理論力學(xué)011理力-動(dòng)量定理

第十章動(dòng)量定理1動(dòng)力學(xué)實(shí)際上的問題是：

1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難。

2、大量的問題中，不需要了解每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，僅需要研究質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動(dòng)情況。動(dòng)力學(xué)普遍定理概述對(duì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題：建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程求解。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題：理論上講，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出3n個(gè)微分方程，聯(lián)立求解它們即可。

從本章起，將要講述解答動(dòng)力學(xué)問題的其它方法，而首先要討論的是動(dòng)力學(xué)普遍定理（包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理）。2動(dòng)力學(xué)

它們以簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)形式，表明兩種量

——一種是同運(yùn)動(dòng)特征相關(guān)的量(動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能等)，一種是同力相關(guān)的量(沖量、力矩、功等)——之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動(dòng)力學(xué)問題非常方便簡(jiǎn)捷。本章中研究質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，建立了動(dòng)量的改變與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的另一重要形式——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。3§10–1質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心·內(nèi)力與外力§10–2動(dòng)量與沖量§10–3動(dòng)量定理§10–4質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理第十章動(dòng)量定理動(dòng)力學(xué)4一.質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心

質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表征質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布情況的一個(gè)重要概念。動(dòng)力學(xué)§10-1質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心內(nèi)力與外力質(zhì)心C點(diǎn)的位置：5

在均勻重力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與重心的位置重合?？刹捎渺o力學(xué)中確定重心的各種方法來確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心與重心是兩個(gè)不同的概念，質(zhì)心比重心具有更加廣泛的力學(xué)意義。動(dòng)力學(xué)內(nèi)力：所考察的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力。對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，內(nèi)力系對(duì)任一點(diǎn)（或軸）的主矩恒等于零。即：二、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與外力外力：所考察的質(zhì)點(diǎn)系以外的物體作用于該質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的力。6動(dòng)力學(xué)§10-2動(dòng)量與沖量

一、動(dòng)量

1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積mv稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。是瞬時(shí)矢量，方向與v相同。單位是kgm/s。動(dòng)量是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱程度的一個(gè)物理量。例如：槍彈：速度大，質(zhì)量?。淮核俣刃?，質(zhì)量大。7

2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和。動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。則：

3.剛體系統(tǒng)的動(dòng)量：設(shè)第i個(gè)剛體 則整個(gè)系統(tǒng)：8解:曲柄OA：滑塊B：連桿AB：（P為速度瞬心）

動(dòng)力學(xué)[例１]

曲柄連桿機(jī)構(gòu)的曲柄OA以勻轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)OA=AB=l，曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿，質(zhì)量各為m，滑塊B的質(zhì)量也為m。求當(dāng)=45o時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量。9動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)量為102．力是變矢量：（包括大小和方向的變化）

元沖量：

沖量：1．力是常矢量：動(dòng)力學(xué)二．沖量

力與其作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時(shí)間內(nèi)對(duì)物體作用的累積效應(yīng)的度量。例如，推動(dòng)車子時(shí)，較大的力作用較短的時(shí)間，與較小的力作用較長(zhǎng)的時(shí)間，可得到同樣的總效應(yīng)。11動(dòng)力學(xué)

3．合力的沖量：等于各分力沖量的矢量和．沖量的單位：與動(dòng)量單位同。12§10-3動(dòng)量定理一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力（在某一時(shí)間間隔內(nèi)，動(dòng)量的增量等于力在該時(shí)間內(nèi)的沖量）動(dòng)力學(xué)—質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理①微分形式：（動(dòng)量的微分等于力的元沖量）②積分形式：13③投影形式：④質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量守恒若，則常矢量，質(zhì)點(diǎn)作慣性運(yùn)動(dòng)若，則常量，質(zhì)點(diǎn)沿x軸的運(yùn)動(dòng)是慣性運(yùn)動(dòng)二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理動(dòng)力學(xué)對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)i，14質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力元沖量的矢量和。

在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力在同一時(shí)間間隔內(nèi)的沖量的矢量和。②積分形式)(12eiIKK?=-動(dòng)力學(xué)①eiKieIdtF?微分形式

)()(dd==?15

③投影形式：?=)(eixxFdtdK?=)(eiyyFdtdK?=)(eizzFdtdK??ò==-21)()(12tteixexxdtFSixKK??ò==-21)()(12tteiyeyydtFSiyKK??ò==-21)()(12tteizezzdtFSizKK動(dòng)力學(xué)④質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒若則常矢量。若則常量。

