動(dòng)力學(xué)部分例題

動(dòng)力學(xué)例10.1例1

如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知其運(yùn)動(dòng)方程為x＝acoswt，y＝asinwt，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F。ijvrF解：以質(zhì)點(diǎn)M為研究對象。分析運(yùn)動(dòng)：由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間t，得質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)。將運(yùn)動(dòng)方程對時(shí)間求兩階導(dǎo)數(shù)得：代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，即可求得主動(dòng)力的投影為：力F

與矢徑r

共線反向，其大小正比于矢徑r的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。yxxbaOM例10.2

例2

質(zhì)量為1Kg的小球M，用兩繩系住，兩繩的另一端分別連接在固定點(diǎn)A、B，如圖。已知小球以速度v＝2.5m/s在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓的半徑r＝0.5m,求兩繩的拉力。解：以小球?yàn)檠芯繉ο?，任一瞬時(shí)小球受力如圖。方向指向O點(diǎn)。MOrBA45o60o小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。B60oArOMmgFBFAvan

建立自然坐標(biāo)系得：解得：分析:由(1)、(2)式可得:因此，只有當(dāng)時(shí)，兩繩才同時(shí)受力。否則將只有其中一繩受力。B60oArOMmgFBFAvanbnt例10.3

例3從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為a，如不計(jì)空氣阻力，求物體在重力單獨(dú)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：研究拋射體,列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程積分后得xyM初始條件為

軌跡方程為：由此可見，物體的軌跡是一拋物線。于是物體的運(yùn)動(dòng)方程為：確定出積分常數(shù)為：例10.4

例4

垂直于地面向上發(fā)射一物體，求該物體在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)速度，并求第二宇宙速度。不計(jì)空氣阻力及地球自轉(zhuǎn)的影響。由于所以由直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得：由于，將上式改寫為解：以物體為研究對象，將其視為質(zhì)點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)。質(zhì)點(diǎn)在任一位置受地球引力的大小為：

分離變量得：設(shè)物體在地面發(fā)射的初速度為v0，在空中任一位置x處的速度為v，對上式積分得所以物體在任意位置的速度為：可見物體的速度將隨x的增加而減小。若v02<2gR，則物體在某一位置x＝R+H時(shí)速度將為零，此后物體將回落，H為以初速v0向上發(fā)射物體所能達(dá)到的最大高度。將x＝R+H及v＝0代入上式可得若v02>2gR，則不論x為多大，甚至為無限大時(shí)，速度v均不會減小為零，因此欲使物體向上發(fā)射一去不復(fù)返時(shí)必須具有的最小速度為若取g＝9.8m/s2，R＝6370km，代入上式可得這就是物體脫離地球引力范圍所需的最小初速度，稱為第二宇宙速度。例10.5

例5

在重力作用下以仰角a初速度v0拋射出一物體。假設(shè)空氣阻力與速度成正比，方向與速度方向相反，即FR＝-Cv，C為阻力系數(shù)。試求拋射體的運(yùn)動(dòng)方程。解：以物體為研究對象，將其視為質(zhì)點(diǎn)。建立圖示坐標(biāo)。在任一位置質(zhì)點(diǎn)受力如圖。由直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得因?yàn)関0vMFRmgOyxaq將它們代入運(yùn)動(dòng)微分方程，并令，得：這是兩個(gè)獨(dú)立的線性二階常系數(shù)常微分方程，由常微分方程理論可知，它們的解為求導(dǎo)得其中，C1、C2

、D1、D2為積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)初始條件確定。當(dāng)t＝0時(shí)，x0＝0，y0＝0；vx0＝v0cosa，vy0＝v0sina代入以上四式，求得于是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為上式即為軌跡的參數(shù)方程，軌跡如圖所示。由第一式可知軌跡漸近線為。對于拋射體的射程：當(dāng)a較大時(shí)，，當(dāng)a

較小時(shí)，由運(yùn)動(dòng)方程求。v0vMFRmgOyxaq

質(zhì)點(diǎn)的速度公式為由上式可見，質(zhì)點(diǎn)的速度在水平方向的投影vx不是常量，而是隨著時(shí)間的增加而不斷減小，當(dāng)t→∞時(shí)，vx→∞；質(zhì)點(diǎn)的速度在y軸上的投影vy，隨著時(shí)間的增加，大小和方向都將變化，當(dāng)t→∞時(shí)，vx→g/m，方向鉛垂向下。因此，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)經(jīng)過一段時(shí)間后將鉛直向下作勻速運(yùn)動(dòng)。例10.6

例6

如圖所示，一細(xì)常桿桿端有一小球M，其質(zhì)量為m，另一端用光滑鉸固定。桿長為l，質(zhì)量不計(jì)，桿在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)小球位于鉛垂位置，突然給小球一水平初速度v0，求桿處于任一位置q時(shí)對球的約束力。解：以小球?yàn)檠芯繉ο螅瑢⑵湟暈橘|(zhì)點(diǎn)。建立圖示的自然坐標(biāo)。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知：qOlO1Sv0M(+)nt

（1）式是一常系數(shù)二階非線性微分方程，其解為橢圓積分，較為復(fù)雜。將其積分一次求出，代入（2）式即可求出FT。因?yàn)樗詑OlO1Sv0mgFTM(+)nt在任一位置質(zhì)點(diǎn)受力如圖。由自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得即

