2021-2022學(xué)年安徽省合肥市廬江縣高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年安徽省合肥市廬江縣高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】直線可化為直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，則，又，故選C.2．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．20 B．35 C．45 D．63【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合求和公式即可求解．【詳解】依題意，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，所以，故選：D．3．下列求導(dǎo)運算正確的是A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運算法則對給出的四種運算逐一驗證，即可得到正確答案.詳解：，不正確；，正確；,不正確；，不正確，故選B.點睛：本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運算法以及簡單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，屬于基礎(chǔ)題.4．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則該雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程得到漸近線的方程，根據(jù)一條漸近線所經(jīng)過的點的坐標(biāo)，得到的關(guān)系，進而利用求得離心率.【詳解】因為漸近線經(jīng)過點，所以，從而.故選：C【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬基礎(chǔ)題.5．函數(shù)的圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用函數(shù)的零點，極值點，單調(diào)性即可解決.【詳解】解：由得或，故BD錯；又，所以，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，在處取得極大值，在處取得極小值，故A錯.故選：C6．已知橢圓的兩個焦點為，點在橢圓上且滿足，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析可得，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義可得，，將兩式聯(lián)立可得的值，由三角形面積公式計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，點在橢圓上，滿足，，又由橢圓的方程為，其中，則有，，聯(lián)立可得，則△的面積；故選：C．【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及勾股定理與三角形的面積，關(guān)鍵是掌握橢圓的幾何性質(zhì)．7．如圖，在四棱錐中，平面，M，N分別為，上的點，且，，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】以為基底表示，由此求得，進而求得.【詳解】，所以.故選：B8．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立，參變分離后，求的取值范圍.【詳解】，由題意可知，，當(dāng)時恒成立，即恒成立，得，，所以.故選：D9．圓關(guān)于直線對稱，則最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圓心，得到圓心在直線上，進而求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】變形為，故圓心為，因為關(guān)于直線對稱，所以圓心在直線上，即，所以，，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以.故選：A10．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有女子善織，日增等尺，三日織9尺，第二日、第四日、第六日所織之和為15尺，則其七日共織尺數(shù)為幾何？”大致意思是:“有一女子善于織布，每日增加相同的尺數(shù)，前三日共織布9尺，第二日、第四日、第六日所織布之和為15尺，問她前七日共織布多少尺？”（

）A．28 B．32 C．35 D．42【答案】C【分析】該女子每日織布的尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記為，進而得，再解方程，并計算前項和即可.【詳解】解：由題知，該女子每日織布的尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記為，設(shè)其每日增加的尺數(shù)為，其前項和為，所以，，即，解得，，所以，她前七日共織布尺.故選：C11．函數(shù)在處有極值為，那么，的值為（

）A．， B．，C．，或， D．，【答案】A【分析】由題意可知，由此可求出，并驗證即可求解．【詳解】，由題意可知即，則解得或，當(dāng)時，，在處不存在極值，不符合題意；當(dāng)時，，，，，，符合題意．，故選：A．12．在數(shù)列中，若，且對任意的有，則使數(shù)列前n項和成立的n最大值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】由題知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，進而得，再根據(jù)錯位相減法得，進而將不等式轉(zhuǎn)化為，令，再結(jié)合其單調(diào)性求解即可.【詳解】解：因為對任意的有，所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，，所以，，所以，所以，所以即為，所以，令，則，即，所以為單調(diào)遞減數(shù)列，因為當(dāng)時，，滿足，當(dāng)時，，不滿足，所以成立的n最大值為，所以，數(shù)列前n項和成立的n最大值為.故選：B二、填空題13．不論為何實數(shù)，直線恒過定點_________.【答案】【分析】直線方程轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)直線系方程求解即可.【詳解】解：將直線方程轉(zhuǎn)化為，所以直線過直線與的交點，所以，聯(lián)立方程，解得所以，直線恒過定點故答案為：14．