拉格朗日插值法

機(jī)械CAD/CAM基礎(chǔ)課程作業(yè)姓名曾子敬專(zhuān)業(yè) 機(jī)械電子工程學(xué)號(hào) 0042日期 2011-12-21武漢科技大學(xué)拉格朗日插值法的理解與運(yùn)用引言在機(jī)械設(shè)計(jì)與制造領(lǐng)域會(huì)因?yàn)橥ㄟ^(guò)大量試驗(yàn)而得來(lái)很多測(cè)試數(shù)據(jù)資料，如數(shù)表、線圖、標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)等。我們常常需要對(duì)這些繁多而復(fù)雜的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)的分析和處理，從而得到希望的演算結(jié)果，所以如何有效的處理一系列數(shù)據(jù)是在機(jī)械工程設(shè)計(jì)中是十分關(guān)鍵的一步。在傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，這些數(shù)據(jù)都是通過(guò)人工查詢(xún)手冊(cè)來(lái)獲取，但在現(xiàn)代CAD/CAM系統(tǒng)中，這些數(shù)據(jù)需要由計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理，這就需要我們將試驗(yàn)數(shù)據(jù)以數(shù)表和線圖的形式輸入計(jì)算機(jī)才能被計(jì)算機(jī)有效的識(shí)別、存儲(chǔ)和應(yīng)用。在CAD/CAM中，有兩類(lèi)數(shù)表需要進(jìn)行處理。一類(lèi)是彼此之間沒(méi)有函數(shù)關(guān)系的數(shù)表，如材料的機(jī)械性能、物理性能等；另一類(lèi)是彼此之間存在函數(shù)關(guān)系，而為了使用方便以表格形式給出的列表函數(shù)，如三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。對(duì)于數(shù)據(jù)之間存在某種函數(shù)關(guān)系而被離散化的數(shù)表，雖然離散化后的自變量值和因變量值存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，但是對(duì)于這類(lèi)數(shù)表所需完成的查詢(xún)通常并非恰好是給定的離散值，而是介于離散量之間的自變量和因變量，這就需要解析的方法處理。常用數(shù)表解析法有函數(shù)插值法和數(shù)據(jù)擬合法。下面以函數(shù)插值法中常用的拉格朗日插值法來(lái)討論其理解與運(yùn)用。函數(shù)插值一一拉格朗日插值法理解函數(shù)插值的含義在科學(xué)研究和實(shí)際的機(jī)械工程設(shè)計(jì)中，幾乎所有的問(wèn)題都可以用函數(shù)y=f(x)來(lái)表示其中某些內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，但是理想化的函數(shù)關(guān)系又很難在實(shí)際的工程測(cè)試結(jié)果中得到，對(duì)于那些沒(méi)有明顯方程式的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式則只能通過(guò)求出與原關(guān)系式近似的又能反應(yīng)其原函數(shù)特性的一種便于計(jì)算的簡(jiǎn)單函數(shù)，即構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù)來(lái)替代原函數(shù)。插值的基本方法插值的基本方法是在插值點(diǎn)附件選取幾個(gè)合適的節(jié)點(diǎn)，利用這些節(jié)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)g(x)，使g(x)經(jīng)過(guò)所選取的所有節(jié)點(diǎn)，在插值點(diǎn)確定的區(qū)間上近似用g(x)代替原來(lái)的函數(shù)f(x)，那么，插值點(diǎn)的函數(shù)值可以用構(gòu)造函數(shù)值來(lái)代替。而想要正確理解拉格朗日的含義就必須首先理解線性插值和拋物線插值。1)線性插值線性插值是用通過(guò)所選取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)線性函數(shù)g(x)來(lái)代替原來(lái)的函數(shù)f(x)。設(shè)有一個(gè)用數(shù)表表示的函數(shù)，插值點(diǎn)為(x,y)。插值步驟如下：從數(shù)表中在插值點(diǎn)的附近的自變量x，x(對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y,y)，并滿足條i i+1 ii+1

