二J(甘一卜)3^dyE KI4對(duì)于上述公式的前兩式分別對(duì)尤，y積分，可得F門12、F^=-—7)+—/WFl公1 2F=v——(一加--xy)4-——g(x)El2 2政其中/(J)，g(尤)分別為y,x的待定函數(shù)。將上式代入應(yīng)變分量表達(dá)式的第三式，并作整理可得［加*-捉)出尸⑴號(hào)河+小少小蕓由于上式左邊的兩個(gè)方括號(hào)內(nèi)分別為x，y的函數(shù)，而右邊卻為常量，因此該式若成立，兩個(gè)方括號(hào)內(nèi)的量都必須為常量。所以1,)二打h2胞+m=(1+y)—上式的前兩式分別作積分，可得/(7)=*時(shí)&6顏弋)二—-—X5+*+』2 6F 1土、FU--——{Ixy--xy)+——f(y)EI 2EIFlIfv-^—(.-fy2-rV3)+—^(x)將上式回代位移表達(dá)式 2 2EI，則TOC\o"1-5"\h\zF.12 2+V3, ,u-——（-/xy+—jcy y+海己）EI2 6v^—（-1/--^十土盤—'日心撲）EI'2^ 2z2 6 '其中m,n,c,d為待定常數(shù)，將由位移邊界條件確定。顯然，上述位移不可能滿足位移邊界條件x=0,u=v=0。懸臂梁左端完全固定的約束條件太強(qiáng)了，要嚴(yán)格滿足非常困難。對(duì)于工程構(gòu)件，端面完全固定僅僅是一種假設(shè)，真實(shí)的端面約束條件是非常復(fù)雜的。在彈性力學(xué)討論中，重要的是分析一般條件下，懸臂梁的彎曲變形。根據(jù)圣維南原理，真實(shí)約束條件對(duì)于懸臂梁位移分析的影響主要是端面附近的位移，對(duì)于遠(yuǎn)離端面處，這個(gè)影響主要是剛體位移。因此首先排除剛體位移，平面問題只要有三個(gè)約束條件就足夠了。至于選用的約束條件與實(shí)際約束的差別，將在本節(jié)最后討論。為此首先假定左端截面的形心不能移動(dòng)，即當(dāng)x=y=0， u=v=0代入位移表達(dá)式，可得c=d=0為了確定m和〃，除了利用位移邊界條件，還必須補(bǔ)充一個(gè)限制剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的條件。分別考慮兩種情況：一是左端面形心處的水平微分線段被固定；二是左端面形心處的垂直微分線段固定。對(duì)于第一種情況，即增加約束條件由此條件，可得對(duì)應(yīng)的位移為E7v727 6懸臂梁變形后的撓曲線方程為v(xjO)= (3f一咒)?！?EI這一結(jié)果與材料力學(xué)的解答完全相同。這時(shí)梁的左端面變形為三次曲面，如圖所示 。其表達(dá)式為S氣F/2+lz3 1+V,2.她我)一百一片"引在左端面的形心，垂直微分線段將產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為印*二岑*J蕓〉。對(duì)于第二種情況即增加約束條件(Um=0世由此條件，可得

對(duì)應(yīng)的位移為n對(duì)應(yīng)的位移為n=j(l+v)hm=0以二巴（—網(wǎng)廠此El2 6+-x32梁變形后的撓曲線方程為心）=6E7 心）=6E7 4這時(shí)梁的左端面變形為三次曲面，如圖所示