得：由初始條件：t＝0時(shí)，q0＝0，代入上式得將其代入（2）式，得下面將計(jì)算結(jié)果作進(jìn)一步的討論：

由(3)得此式表示桿在任意位置時(shí)球的速度。由此式可知:當(dāng)時(shí)小球才能作圓周運(yùn)動(dòng)，否則球作擺動(dòng)。(4)式給出約束力FT隨q角的變化規(guī)律。當(dāng)q＝0時(shí)，當(dāng)q＝p時(shí)，若令T=0，可由(4)式給出約束力為零時(shí)，桿的位置(設(shè)此時(shí)桿的位置用qA表示)所滿足的條件因此，要使T>0，必須滿足。即若則因此，在區(qū)間范圍內(nèi)，總存在確定的qA值，使小球在這一點(diǎn)不受桿的作用。當(dāng)q<qA時(shí)，F(xiàn)T＞0，即小球受拉；當(dāng)q>qA時(shí)，F(xiàn)T＜0，即小球受壓。例10.7umgs例7：質(zhì)量為m長為l的擺在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)。初始時(shí)小球的速度為u,=0。求繩作用在小球上的力F(),并分析小球的運(yùn)動(dòng)。解：1、取研究對象畫受力圖

2、確定坐標(biāo)系

3、建立微分方程

4、求解

5、分析小球運(yùn)動(dòng)Fn運(yùn)動(dòng)微分方程積分上式可得：分析小球微幅擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：等時(shí)性（周期與初始條件無關(guān)）初始條件：微分方程的通解確定積分常數(shù)解：1、取炮彈為研究對象,建立矢量方程2、建立直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程yxovmgR例8:

建立拋體的運(yùn)動(dòng)微分方程。設(shè)空氣阻力的大小與速度的平方成正比運(yùn)動(dòng)微分方程炮彈運(yùn)動(dòng)軌跡圖飛機(jī)空投物體速度大小隨時(shí)間的變化例9:質(zhì)點(diǎn)與圓柱面間的動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f，圓柱半徑為r為1m。（1）建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程；（2）分析其運(yùn)動(dòng)。o解：取質(zhì)點(diǎn)為研究對象由（2）式解得：代入（1）式得：當(dāng)：同理，當(dāng)：數(shù)值方法給出質(zhì)點(diǎn)位置、速度和切向加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律ot(s)yxovmg思考題:

給出垂直上拋物體上升時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程。設(shè)空氣阻力的大小與速度的平方成正比yxovmgE:未給出正確答案

例1OA桿繞O軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，均質(zhì)圓盤沿OA桿純滾動(dòng)。已知圓盤的質(zhì)量m＝20kg，半徑R＝100mm。在圖示位置時(shí)，OA桿的傾角為30o，其角速度w1＝1rad/s，圓盤相對OA桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w2＝4rad/s， ,求圓盤的動(dòng)量。于是所以方向水平向右。動(dòng)量計(jì)算解:取C為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與OA固連例2、橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)的規(guī)尺AB的質(zhì)量為2m1，曲柄OC的質(zhì)量為m1，滑塊A和B的的質(zhì)量均為m2。已知OC＝AC＝CB＝l。曲柄和規(guī)尺均為均質(zhì)細(xì)直桿。曲柄以角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。求機(jī)構(gòu)的動(dòng)量。解1：由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量公式有建立如圖直角坐標(biāo)系，則動(dòng)量的投影為動(dòng)量計(jì)算所以機(jī)構(gòu)動(dòng)量的大小和方向?yàn)榻?：方向?yàn)镃點(diǎn)速度的方向。因?yàn)榈美?、兩均質(zhì)桿OA和AB質(zhì)量為m，長為l，鉸接于A。圖示位置時(shí)，OA桿的角速度為w，AB桿相對OA桿的角速度亦為w。求此瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量。解：由剛體系統(tǒng)的動(dòng)量公式其中：方向水平向右。mvC1mvC2OABC1C2wwr=wAB作平面運(yùn)動(dòng)例4錘的質(zhì)量m＝3000kg，從高度h＝1.5m處自由下落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生變形歷時(shí)t＝0.01s；求錘對工件的平均壓力。解：以錘為研究對象，和工件接觸后受力如圖。工件反力是變力，在短暫時(shí)間迅速變化，用平均反力N*表示。錘自由下落時(shí)間錘對工件的平均壓力與反力N*大小相等，方向相反，與錘的重量G＝29.4kN比較，是它的56倍，可見這個(gè)力是相當(dāng)大的。例5滑塊C的質(zhì)量為m＝19.6kg，在力P＝866N的作用下沿傾角為30o的導(dǎo)桿AB運(yùn)動(dòng)。已知力P與導(dǎo)桿AB之間的夾角為45o，滑塊與導(dǎo)桿的動(dòng)摩擦系數(shù)f＝0.2，初瞬時(shí)滑塊靜止，求滑塊的速度增大到v＝2m/s所需的時(shí)間。解：以滑塊C為研究對象，建立坐標(biāo)系。由動(dòng)量定理得由(2)式得代入(1)式，求得所需時(shí)間為從而摩擦力為例6如圖所示，已知小車重為2kN，沙箱重1kN，二者以速度v0＝3.5m/s運(yùn)動(dòng)。此時(shí)有一重為0.5kN的鉛球垂直落入沙中后，測得箱在車上滑動(dòng)0.2s，不計(jì)車與地面摩擦，求箱與車之間的摩擦力。解：研究系統(tǒng)，建立坐標(biāo)系。代入已知數(shù)據(jù)，解得v＝3m/s設(shè)沙箱滑動(dòng)結(jié)束后車速為v，則有再以小車為研究對象，由動(dòng)量定理有代入已知數(shù)據(jù)，解得F＝0.5kN例7如圖所示，質(zhì)量為mA的均質(zhì)三棱柱A在重力作用下沿著質(zhì)量為mB的大均質(zhì)三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱傾角為q。設(shè)各處摩擦不計(jì)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止。求：(1)B的加速度；(2)地面的支反力。解：先對系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，建立如圖坐標(biāo)，設(shè)B的速度為vB，A相對B的速度為vr，則于是系統(tǒng)受力如圖。因SFx(e)＝0，且初始系統(tǒng)靜止，有兩邊對t求導(dǎo)再以A為研究對象，受力如圖，由有即聯(lián)立求解(1)、(2)、(3)式得最后以整體為研究對象，得將（1）式代入上式則得即

