北郵線性代數(shù)期末練習(xí)試卷

一. 1x 1x x x1x 1AB均為n階方陣

A(,2,3,4B,2,3,4,其中,2,3,4均為維列向量,且|A|4,|B|1,則|AB 設(shè)A,B均為n階方陣,|A|2,|B|3|,則|A1B*A*B1 xcy三個(gè)平面yazcx過(guò)同一條直線的充要條件 zbx已知向量組1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,a),4(1,2,2,0)線性相關(guān),則a 向量(1,3,0)在基1(1,0,1),2(0,1,0),3(1,2,2)下的坐標(biāo) 2設(shè)A 3,3階方陣B0,若AB0,則t |B 設(shè)4階矩陣A滿足|3EA|0,AAT2E,|A|0,則A的伴隨矩陣A的一個(gè)特征值 0 若3階矩陣A與 0相似,則r(AE) 三元二次型f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)2的正慣性指數(shù)p x x1x x1 x1 xxxx1二.計(jì)算nD5 0三.已知A1 3,求|A|,A1,(A*)1 四.設(shè)向量a2,10)T,2,1,5)T,1,14)T1a abc滿足什么條件時(shí)可由1,2,3線性表出,且表達(dá)法唯一不能由1,2,3線性表出可由1,2,3線性表出,但表示法不唯一?并求出一般表達(dá)式.五.設(shè)有向量組

,試問(wèn):1(1,2,a3),2(2,1,a6),3(2,1,a4)試問(wèn):當(dāng)a為何值時(shí),向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)?當(dāng)a為何值時(shí),向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)不等價(jià)?六.求一個(gè)齊次線性方程組,使它的基礎(chǔ)解系為(0,1,2,3)T,(3,2,1,0)T 七.設(shè)矩陣A 2與 相似,求x,y;并求一個(gè)正交矩陣P 1 y P1AP 2八.fxxx)4x23x23x22xx為標(biāo)準(zhǔn)形.九.A是n階方陣,AE可逆,fA) 2證明(1)[Ef(A)][EA]2E (2)f[f(A)]1[(EA)(EA)]2 1x x x1x 1

.x

AB均為n階方陣

A(,2,3,4B,2,3,4,其中,2,3,4均為維列向量,且|A|4,|B|1,則|AB 設(shè)A,B均為n階方陣,|A|2,|B|3|,則|A1B*A*B1 xcy

(1)n16三個(gè)平面yazcx過(guò)同一條直線的充要條件 zbxa2b2c22abc

已知向量組1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,a),4(1,2,2,0)線性相關(guān),則a .14向量(1,3,0)在基1(1,0,1),2(0,1,0),3(1,2,2)下的坐標(biāo) (2,5, 2設(shè)A 3,3階方陣B0,若AB0,則t |B t2,|B|設(shè)4A滿足|3EA|0AAT2E,|A|0,AA .3 0 若3階矩陣A與 0相似,則r(AE) 三元二次型f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)2的正慣性指數(shù)p 負(fù)慣性指數(shù)q ,秩r p2,q0,r二.計(jì)算nD5xxx1xx1 xxxx1解利用加邊法1xxxx0x1xxxx0xxxx0xx1xx0xxx1x0xxxx11行乘一1后,加到其它各行上去,

1x2x D5 1 0

1 1[1n(n1)x]

1 0三.已知A1 3,求|A|,A1,(A*)1 3 解

|A|122

31 0

A1 6 2(3)

AA*|A|E1E4AA*E,4 0(A*)14A 6 四.設(shè)向量a2,10)T,2,1,5)T,1,14)T1a

,試問(wèn):abc滿足什么條件時(shí)可由1,2,3線性表出,且表達(dá)法唯一不能由1,2,3線性表出可由1,2,3線性表出,但表示法不唯一?并求出一般表達(dá)式解 可由

,

0

a4a當(dāng)a4時(shí),

1 b 2b1

c

c3b10時(shí),AA,方程組(1)無(wú)解,不能由,,線性表出 a

a4c3b10時(shí),AA23,方程組(1)有無(wú)窮多解,達(dá)法不唯一由(2)知,方程組(1)2x1x2x3

2bx1kx22kb1x32b1,k1(2kb1)2(2b五.1(1,2,a3),2(2,1,a6),3(2,1,a4)試問(wèn):當(dāng)a為何值時(shí),向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)?當(dāng)a為何值時(shí),向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)不等價(jià)?解作初等變換,有 2(,,|,,) a a a a4 1 1 a a1 a a

a1,|1,2,3|a10r(1,2,3)

,x11x22x33i(i12,3均有惟一解,123可由向量組(同樣

|123|60r(123)3,故1,2,3可由向量組(Ⅱ)線性表出當(dāng)a1時(shí), 1(,,|,,) 1 2 r(1,2,3r(1,2,31,x11x22x331無(wú)解,不能由1,2,3線性表出,因此,向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)不等價(jià).六.求一個(gè)齊次線性方程組,使它的基礎(chǔ)解系為(0,1,2,3)T,(3,2,1,0)T 解 2

B

, 1

BT

0BTy0,(1,2,1,0)T,(2,3,A

0,Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為, 1 七.設(shè)矩陣A 2與 相似,求x,y;并求一個(gè)正交矩陣P 1 y P1AP解A與相似,所以|AE||E|A的特征值為54y,54y1x 5(4)y解得x4y 于 A , 1 對(duì)于125,解方程組A5E)x0. 1 2 得基礎(chǔ)解系120)T

10,1)T,p(1,2,0)T [,p Tp22 1p1 單位化得對(duì)應(yīng)于125的單位正交特征向

q1 5,5,0,q1 對(duì)于24,解方程組A4E)x0.

2

5

212得基礎(chǔ)解系(2,1,2)T,從而對(duì)應(yīng)于4的單位特征向量為q ,

, 255

333

P(q1,

1 2

P1AP. 八.用正交變換化二次型f(x,x,x)4x23x2 0 解f的矩陣A 1 4 A的特征多項(xiàng)式|AE

3

(2)(4)2A

312,234當(dāng)2時(shí),由A2E)x0解得對(duì)應(yīng)于2p(0,11)T 234時(shí),由A4E)x0A的屬于特征值234

p(1,0,0)T,

p1p2p3已正交,故只需將它們單位化,12q p (0,1,1)T,q 12

p(1,0,0)T |p|

|p| q3

p3|p33

12 12 012121212Q(q,q,q) 12121212 則Q為正交矩陣,經(jīng)正交XQY,f化為fxxx2y24y 九.A是n階方陣,AE可逆,fAEA)(EA)1證