已知向量，，則__________.【答案】【分析】先利用空間向量坐標(biāo)運算得到，進而求出模長.【詳解】，所以.故答案為：.15．已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸的正半軸上，且到雙曲線漸近線的距離為，則拋物線的方程為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線方程為,由于雙曲線漸近線方程為，利用點到直線的距離公式求得的值，即可得拋物線的方程.【詳解】解：已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸的正半軸上，則設(shè)拋物線方程為：,則拋物線的焦點坐標(biāo)為，又到雙曲線漸近線的距離為，雙曲線中，所以，則漸近線方程為：所以，解得或（舍），則拋物線的方程為.故答案為：.16．已知函數(shù)，函數(shù)，若對任意的，總存在使得，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性求出的最值，即可得的值域，由單調(diào)性可得的值域，由題意可得在的值域是的值域的子集，根據(jù)包含關(guān)系列不等式組即可求解．【詳解】由可得，當(dāng)時，；時，；所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，可得在的值域為，由在遞增，可得的值域為，由對任意的，總存在，使得，可得，所以，可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題17．已知直線l3：，直線l經(jīng)過兩條直線l1：和l2：的交點.(1)若l∥l3，求l的直線方程；(2)若若l⊥l3，求l的直線方程.【答案】(1)(2)【分析】先求出l1與l2的交點坐標(biāo).再分別由l∥l3，，l⊥l3求出直線l方程即可.【詳解】（1）由，得.∴l(xiāng)1與l2的交點為(1，3)設(shè)與直線平行的直線方程為，則，∴∴所求直線方程為.（2）設(shè)與直線垂直的直線方程為則，解得∴所求直線方程為.18．如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，點E、F分別為CA1、AB的中點.（1）證明:平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）通過證明來證得平面.（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量來計算出與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）如圖，連接EC1、BC1，因為三棱柱A1B1C1-ABC為直三棱柱，所以E為AC1的中點.又因為F為AB的中點，所以.又EF?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以平面.（2）以A1為原點，A1C1、A1B1、A1A所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0，0，6)，B1(0，4，0)，E(2，0，3)，F(xiàn)(0，2，6)，所以=(0，-2，6)，=(2，0，-3)，=(0，2，0)，設(shè)平面AEF的法向量為，則令x=3，得，記B1F與平面AEF所成角為θ，則.19．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；；（2）【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，正項等比數(shù)列的公比為，，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公差和公比，即可求出數(shù)列和的通項公式；（2）先由（1）求得，再利用錯位相減法求其前項和即可．【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，正項等比數(shù)列的公比為，，由，，，可得，，解得，，舍去），則；；（2）由（1）知：，，又，兩式相減得：，整理可得：．20．已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若對所有都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）最小值；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，研究函數(shù)的單調(diào)性，再求其最值，（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的最值即可得解.【詳解】解：（Ⅰ）的定義域為，的導(dǎo)數(shù).令，解得；令，解得.從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時，取得最小值.（Ⅱ）依題意，得在上恒成立，即不等式對于恒成立.令，則.當(dāng)時，因為，故是上的增函數(shù)，所以的最小值是，從而的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式，屬中檔題.21．已知橢圓的離心率為，且過點．(1)求橢圓的方程．(2)若點，分別是橢圓的左、右頂點，直線經(jīng)過點且垂直于軸，點是橢圓上異于，的任意一點，直線交于點，如圖所示．設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率、所過的點及其參數(shù)關(guān)系求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）設(shè)，寫出直線的方程，進而求坐標(biāo)，應(yīng)用兩點式求、，結(jié)合在橢圓上即可證結(jié)論.【詳解】（1）由橢圓的離心率，則，則，將代入橢圓方程：，解得：，則，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）由（1）知：，，設(shè)，則直線的方程為：．令得：∴，則，∴，∵在橢圓上，∴，．∴為定值，得證．22．某工廠某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為噸，其中，需要投入的成本為（單位：萬元），當(dāng)時，；當(dāng)時，．若每噸商品售價為萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．（Ⅰ）寫出年利潤（單位：萬元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少噸