例8圖示系統(tǒng)，重物A和B的質(zhì)量分別為m1、m2。若A下降的加速度為a，滑輪質(zhì)量不計(jì)。求支座O的反力。解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。設(shè)A下降的速度為vA，B上升的速度為vB，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系得系統(tǒng)的動(dòng)量在坐標(biāo)軸上的投影為由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理注意到可得

例9如圖所示，電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子、轉(zhuǎn)子的質(zhì)量分別為m1、m2。設(shè)定子質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸中心O1，由于制造誤差，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2到O1的距離為e，已知轉(zhuǎn)子以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。求：(1)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程；(2)基礎(chǔ)對電機(jī)總的水平和鉛垂反力；(3)若電機(jī)沒有螺栓固定，各處摩擦不計(jì)，初始時(shí)電機(jī)靜止，求轉(zhuǎn)子以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)電動(dòng)機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng)。解：(1)建立如圖坐標(biāo)，任一瞬時(shí)，q＝wt，即有故質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為

(2)以系統(tǒng)為研究對象由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理因故得（3）以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。在圖示坐標(biāo)下，設(shè)初始時(shí)xC1＝a，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過q，定子向右移動(dòng)距離s，則所以解得由此可見，電動(dòng)機(jī)在水平面上作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)由于SFx(e)＝0，所以若，則。因此如電動(dòng)機(jī)無螺栓固定，它將會跳起來。

例10質(zhì)量為m長為2l的均質(zhì)桿OA繞水平固定軸O在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖。已知在圖示位置桿的角速度為w，角加速度為a。試求此時(shí)桿在O軸的約束反力。解1：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。以桿為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解得

解2：用動(dòng)量定理。以桿為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。由得解得

例11質(zhì)量為M的大三角塊放在光滑水平面上，其斜面上放一和它相似的小三角塊，其質(zhì)量為m。已知大、小三角塊的水平邊長各為a與b。試求小三角塊由圖示位置滑到底時(shí)大三角塊的位移。解：取系統(tǒng)分析，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。設(shè)大三角塊的位移為s，則由于SFx(e)＝0，且初始系統(tǒng)靜止，所以解得例1均質(zhì)圓盤可繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，其上纏有一繩，繩下端吊一重物A。若圓盤對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為r，角速度為w，重物A的質(zhì)量為m，并設(shè)繩與原盤間無相對滑動(dòng)，求系統(tǒng)對軸O的動(dòng)量矩。解：LO的轉(zhuǎn)向沿逆時(shí)針方向。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩例2圖示為一單擺（數(shù)學(xué)擺），擺錘質(zhì)量為m，擺線長為l，如給擺錘以初位移或初速度（統(tǒng)稱初擾動(dòng)），它就在經(jīng)過O點(diǎn)的鉛垂平面內(nèi)擺動(dòng)。求此單擺在微小擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：以擺錘為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。在任一瞬時(shí)，擺錘的速度為v，擺的偏角為j，則式中負(fù)號表示力矩的正負(fù)號恒與角坐標(biāo)j的正負(fù)號相反。它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理MyxNvmg由即這就是單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。當(dāng)j很小時(shí)擺作微擺動(dòng)，sinj

≈j，于是上式變?yōu)榇宋⒎址匠痰慕鉃槠渲蠥和a為積分常數(shù)，取決于初始條件?？梢妴螖[的微幅擺動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)。擺動(dòng)的周期為顯然，周期只與l有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。得例3高爐運(yùn)送礦石的卷揚(yáng)機(jī)如圖。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。小車和礦石的總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，軌道傾角為a。設(shè)繩質(zhì)量和各處摩擦不計(jì)，求小車的加速度a。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。以順時(shí)針為正，則由，有動(dòng)量矩定理MOm2gNvm1gFOxFOyw因 ,于是解得若M＞m2gRsina，則a＞0，小車的加速度沿軌道向上。

必須強(qiáng)調(diào)的是：為使動(dòng)量矩定理中各物理量的正負(fù)號保持協(xié)調(diào)，動(dòng)量矩和力矩的正負(fù)號規(guī)定必須完全一致。動(dòng)量矩定理例4水平桿AB長2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，這系統(tǒng)繞z軸的角速度為w0。如某時(shí)此細(xì)線拉斷，桿AC和BD各與鉛垂線成a角。不計(jì)各桿的質(zhì)量，求這時(shí)系統(tǒng)的角速度w。解：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力，這些力對轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒，即顯然，此時(shí)的角速度w＜w

0。解：取系統(tǒng)為研究對象例5

均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。應(yīng)用動(dòng)量矩定理OPWvmgFOxFOyw例7一繩跨過定滑輪，其一端吊有質(zhì)量為m的重物A，另一端有一質(zhì)量為m的人以速度u相對細(xì)繩向上爬。若滑輪半徑為r，質(zhì)量不計(jì)，并且開始時(shí)系統(tǒng)靜止，求人的速度。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。設(shè)重物A上升的速度為v，則人的絕對速度va的大小為由于SMO(F(e))＝0，且系統(tǒng)初始靜止，所以LO＝0。由上可知，人與重物A具有相同的的速度，此速度等于人相對繩的速度的一半。如果開始時(shí)，人與重物A位于同一高度，則不論人以多大的相對速度爬繩，人與重物A將始終保持相同的高度。uvave＝vmgmguAOFOxFOy例7圖示物理擺的質(zhì)量為m，C為其質(zhì)心，擺對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。求微小擺動(dòng)的周期。

解：設(shè)j角以逆時(shí)針方向?yàn)檎?。?dāng)j角為正時(shí)，重力對O點(diǎn)之矩為負(fù)。由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有當(dāng)微擺動(dòng)時(shí)，有sinj

≈j

，故方程寫為此方程通解為j

0為角振幅，a為初相位。它們均由初始條件確定。擺動(dòng)周期為mg這就表明，如已知某物體的質(zhì)量和質(zhì)心位置，并將物體懸掛于O點(diǎn)作微幅擺動(dòng)，測出擺動(dòng)周期后即可計(jì)算出此物體對于O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例8如圖，飛輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，以初角速度w0繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其阻力矩M＝－aw(a為常數(shù))。求經(jīng)過多長時(shí)間，角速度降至初角速度的一半，在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)?

