S1-非線性系統(tǒng)簡介

《非線性系統(tǒng)理論》參考書：非線性系統(tǒng)理論及應用曹建福編著2001

非線性系統(tǒng)理論方勇純編著2005

非線性系統(tǒng)理論康惠駿編著2010教材：非線性系統(tǒng)（第三版）HassanK.Khalil著2011北京科技大學機械工程學院授課教師：郜志英機械工程研究生學科前沿課程——課程考核：平時作業(yè)（40分）+考試成績（60分）“認識非線性”Xt+1=f(Xt)X:系統(tǒng)狀態(tài)t:離散時間f:函數(shù)關系式Xt+1=rXtXt+1=rXt

(1-Xt)“認識非線性”Xt+1=rXtX0=100Xt+1=1.0Xt穩(wěn)態(tài)(steady-state)行為周期(periodic)行為Xt+1=-1.0Xt“認識非線性”Xt+1=rXtXt+1=0.9XtXt+1=1.1Xt衰減(decay)行為成長(growth)行為X0=100“認識非線性”Xt+1=rXt

(1-Xt)穩(wěn)態(tài)(steady-state)行為“認識非線性”Xt+1=rXt

(1-Xt)穩(wěn)態(tài)(steady-state)行為“認識非線性”Xt+1=rXt

(1-Xt)周期(periodic)行為Xt+1=3.2Xt

(1-Xt)Xt+1=3.5Xt

(1-Xt)P=2P=4TwopointsattractorFourpointsattractor“認識非線性”Xt+1=rXt

(1-Xt)非周期(non-periodic)行為Xt+1=3.99Xt(1-Xt)混沌（chaos）“認識非線性”Xt+1=rXt

(1-Xt)分岔（bifurcation）“認識非線性”Xt+1=rXt

(1-Xt)初值敏感性差之毫厘，謬以千里

假定某種昆蟲，在不存在世代交疊的情況下（即每年夏天成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個蟲卵孵化成蟲），很顯然，若產(chǎn)卵數(shù)大于1，蟲口就會迅速增加，“蟲滿為患”。事實上，在蟲口數(shù)目增大的同時又由于爭奪有限的食物和生存空間而不斷發(fā)生咬斗事件，也可能因接觸感染而導致疾病蔓延，這樣又會使蟲口減少。綜合考慮正增長和負增長兩種因素的作用“認識非線性”蝴蝶扇動翅膀的時候誰知道會發(fā)生什么？

Lorenz：美國數(shù)學家與氣象學家“認識非線性”-蝴蝶效應電影：《蝴蝶效應》THEBUTTERFLYEFFECTChangeonething,changeeverything。“時光日記本”“認識非線性”-蝴蝶效應20世紀物理學三大理論：相對論：否定了時間和空間的絕對性；（高速運動）量子論：否定了粒子與波的絕對性；（微觀運動）混沌論：否定了可預見的絕對性；（非線性運動）決定論決定論隨機論混沌論“隨時間而發(fā)生某種變化，其變化并非隨機而貌似隨機”Lorenz《TheEssenceofChaos》

“認識非線性”-混沌論“認識非線性”-工程振動新理論新原理新模型新方法新問題新應用機械系統(tǒng)工程非線性振動問題“認識非線性”-工程振動材料非線性：當彈性元件的材料應力超過比例極限，應力-應變關系不再是線性關系，彈性元件的恢復力與變形不再是線性關系，彈性力是位移的非線性函數(shù)。xF硬彈簧軟彈簧線性彈簧“認識非線性”-工程振動車輛懸架的主彈簧和副彈簧

振動機械的分組彈簧xFF分段線性：彈性力是位移的分段線性函數(shù)?！罢J識非線性”-工程振動分段線性：彈性力是位移的分段線性函數(shù)。連接彈簧存在間隙

彈簧有預緊力

xFxF“認識非線性”-工程振動幾何非線性：材料本身仍屬于彈性范圍，由于幾何原因?qū)е挛灰戚^大，在建立運動微分方程時必須考慮這種位移，使得恢復力與位移的關系成為非線性函數(shù)。張緊的弦

單擺

通常彈性材料：硬特性非線性超彈性材料：軟特性非線性單擺：軟特性非線性Section1非線性系統(tǒng)簡介

1.1線性振動回顧

1.2非線性系統(tǒng)模型

1.3非線性系統(tǒng)示例

返回首頁1.1線性振動回顧無阻尼自由動微分方程初相位角

振幅

返回首頁1.1線性振動回顧有阻尼自由振動微分方程1.1線性振動系統(tǒng)回顧有阻尼受迫振動微分方程

微分方程全解：齊次方程的通解+非齊次方程的特解

返回首頁1.1線性振動系統(tǒng)回顧線性有阻尼受迫振動：共振特性01230123451.1線性振動系統(tǒng)回顧

問題1——非線性(振動)系統(tǒng)的模型？問題2——無外激的非線性系統(tǒng)特性？問題3——有外激的非線性系統(tǒng)特性？由“線性”到“非線性”

返回首頁Section1非線性系統(tǒng)簡介目錄1.1線性振動回顧

1.2非線性系統(tǒng)模型

1.3非線性系統(tǒng)示例1.2非線性系統(tǒng)模型具有周期激勵的非線性系統(tǒng)：達芬（Duffing）方程1.2非線性系統(tǒng)模型非線性振動模型：慣性力阻尼力彈性力激勵力對于多數(shù)機械系統(tǒng)1.2非線性系統(tǒng)模型將二階常微分方程降階為一階常微分方程：任意的高維非線性振動系統(tǒng)可表示為：狀態(tài)方程1.2非線性系統(tǒng)模型狀態(tài)方程：自治系統(tǒng)（時不變系統(tǒng)）特例情況非自治系統(tǒng)（時變系統(tǒng)）平衡點：

返回首頁Section1非線性系統(tǒng)簡介目錄1.1線性振動系統(tǒng)回顧

1.2非線性系統(tǒng)模型

1.3非線性系統(tǒng)示例1.3非線性系統(tǒng)示例小車單擺

小車倒立擺系統(tǒng)1.3非線性系統(tǒng)示例

小車倒立擺系統(tǒng)單擺重心在水平和豎直方向上的牛頓定律：取對重心的力矩可得到轉(zhuǎn)矩方程：小車在水平方向上的牛頓定律：1.3非線性系統(tǒng)示例

小車倒立擺系統(tǒng)1.3非線性系統(tǒng)示例

帶旋轉(zhuǎn)制動的平移振蕩器簡化的動力學方程？狀態(tài)方程？Section1非線性系統(tǒng)簡介習題一個與無限長總線連接的同步發(fā)電機：用角位移、角速度和電壓作為狀態(tài)變量，寫出狀態(tài)方程；(b)設求出所有平衡點；(c)思考：假設時間常數(shù)比較大時的方程形式？習題

【動力系統(tǒng)