用過(guò)(X,X)和(y,y)兩點(diǎn)的直線g(x)代替原來(lái)的函數(shù)f(x),則插值點(diǎn)的函i i+1 ii+1數(shù)值為y= —(X_X)+yX-Xii2)拋物線插值拋物線插值是用通過(guò)3個(gè)節(jié)點(diǎn)的拋物線g(x)來(lái)代替原來(lái)的函數(shù)f(x)。在數(shù)表中，如何選擇TOC\o"1-5"\h\z合適的3個(gè)節(jié)點(diǎn)(x,y),(x,y),(x,y)，是保證拋物線插值精度的關(guān)鍵所在。1 1 2 2 3 3設(shè)插值點(diǎn)為(x，y)，拋物線插值步驟如下：從已知數(shù)表中，在插值點(diǎn)x的左右選取兩點(diǎn)(x，X)和(y,y)，分別記為i i+1 ii+1(X,y),(x,y)。它們滿足條件11 22XVXVX比較(X-x.)和(氣+1-X)的大小，取差值較小者作為取點(diǎn)的延伸方向，從數(shù)表中選取第3點(diǎn)。我們?cè)O(shè)(X-X)<(X-x)，則取點(diǎn)延伸方向，即取(x,y)作為第3點(diǎn)(x,y)。i i+1 i-1i-1 33將3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，得到插值點(diǎn)的函數(shù)值：_(X-X)(X-X) (X-X)(X-X) (X-X)(X-X)y2、/ 3~Ty. T _\"y、 T ~\"y.(X-X)(X-X)1(X-X)(X-X)2(X-X)(X-X)31 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2色)圖1

（a）線性插值圖；（b）拋物線插值圖實(shí)際在做出的圖表中查看插值的幾何意義如圖1所示，發(fā)現(xiàn)用g（x）代替原有曲線f（x）存在一定的誤差，且誤差的大小與插值區(qū)間有關(guān)，區(qū)間越小，誤差越小，當(dāng)自變量間隔足夠小時(shí)，線性插值的精度可以滿足使用要求，所以為了提高精度，就要利用多點(diǎn)插值，而拉格朗日就是多點(diǎn)插值法。（3）拉格朗日插值法的概述拉格朗日插值用來(lái)求n個(gè)節(jié)點(diǎn)的（n-1）次插值多項(xiàng)式，它就是線性插值和拋物線插值的推廣和延伸。我們?cè)O(shè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則拉格朗日插值的表達(dá)式表示為：,、V M一工）3一工）…3一x）（X一X）…（X一X） \nx-xg（x）二乙 匕 k=^k^d /—y=乙（11 j-）y（x一x）（x一x）…（x一x）（x一x）…（x一x）k x一xkk=1k1k2 k k-1 k k+1 kn k=1j=1,j」kkj拉格朗日插值的運(yùn)用（1）利用拉格朗日插值法手算函數(shù)f（x）=-^，（-2<x<2）4x2+11）我們?cè)O(shè)有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別為x=-2,x=0,x=1，則對(duì)應(yīng)的值為y=0.118,y=2,y=0.4，1 2 3 1 2 3根據(jù)定義構(gòu)造一個(gè)二次多項(xiàng)式:y*=ax(x-1)+a(x-1)優(yōu)+2)+ax(x+2)由于二次多項(xiàng)式函數(shù)須通過(guò)已知的三個(gè)結(jié)點(diǎn)，因此在節(jié)點(diǎn)x,x,x處應(yīng)滿足以下條件:123y*(x)=y,p(x)=y,p(x)=y，艮口1 1 2 2 2 3 3 30.11=〈(A—OW—D^%(0—1)((+2),0.傘03(1+2)0-0)則求的方程組得a1=0.197,a2=一1,03=0.1333則3節(jié)點(diǎn)的二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為：y=0?19Xx—1Hx—1)X+2)+0?13Xx+2)2）利用matable繪制函數(shù)圖形對(duì)比函數(shù)圖像①利用matable中的畫(huà)圖函數(shù)plot畫(huà)出原函數(shù)f（x）=-^的函數(shù)圖像和畫(huà)出手4x2+1算出的拉格朗日插值多項(xiàng)式函數(shù)圖像，并進(jìn)行圖像對(duì)比，matable中的編程程序?yàn)椋簒=-2::2;y2=*x.”*x;%簡(jiǎn)化后的二次拉格朗日插值函數(shù)plot（x,y2,'r--'）;%插值圖形虛線標(biāo)識(shí)holdony1=2./(1+4*x."2);plot(x,y1,'g-');%繪制原函數(shù)圖形綠色標(biāo)識(shí)從圖像對(duì)比中我們可以看出其3個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造出的函數(shù)存在很大的誤差，只有縮小區(qū)間，即增加取的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，使自變量間隔足夠小時(shí)，得到的插值函數(shù)精度才可以滿足使用要求。下面我們利用matable中的關(guān)于拉格朗日插值多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)驗(yàn)證當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)n取多時(shí)，構(gòu)造函數(shù)越精確。(2)利用matable編程求解拉格朗日插值多項(xiàng)式即圖形對(duì)比我們?cè)O(shè)取節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n，以下編程是指在取不同的節(jié)點(diǎn)數(shù)n的情況下，n-1次拉格朗日插值多項(xiàng)式在matable下所畫(huà)出的圖形與原函數(shù)圖像的對(duì)比，當(dāng)取的n越大時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)我們采用拉格朗日插值法得到的構(gòu)造函數(shù)越接近原函數(shù)圖形。所使用的matable函數(shù)編程如下：%求已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式和原函數(shù)并畫(huà)出其圖形進(jìn)行對(duì)比%設(shè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的x坐標(biāo)為x0%對(duì)應(yīng)函數(shù)值的坐標(biāo)為y0x0=linspace(-2,2,n);%n為取的節(jié)點(diǎn)數(shù)y0=2./(1+4*x0."2);symsxl;if(length(xO)==length(yO))n=length(xO);elsedisp('x0和yO的坐標(biāo)范圍不一樣！’)；return;endp=sym(0);for(i=1:n)l=sym(y0(i));for(k=1:i-1)l=l*(x-x0(k))/(x0(i)-x0(k));end;