解：以飛輪為研究對象，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有Mw0將（1）式變換，有將上式求定積分，得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程將(1)式改寫為即將上式求定積分，得轉(zhuǎn)過的角度為因此轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)例9如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2轉(zhuǎn)動(dòng)，其半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分別以兩輪為研究對象，受力如圖，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，得注意到 ，聯(lián)立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′tF′nMOFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：

FOx=0,FOy=mg/2突然解除約束瞬時(shí)：

FOx=？,FOy=？例題10關(guān)于突然解除約束問題

突然解除約束瞬時(shí)，桿OA將繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不再是靜力學(xué)問題。這時(shí)，0，0。需要先求出，再確定約束力。應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理OFOxFOyW=mg

例11如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，對z1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，求桿對z2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2

。解：由，得平行軸定理(1)－(2)得zz1z2abC

例12均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為3m，求其對軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

例13如圖所示，質(zhì)量為m的均質(zhì)空心圓柱體外徑為R1，內(nèi)徑為R2，求對中心軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

解：空心圓柱可看成由兩個(gè)實(shí)心圓柱體組成，外圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J外，內(nèi)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J內(nèi)取負(fù)值，即設(shè)m1、m2分別為外、內(nèi)圓柱體的質(zhì)量，則于是組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)單位體積的質(zhì)量為r

，則代入前式得注意到rpl(R21－R22)＝m,則得組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

例14均質(zhì)圓盤質(zhì)量為2m，半徑為r。細(xì)桿OA質(zhì)量為m，長為l＝3r，繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w、求下列三種情況下系統(tǒng)對軸O的動(dòng)量矩：(a)圓盤與桿固結(jié)；(b)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)；(c)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。解：(a)(b)(c)

例15一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量為m，半徑為r，無初速地放在傾角為q的斜面上，不計(jì)滾動(dòng)阻力，求其質(zhì)心的加速度。

解：以圓柱體為研究對象。圓柱體在斜面上的運(yùn)動(dòng)形式，取決于接觸處的光滑程度，下面分三種情況進(jìn)行討論：(1)設(shè)接觸處完全光滑此時(shí)圓柱作平動(dòng)，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理即得圓柱質(zhì)心的加速度CqCxyOqaCFNmg(2)設(shè)接觸處足夠粗糙

此時(shí)圓柱作純滾動(dòng)，列出平面運(yùn)動(dòng)微分方程解得由于圓柱作純滾動(dòng)，故F由純滾動(dòng)條件有所以，可得這就是圓柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件。qCxyaCOFNmg(3)設(shè)不滿足圓柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件設(shè)圓柱體沿斜面滑動(dòng)的動(dòng)摩擦系數(shù)為f'，則滑動(dòng)摩擦力于是圓柱體在斜面上既滾動(dòng)又滑動(dòng),在這種情況下，aC≠ra例16均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m，半徑均為r。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時(shí)，質(zhì)心C點(diǎn)的加速度。摩擦不計(jì)。解：取A分析，受力如圖。A作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程有其中aAFTmgFOxFOyOAF'TmgaBCDBaC取B分析，受力如圖。B作平面運(yùn)動(dòng)。應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)的微分方程有由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系aD＝raA,，而由加速度合成定理有例17均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為l，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從圖示位置無初速地滑下。不計(jì)摩擦，求開始滑動(dòng)的瞬時(shí)，地面和墻壁對桿的約束反力。解：以桿AB為研究對象，分析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB桿作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)心C的加速度為aCx、aCy，角加速度為a。aaCxaCy由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程mgBqCAxy以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則A點(diǎn)的加速度為再以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為aAaaBaCxaCyatBCatAC在運(yùn)動(dòng)開始時(shí),w＝0,故,將上式投影到y(tǒng)

軸上，得an＝0AC同理， ，將上式投影到x軸上，得an＝0BC聯(lián)立求解(1)~(5)式，并注意到可得注：

亦可由坐標(biāo)法求出(4)、(5)式：運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，，故BqCAxyjAxCB例18如圖質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用細(xì)繩吊住，已知兩繩與水平方向的夾角為j。求B端繩斷開瞬時(shí)，A端繩的張力。解：取桿分析，建立如圖坐標(biāo)。有AB作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，則jjABFT因?yàn)閿嚅_初瞬時(shí),vA＝0,w＝0,故,an＝0Aan＝0CA將上式投影到x軸上，得an

CAat

CAat

Aan

AajAxCBaaCxmg例19長l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB和BC用鉸鏈B聯(lián)接，并用鉸鏈A固定，位于平衡位置。今在C端作用一水平力F，求此瞬時(shí)，兩桿的角加速度。解：分別以AB和BC為研究對象，受力如圖。AB和BC分別作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)。對AB由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程得CBAFABFAxFBxFByaBWaABFAyBC作平面運(yùn)動(dòng)，取B為基點(diǎn)，則將以上矢量式投影到水平方向，得(4)由(1)~(4)聯(lián)立解得對BC由剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程得(2)(3)BGCaBCFWaGxaGyatGBF'ByF'BxO例20平板質(zhì)量為m1，受水平力F作用而沿水平面運(yùn)動(dòng)，板與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為f，平板上放一質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱，它相對平板只滾動(dòng)不滑動(dòng)，求平板的加速度。解：取圓柱分析，建立如圖坐標(biāo)。于是得：FaCFN1F1m2gaaOaxyxyF'N1F'1FN2F2m1gFa取板分析例21行星齒輪機(jī)構(gòu)的曲柄OO1受力矩M作用而繞固定鉛直軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)齒輪O1在固定水平齒輪O上滾動(dòng)如圖所示。設(shè)曲柄OO1為均質(zhì)桿，長l、重P；齒輪O1為均質(zhì)圓盤，半徑r

