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文檔簡介
12.3角平分線的性質福田河中學八年級數(shù)學組夏玉焰
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什么是角的平分線?怎樣畫一個角的平分線?操作與思考1:BOAC信不信由你如圖,AB=AD,BC=DC,沿著AC畫一條射線AE,AE就是∠BAC的角平分線,你知道為什么嗎?D····CBAE
2.分別以M,N為圓心.大于MN的長為半徑作弧.兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于C.如何用尺規(guī)作角的平分線?ABOMNC作法:
1.以O為圓心,適當長為半徑作弧,交OA于M,交OBN于.3.作射線OC.則射線OC即為所求.探究
探索1將角AOB對折,再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得到什么結論?OABAOBED角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。在∠AOB的平分線OC上任取一點P,然后,作點P到∠AOB兩邊的垂線段PD、PE,畫一畫,量一量,從中你有什么新發(fā)現(xiàn)?你能說明其中的道理嗎?BOAC·DPE畫一畫,想一想,議一議命題:在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等題設:一個點在一個角的平分線上結論:它到角的兩邊的距離相等已知:OC是∠AOB的平分線,點P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E.求證:PD=PE.AOBPED角平分線的性質定理:在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等用符號語言表示為:AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE.隨堂練習BOAC·DPE1.如圖,OC是∠AOB的平分線,∵∴PD=PEPD⊥OA,PE⊥OB2.如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線交BC于D,BC=15,且CD:DB=1:2,則點D到AB的距離為_________。
動腦筋3.在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,則:⑴圖中相等的線段有哪些?相等的角呢?⑵哪條線段與DE相等?為什么?⑶若AB=10,BC=8,AC=6,求BE,AE的長和△AED的周長。EDCBA練一練3在△ABC中,AC⊥BC,AD為∠BAC的平分線,DE⊥AB,AB=7㎝,AC=3㎝,求BE的長。EDCBA
4.△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求點D到AB的距離是多少?ABCDE(點D到AB的距離是3)
如圖,由于點D,于點E,PD=PE,可以得到什么結論?OBPE^PD^OA議一議
到一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上。
已知:如圖,,,垂足分別是
A、B,PD=PE,求證:點P在的角平分線上。BADOPE解:設要截取的長度為Xm,則:
要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場,使它到公路和鐵路距離相等,且離公路和鐵路的交叉處500米,該集貿(mào)市場應建在何處?(比例尺1:20000)SO公路鐵路解得:X=0.025m
=2.5cmA則點A即為所求的點想一想
到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。
已知:如圖,,,垂足分別是
D、E,PD=PE,求證:點P在的角平分線上。證明:\作射線OP\
點P在角的平分線上
在Rt△PDO
和Rt△PEO
中,(HL)\(全等三角形的對應角相等)
OP=OP(公共邊)PD=PE(已知)\≌角平分線的判定BADOPE∵角平分線的判定的應用書寫格式:OP是的平分線PD=PE\
(到一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上)∵
DE OPAB角平分線的性質:在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。角平分線的判定到一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上。BADOPEC\PD=PEOP是的平分線∵∵\OP是的平分線PD=PE用途:證線段相等用途:判定一條射線是角平分線例1.如圖,在△ABC中,D是BC的中點,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E、F,且BE=CF。求證:AD是△ABC的角平分線。ABCEFD4.已知:如圖,∠C=∠C′=90°,AC=AC′.求證(1)∠ABC=
∠ABC
′
;(2)BC=BC′.(要求不用三角形全等的判定)BCAC′5已知:如圖,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于D,BD=CD。求證:AD平分∠BAC。ABCFED課堂練習例已知:如圖,△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.
求證:點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明:過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA,垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上(已知)∴PD=PE(在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等)同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到邊AB、BC、CA的距離相等DEFABCPMN練習:
如圖,三條公路相交,現(xiàn)在要修建一加油站,使加油站到三條公路的距離相等,問加油站該選在什么位置上?拓展與延伸1、已知:BD
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