for(k=i+1:n)

l=l*(x-x0(k))/(x0(i)-x0(k));end;p=p+l；endf=simplify(p);%簡(jiǎn)化多項(xiàng)式得其簡(jiǎn)式函數(shù)x=-2::2;y1=2./(1+4*x.”2);plot(x,y1,，g-，);holdonf1=subs(f,，x，,x);plot(x,f1,，r--，);xlabel(，x的范圍取值，)，ylabel(，對(duì)應(yīng)y的值，);title(，拉格朗日插值多項(xiàng)式圖像，用紅色虛線標(biāo)識(shí)，)；①n取5時(shí)，liltRdH. Jpseri.dIsQesktiip心①n取5時(shí)，liltRdH. Jpseri.dIsQesktiip心ndcrrHelp %2]d.j后..舞園夏威-胡口二1 0拉格朗日插值多功式圖像，用紅色柄詛②n取7式，用matable得出的原函數(shù)圖像和得出的拉格朗日插值函數(shù)圖形對(duì)比:Fil.EililABA*I^TiXBT4Tn-aLx 姻VatL^DHK*Ljl-31b」，｛-：，國(guó)土K-0UIC■巨扯格朗日插值森更式圖伊用泣芭標(biāo)詛-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x的范圍取值n取12時(shí)用matable得出的原函數(shù)圖像和得出的拉格朗日插值函數(shù)圖形對(duì)比:FilflEdiFilflEditYiflvIdeartToolsDacktopWinderHelp□75j＞七，咎⑤土■，巍□wf四地宅?P.從三組函數(shù)圖形對(duì)比中可以看出，用計(jì)算機(jī)計(jì)算出的得到拉格朗日插值函數(shù)精確更高，而且隨著n值不斷增大，即所取節(jié)點(diǎn)數(shù)的不斷增多，所得出的拉格朗日插值函數(shù)與原函數(shù)更加漸進(jìn)和吻合，這就充分的證明了當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)取的適當(dāng)多時(shí)，所構(gòu)造的函數(shù)越漸進(jìn)于原函數(shù)圖形。四.總結(jié)從上面的試驗(yàn)結(jié)果中