、重Q。試求曲柄的角加速度及兩齒輪接觸處沿切線方向的力。

解：以曲柄為研究對象，曲柄作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，列出定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程OO1MO1OaFnFtRnRtM由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，有聯(lián)立求解(1)~(4)，得O1F'nF'tTNatana1取齒輪O1分析，齒輪O1作平面運(yùn)動(dòng)MO1OaFnFtRnRta例1如圖所示滑塊重P＝9.8N，彈簧剛度系數(shù)k＝0.5N/cm，滑塊在A位置時(shí)彈簧對滑塊的拉力為2.5N，滑塊在20N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B，求作用于滑塊上所有力的功的和。

解：滑塊在任一瞬時(shí)受力如圖。由于P與N始終垂直于滑塊位移，因此，它們所作的功為零。所以只需計(jì)算T與F的功。先計(jì)算T的功：

在運(yùn)動(dòng)過程中，T的大小不變，但方向在變，因此T的元功為T15cmBA20cmTPFN因此T在整個(gè)過程中所作的功為再計(jì)算F的功：由題意：因此F在整個(gè)過程中所作的功為因此所有力的功為T15cmBA20cmCvC牢記均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能:均質(zhì)圓環(huán)在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能見P183。vABC解：II

為AB桿的瞬心例2均質(zhì)細(xì)桿長為l，質(zhì)量為m，上端B靠在光滑的墻上，下端A用鉸與質(zhì)量為M半徑為R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱作純滾動(dòng)，中心速度為v，桿與水平線的夾角=45o，求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。aOrdrO1wPABC例3長為l，重為P的均質(zhì)桿OA由球鉸鏈O固定，并以等角速度w繞鉛直線轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，如桿與鉛直線的交角為a，求桿的動(dòng)能。桿OA的動(dòng)能是解：取出微段dr到球鉸的距離為r，該微段的速度是微段的質(zhì)量微段的動(dòng)能O1例4求橢圓規(guī)的動(dòng)能，其中OC、AB為均質(zhì)細(xì)桿，質(zhì)量為m和2m，長為a和2a，滑塊A和B質(zhì)量均為m，曲柄OC的角速度為w，j

=60°。解：在橢圓規(guī)系統(tǒng)中滑塊A和B作平動(dòng)，曲柄OC作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)尺AB作平面運(yùn)動(dòng)。首先對運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，O1是AB的速度瞬心，因:ABOCjwvCvBvAwABABvAvCOCjO1wvBwAB對于曲柄OC： 規(guī)尺作平面運(yùn)動(dòng)，用繞速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)的公式求動(dòng)能：系統(tǒng)的總動(dòng)能為： BjA例5滑塊A以速度vA在滑道內(nèi)滑動(dòng)，其上鉸接一質(zhì)量為m，長為l的均質(zhì)桿AB，桿以角速度w繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖。試求當(dāng)桿AB與鉛垂線的夾角為j時(shí)，桿的動(dòng)能。解：AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心C的速度為

速度合成矢量圖如圖。由余弦定理則桿的動(dòng)能vAwjBAlvAvCAvCvAw

例6一長為l，質(zhì)量密度為ρ的鏈條放置在光滑的水平桌面上，有長為b的一段懸掛下垂，如圖。初始鏈條靜止，在自重的作用下運(yùn)動(dòng)。求當(dāng)末端滑離桌面時(shí)，鏈條的速度。解得解:鏈條在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為

在運(yùn)動(dòng)過程中所有的力所作的功為由例7已知：

m

，R,f

，

。求純滾動(dòng)時(shí)盤心的加速度。CFNmgvCF解：取系統(tǒng)為研究對象，假設(shè)圓盤中心向下產(chǎn)生位移s時(shí)速度達(dá)到vc。s力的功：由動(dòng)能定理得：解得：例8卷揚(yáng)機(jī)如圖，鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱上拉。已知鼓輪的半徑為R1，質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2，質(zhì)量為m2，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為α，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求圓柱中心C經(jīng)過路程S時(shí)的速度。

解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中所有力所作的功為系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC其中于是由得解之得aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC例9在對稱連桿的A點(diǎn)，作用一鉛垂方向的常力F，開始時(shí)系統(tǒng)靜止，如圖。求連桿OA運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)的角速度。設(shè)連桿長均為l，質(zhì)量均為m，均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m1，且作純滾動(dòng)。解：分析系統(tǒng)，初瞬時(shí)的動(dòng)能為設(shè)連桿OA運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)的角速度為w，由于OA＝AB，所以桿AB的角速度也為w，且此時(shí)B端為桿AB的速度瞬心，因此輪B的角速度為零，vB=0。系統(tǒng)此時(shí)的動(dòng)能為OaAFBwvAvB

系統(tǒng)受力如圖所示，在運(yùn)動(dòng)過程中所有的力所作的功為解得OaAFBmgmgFSFNm1gFOxFOy由得例10已知：

J1

，J2

，R1，R2

，i12=

R2/R1

M1

，

M2。求軸Ⅰ的角加速度。ⅠⅡM1M2解：取系統(tǒng)為研究對象由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：主動(dòng)力的功：由動(dòng)能定理得：將上式對時(shí)間求導(dǎo)，并注意解得：ⅠⅡM1M2例11兩根完全相同的均質(zhì)細(xì)桿AB和BC用鉸鏈B連接在一起，而桿BC則用鉸鏈C連接在C點(diǎn)上，每根桿重P＝10N，長l＝1m，一彈簧常數(shù)k＝120N/m的彈簧連接在兩桿的中心，如圖所示。假設(shè)兩桿與光滑地面的夾角q