只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，內(nèi)力不能改變整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的傳遞。16動(dòng)力學(xué)[例2]設(shè)作用在活塞上的合力為F，按規(guī)律變化，其中為活塞的質(zhì)量為，。已知，活塞的速度m/s，方向沿水平向右。試求s時(shí)活塞的速度。解以活塞為研究對(duì)象。已知作用在活塞上的合力F隨時(shí)間的變化規(guī)律及，欲求，故采用積分形式的動(dòng)量定理。取坐標(biāo)軸Ox向右為正，根據(jù)公式，有在給定條件下，(a)(b)17動(dòng)力學(xué)將式(b)及代入式(a)，得解得

m/s[例3]有一質(zhì)量kg的郵包從傳送帶上以速度m/s沿斜面落入一郵車內(nèi)，如圖所示。已知郵車的質(zhì)量kg，原處于靜止，不計(jì)車與地面間的摩擦，求郵包落入車內(nèi)后車的速度。18動(dòng)力學(xué)解

將郵包及郵車分別視為兩質(zhì)點(diǎn)，組成一質(zhì)點(diǎn)系。因作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力在軸上投影的代數(shù)和等于零，即，故質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在軸上的投影應(yīng)保持不變，即

解得

m/s19動(dòng)力學(xué)[例4]如圖所示物塊，重量各為(W1>W2)，掛在繩子兩端，繩子繞在重量為W的均質(zhì)滑輪上，設(shè)下降時(shí)其加速度為。求支座對(duì)滑輪的約束反力。解兩物塊和滑輪組成一質(zhì)點(diǎn)系。作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力有重力和支座對(duì)滑輪的約束反力。設(shè)M1下降時(shí)，其速度為，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理微分形式，在坐標(biāo)軸上有：20其中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量及作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力分別為代入上式得解得

動(dòng)力學(xué)21

[例5]質(zhì)量為M的大三角形柱體，放于光滑水平面上，斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體，求小三角形柱體滑到底時(shí)，大三角形柱體的位移。動(dòng)力學(xué)解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。受力分析，水平方向常量。由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止；則設(shè)大三角塊速度，小三角塊相對(duì)大三角塊速度為，則小三角塊運(yùn)動(dòng)分析，22運(yùn)動(dòng)分析，設(shè)經(jīng)過ｔ時(shí)間后，流體AB運(yùn)動(dòng)到位置ab，

[例6]流體流過彎管時(shí)，在截面A和B處的平均流速分別為求流體對(duì)彎管產(chǎn)生的動(dòng)壓力(附加動(dòng)壓力)。設(shè)流體不可壓縮，流量Q(m3/s)為常量，密度為(kg/m3）。動(dòng)力學(xué)解：取截面A與B之間的流體作為研究的質(zhì)點(diǎn)系。受力分析如圖示。由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理；得23靜反力，動(dòng)反力

計(jì)算時(shí)，常采用投影形式與相反的力就是管壁上受到的流體作用的動(dòng)壓力。動(dòng)力學(xué)即24§10-4質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理將代入到質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，得若質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量不變，則或動(dòng)力學(xué)

上式稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程）。質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。1.投影形式：①②25

3.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是動(dòng)量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程形式相似。對(duì)于任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，無論它作什么形式的運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可以看成為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，并設(shè)想把整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心這個(gè)點(diǎn)上，所有外力也集中作用在質(zhì)心這個(gè)點(diǎn)上。動(dòng)力學(xué)2.剛體系統(tǒng)：設(shè)第i個(gè)剛體mi，vCi，則有或26

4.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律

①若，則常矢量，質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)；若開始時(shí)系統(tǒng)靜止，即則常矢量,質(zhì)心位置守恒。②若則常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；若存在則常量，質(zhì)心在x軸的位置坐標(biāo)保持不變。

5．質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求解兩類動(dòng)力學(xué)問題：

①已知質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),求作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力(包括約束反力)。②已知作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力，求質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)27解:取整個(gè)電動(dòng)機(jī)作為質(zhì)點(diǎn)系研究，分析受力，受力圖如圖示。運(yùn)動(dòng)分析：定子質(zhì)心加速度a1=0，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。動(dòng)力學(xué)

[例7]

電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量為m1,轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2,轉(zhuǎn)子的軸通過定子的質(zhì)心O1,但由于制造誤差,轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e。求轉(zhuǎn)子以角速度作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，基礎(chǔ)作用在電動(dòng)機(jī)底座上的約束反力。28根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有可見，由于偏心引起的動(dòng)反力是隨時(shí)間而變化的周期函數(shù)。動(dòng)力學(xué)a1=0，a2=e229

解：取起重船，起重桿和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。動(dòng)力學(xué)

[例8]