＝60o時(shí)彈簧不伸長，一力F＝10N作用在AB的A點(diǎn)，該系統(tǒng)由靜止釋放，試求q

＝0o時(shí)AB桿的角速度。AqCBODvAvDvBFwBCwAB解：AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，BC桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，找出AB桿的速度瞬心在O點(diǎn)，由幾何關(guān)系知OB＝BC＝l，因此由得 同時(shí)還可以得出結(jié)論，當(dāng)θ＝0o時(shí)O點(diǎn)與A點(diǎn)重合，即此時(shí)A為AB桿的速度瞬心，所以主動(dòng)力做功重力做功彈簧力做功外力所做總功 由動(dòng)能定理的積分形式得：

因?yàn)橄到y(tǒng)屬理想約束，所以約束反力不做功，做功的力有主動(dòng)力F，重力P和彈簧力，分別求得如下：解：取系統(tǒng)分析，則運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)的動(dòng)能為例12如圖，重物A和B通過動(dòng)滑輪D和定滑輪而運(yùn)動(dòng)。如果重物A開始時(shí)向下的速度為v0，試問重物A下落多大距離，其速度增大一倍。設(shè)重物A和B的質(zhì)量均為m，滑輪D和C的質(zhì)量均為M，且為均質(zhì)圓盤。重物B與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為f

'，繩索不能伸長，其質(zhì)量忽略不計(jì)。DAB2v0Cv0

系統(tǒng)受力如圖所示，設(shè)重物A下降h高度時(shí)，其速度增大一倍。在此過程中，所有的力所作的功為由得解得速度增大一倍時(shí)的動(dòng)能為DABCmgMgMgmgFNFSFOyFOx例13圖示機(jī)構(gòu)，均質(zhì)桿質(zhì)量為m＝10kg，長度為l＝60cm，兩端與不計(jì)重量的滑塊鉸接，滑塊可在光滑槽內(nèi)滑動(dòng)，彈簧的彈性系數(shù)為k＝360N/m。在圖示位置，系統(tǒng)靜止，彈簧的伸長為20cm。然后無初速釋放，求當(dāng)桿到達(dá)鉛垂位置時(shí)的角速度。解：以系統(tǒng)為研究對象，則運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)的動(dòng)能為

當(dāng)桿運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)，其速度瞬心為桿端B，設(shè)此時(shí)桿的角速度為w，則系統(tǒng)的動(dòng)能為BACmg30cm

在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力和彈力作功，所以在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中所有的力所作的功為由得所以BACmg30cm

例14如圖，均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為l，可繞距端點(diǎn)l/3的轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，求桿由水平位置靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的角速度、角加速度以及軸承O的約束反力。解：本題已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)和約束反力。桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的動(dòng)能為在此過程中所有的力所作的功為jCOmg解法1：用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)以桿為研究對象。由于桿由水平位置靜止開始運(yùn)動(dòng)，故開始的動(dòng)能為零，即w由得將前式兩邊對時(shí)間求導(dǎo)，得jCOmgw解法2：用微分方程求運(yùn)動(dòng)COmg由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程即所以得即又所以FOyFOxajCOwaxyaCxaCy現(xiàn)在求約束反力。質(zhì)心加速度有切向和法向分量：atCanC將其向直角坐標(biāo)軸上投影得：COmgxyaCxaCyFOyFOx由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得：解得：BA

例15物塊A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，且m1＞m2

，分別系在繩索的兩端，繩跨過一定滑輪，如圖?；喌馁|(zhì)量為m，并可看成是半徑為r的均質(zhì)圓盤。假設(shè)不計(jì)繩的質(zhì)量和軸承摩擦，繩與滑輪之間無相對滑動(dòng)，試求物塊A的加速度和軸承O的約束反力。解一：取單個(gè)物體為研究對象。

分別以物塊A、B和滑輪為研究對象，受力如圖。分別由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，得m1gFAam2gFBaABOrF'BF'AFOxFOyOmga

由以上方程聯(lián)立求解得：注意到

解二：用動(dòng)能定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。

解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，運(yùn)動(dòng)分析如圖。系統(tǒng)動(dòng)能為所有力的元功的代數(shù)和為于是可得BAm1gvm2gvFOxFOyOmgw由微分形式的動(dòng)能定理得

由質(zhì)心坐標(biāo)公式于是可得BAm1gvm2gvFOxFOyOmgw由得

解三：用動(dòng)量矩定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(或動(dòng)量定理)。解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，運(yùn)動(dòng)分析如圖。系統(tǒng)對定軸的動(dòng)量矩為然后按解二的方法即可求得軸承O的約束反力。BAm1gam2gaFOxFOyOmge由得

例16如圖所示，均質(zhì)圓盤可繞O軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤的質(zhì)量為m，半徑為R。在圓盤的質(zhì)心C上連結(jié)一剛性系數(shù)為k的水平彈簧，彈簧的另一端固定在A點(diǎn)，CA＝2R為彈簧的原長，圓盤在常力偶矩M的作用下，由最低位置無初速地繞O軸向上轉(zhuǎn)。試求圓盤到達(dá)最高位置時(shí)，軸承O的約束反力。

解：以圓盤為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。MOCACAayxMmgFFOxFOyOw45°解得由得yCAaxMmgFFOxFOyOw45°再由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得解得代入加速度解得yCAaxMmgFFOxFOyOw45°yxanCatCaCxaCy由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程得

例17均質(zhì)細(xì)桿長為l，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾而倒下時(shí)，求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力。

解：由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力，倒下過程中質(zhì)心將鉛直下落。桿運(yùn)動(dòng)到任一位置(與水平方向夾角為q)時(shí)的角速度為此時(shí)桿的動(dòng)能為初動(dòng)能為零，此過程只有重力作功，由當(dāng)q＝0°時(shí)解出PACqwvCvA

桿剛剛達(dá)到地面時(shí)受力及加速度如圖所示，由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，得

桿作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的加速度為沿鉛垂方向投影，得聯(lián)立求解方程(1)~(3)，得ACaaCmgFAACaCawanCAaAatCAOD(b)例18圖示三棱柱體ABC的質(zhì)量為m1，放在光滑的水平面上，可以無摩擦地滑動(dòng)。質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體O由靜止沿斜面AB向下滾動(dòng)而不滑動(dòng)。如斜面的傾角為q，求三棱柱體的加速度。qACBOvrwDavvevDvODvDa解：整體系統(tǒng)在水平方向上受力為零，所以系統(tǒng)的動(dòng)量在水平方向上守恒。設(shè)某瞬時(shí)三棱柱的速度是v，圓柱體的角速度是w。求圓柱體的動(dòng)量需要用O點(diǎn)的絕對速度，該速度可用兩種方法求得：②基點(diǎn)法：取圓柱體與三棱柱的接觸點(diǎn)D為基點(diǎn)，分析圓柱體中心O點(diǎn)的速度，如圖(b)所示①復(fù)合運(yùn)動(dòng)法：取圓柱體中心O為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與三棱柱固連，則O點(diǎn)的速度分析如圖(a)所示(a)wxya

araem2gFSFNOD由動(dòng)量守恒定理:兩邊對時(shí)間t求導(dǎo)得欲求a需先求出a，取圓柱體分析如圖(c)所示，由平面運(yùn)動(dòng)微分方程得從中解出求出系統(tǒng)動(dòng)量的水平分量：x'y'代入(*)式得例題19車床電動(dòng)機(jī)的功率P輸入＝5.4kW。傳動(dòng)零件之間的磨擦損耗功率為輸入功率的30％。工件的直徑d＝100mm。求：轉(zhuǎn)速n=42r/min和n=112r/min的允許最大切削力。解：車床正常工作時(shí)，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動(dòng)能無變化其中切削力F與工件在切削力作用點(diǎn)的速度v同向切削力F與工件在切削力作用點(diǎn)的速度v同向當(dāng)n=42r/min時(shí)當(dāng)n=112r/min時(shí)

例1球磨機(jī)的滾筒以勻角速度w繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng),內(nèi)裝鋼球和需要粉碎的物料,鋼球被筒壁帶到一定高度脫離筒壁,然后沿拋物線軌跡自由落下,從而擊碎物料,如圖。設(shè)滾筒內(nèi)壁半徑為r,試求鋼球的脫離角a。

解：以某一尚未脫離筒壁的鋼球?yàn)檠芯繉ο?受力如圖。鋼球未脫離筒壁前,作圓周運(yùn)動(dòng),其加速度為慣性力FI的大小為假想地加上慣性力,由達(dá)朗貝爾原理OMrwaqFFNmgFI

這就是鋼球在任一位置q時(shí)所受的法向反力,顯然當(dāng)鋼球脫離筒壁時(shí),FN＝0,由此可求出其脫離角a為例2重P長l的等截面均質(zhì)細(xì)桿AB,其A端鉸接于鉛直軸AC上,并以勻角速度w繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng),如圖。求角速度w與角q的關(guān)系。解：以桿AB為研究對象,受力如圖。桿AB勻速轉(zhuǎn)動(dòng),桿上距A點(diǎn)x

的微元段dx

的加速度的大小為微元段的質(zhì)量dm＝Pdx/gl。在該微元段虛加慣性力dFI,它的大小為xdxdFIanqwBACyxqBAxdPFAxFAyFI于是整個(gè)桿的慣性力的合力的大小為設(shè)力FI的作用點(diǎn)到點(diǎn)A的距離為d,由合力矩定理,有即假想地加上慣性力,由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理qBAxdPFAxFAyFI代入FI的數(shù)值,有故有q＝0或OxyFIidFTFTOR例3已知：m，R，。求：輪緣橫截面的張力。解：取上半部分輪緣為研究對象DBA

例3如圖所示,均質(zhì)桿AB的質(zhì)量m＝40kg,長l＝4m,A點(diǎn)以鉸鏈連接于小車上。不計(jì)摩擦,當(dāng)小車以加速度a＝15m/s2向左運(yùn)動(dòng)時(shí),求D處和鉸A處的約束反力。解：以桿為研究對象,受力如圖,建立如圖坐標(biāo)。桿作平動(dòng),慣性力的大小為FI＝ma。假想地加上慣性力,則由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理于是得FIlA30°DBh＝1maaFDmgFAxFAyxy

代入數(shù)據(jù),解之得：DBAFIaFDmgFAxFAyxyBC

例4均質(zhì)桿AB長l,重W,B端與重G、半徑為r的均質(zhì)圓輪鉸接。在圓輪上作用一矩為M的力偶,借助于細(xì)繩提升重為P的重物C。試求固定端A的約束反力。解：先以輪和重物為研究對象,受力如圖。假想地加上慣性力由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理aMGFBxFByMIBaPFIC代入MIB和FIC得

再以整體為研究對象,受力如圖,假想地加上慣性力BCAaMGFAxFAyMIBPFICaWmA代入MIB和FIC解得由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理jOxyCBA

質(zhì)量為m,長為l的均質(zhì)直桿AB的一端A焊接于半徑為r的圓盤邊緣上,如圖。今圓盤以角加速度a繞其中心O轉(zhuǎn)動(dòng)。求圓盤開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),AB桿上焊接點(diǎn)A處的約束反力。解：以桿為研究對象,受力如圖,建立如圖坐標(biāo)。將慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化,慣性力的大小為aOrABlamgaCFIMIOFAxFAymA

由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理CBAamgaCFIMIOFAxFAymAjOxy將已知數(shù)值代入以上三式,解之得qrC

例6重P、半徑為r的均質(zhì)圓輪沿傾角為q的斜面向下滾動(dòng)。求輪心C的加速度,并求圓輪不滑動(dòng)的最小摩擦系數(shù)。解：以圓輪為研究對象,受力如圖,建立如圖坐標(biāo)。

圓輪作平面運(yùn)動(dòng),輪心作直線運(yùn)動(dòng),則將慣性力系向質(zhì)心簡化,慣性力和慣性力偶矩的大小為qCrFSFIMIFNPaxyaC則由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理

解之得由于圓輪沒有滑動(dòng),則F≤fN,

即由此得所以,圓輪不滑動(dòng)時(shí),最小摩擦系數(shù)qrCFSFIMIFNPaxyaC例題9已知兩均質(zhì)直桿自水平位置無初速地釋放。求兩桿的角加速度和O、A處的約束反力。解:(1)取系統(tǒng)為研究對象ABOMI1MI2mgmgFI2FI1FOyFOxBAO12(2)取AB桿為研究對象MI2mgFI2FAyFAxBA2(3)取AB桿為研究對象MI2mgFI2FAyFAxBA2

(4)取系統(tǒng)為研究對象MI1MI2mgmgFI2FI1FOyFOxBAO12

例7均質(zhì)桿的質(zhì)量為m,長為2l,一端放在光滑地面上,并用兩軟繩支持,如圖所示。求當(dāng)BD繩切斷的瞬時(shí),B點(diǎn)的加速度AE繩的拉力及地面的反力。解：以AB桿為研究對象,桿AB作平面運(yùn)動(dòng),如圖,以B點(diǎn)為基點(diǎn),則C點(diǎn)的加速度為其中將慣性力系向質(zhì)心C簡化,得慣性力FI＝FIe＋FIr,其中FIe＝maB,FIr＝matCB

＝mla和慣性力偶,其力偶的矩為AECBxy30oBCAED30oFTFNmgFIeFIrMIaBaBa

tCBa在BD繩切斷的瞬時(shí),受力如圖,建立如圖坐標(biāo)。由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理AECBxy30oFTFNmgFIeFIrMIBA30ox以B為基點(diǎn),則A點(diǎn)的加速度為其中將上式投影到x軸上得聯(lián)立求解（1）~（4）式,得aBaBa

tCBaa

tA

例8

如圖所示,均質(zhì)桿AB長為l,重為Q,上端B靠在半徑為R的光滑圓弧上（R=l

）,下端A以鉸鏈和均質(zhì)圓輪中心A相連,圓輪重P,半徑為r,放在粗糙的地面上,

由靜止開始滾動(dòng)而不滑動(dòng)。若運(yùn)動(dòng)開始瞬時(shí)桿與水平線所成夾角,求此瞬時(shí)A點(diǎn)的加速度。

輪和桿均作平面運(yùn)動(dòng),將慣性力系分別向質(zhì)心簡化,則慣性力和慣性力偶的矩的大小分別為

解：設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初瞬時(shí),圓輪中心的加速度為,角加速度為；AB桿的角加速度為,質(zhì)心C的加速度為、。如圖。

先以整體為研究對象,受力如圖。假想地加上慣性力和慣性力偶,則由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理(1)

再以AB為研究對象,受力如圖。假想地加上慣性力和慣性力偶,則由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理（2）

AB桿作平面運(yùn)動(dòng),先以B點(diǎn)為基點(diǎn),則A點(diǎn)的加速度為其中其加速度合成矢量圖如圖所示。

將其投影于軸,得（3）

再以A為基點(diǎn),則C點(diǎn)的加速度為其中

,加速度合成矢量圖如圖。將其投影于、軸,得（4）（5）

由式（3）、（4）、（5）可將、、都化為的函數(shù),即

將其代入式（1）、（2）,并取,聯(lián)立該兩方程可解得

一、求主動(dòng)力之間的關(guān)系例1、圖示機(jī)構(gòu)中，已知OA=AB=l，，如不計(jì)各構(gòu)件的重量和摩擦，求在圖示位置平衡時(shí)主動(dòng)力與的大小之間的關(guān)系。

解1：以系統(tǒng)為研究對象，受的主動(dòng)力有、。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。由虛位移原理，得將以上關(guān)系代入前式得由于，于是得

AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在點(diǎn)，則亦可由速度投影定理求虛位移之間的關(guān)系：由速度投影定理解2：解析法。建立如圖坐標(biāo)。由于且對上兩式作變分，得由，得即由于，于是得例2圖示機(jī)構(gòu)中，當(dāng)曲柄OC繞軸擺動(dòng)時(shí)，滑塊A沿曲柄自由滑動(dòng)，從而帶動(dòng)桿AB在鉛垂導(dǎo)槽K內(nèi)移動(dòng)。已知OC=a，OK=l，在C點(diǎn)垂直于曲柄作用一力Q，而在B點(diǎn)沿BA作用一力P。求機(jī)構(gòu)平衡時(shí)，力P與Q的關(guān)系。

解1：（幾何法）以系統(tǒng)為研究對象，受的主動(dòng)力有P、Q。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。其中由虛位移原理，得式中故有由于，于是得主動(dòng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)及其變分為主動(dòng)力在坐標(biāo)方向上的投影為解2解析法:建立如圖坐標(biāo)。由，得即亦即由于，于是得解3：綜合法。

本題用解析法計(jì)算力的虛功，用幾何法計(jì)算力的虛功，此時(shí)虛功方程可以寫為將代入上式，得即可得同樣的結(jié)果。二、求系統(tǒng)的平衡位置例3圖示平面機(jī)構(gòu)，兩桿長度相等。在B點(diǎn)掛有重W的重物。D、E兩點(diǎn)用彈簧連接。已知彈簧原長為l，彈性系數(shù)為k，其它尺寸如圖。不計(jì)各桿自重。求機(jī)構(gòu)的平衡位置。解：以系統(tǒng)為研究對象，建立如圖的坐標(biāo)。

系統(tǒng)受力有主動(dòng)力，以及非理想約束的彈性力和，將其視為主動(dòng)力。其彈性力的大小為主動(dòng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)及其變分為主動(dòng)力在坐標(biāo)方向上的投影為由，得即亦即因，故將F代入，化簡得

三、求約束反力例4試求圖示多跨靜定梁鉸B處的約束反力。

解：以梁為研究對象，解除