2021-2022學(xué)年廣西鐘山縣鐘山中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期第三次（12月）月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年廣西鐘山縣鐘山中學(xué)高二上學(xué)期第三次（12月）月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由題意知，故選B.【考點(diǎn)定位】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于容易題.2．等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【詳解】試題分析：假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.【解析】等差數(shù)列的性質(zhì).3．已知函數(shù)若，則的值是（）A．3 B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式及函數(shù)值，解方程即可確定的值，舍去不合要求的解即可.【詳解】函數(shù)當(dāng)時(shí)，，若，即，解得或（舍）；當(dāng)時(shí)，，若，即，解得（舍）；綜上可知，的值為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的求值，根據(jù)函數(shù)值求自變量的值，屬于基礎(chǔ)題.4．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，即可求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)，可整理為，與直線平行.數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)取得最大值.則.故選：5．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展開，利用基本不等式可求出最值，注意等號(hào)成立的條件．【詳解】∵兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足=1，∴x+2y=（x+2y）（）=4+≥4+2=8，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)即x=4，y=2，故x+2y的最小值是8．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是“1”的活用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．6．要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象A．向左平移個(gè)單位B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位．本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：三角函數(shù)圖象進(jìn)行平移變換時(shí)注意提取x的系數(shù)，進(jìn)行周期變換時(shí)，需要將x的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼摩乇?，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同．7．已知雙曲線C：的離心率e＝，且其右焦點(diǎn)為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求得c的值，根據(jù)離心率，可求得a的值，根據(jù)b2＝c2－a2，可求得b的值，即可求得答案.【詳解】根據(jù)右焦點(diǎn)為F2(5，0)，可得c＝5，又離心率為，所以a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，所以雙曲線方程為，故選：C.8．已知p：；q：，則p是q的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】分別求出p、q對(duì)應(yīng)的不等式的解，進(jìn)而可選出答案.【詳解】由題意，，即p：；，即q：，所以，，即p是q的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式及一元二次不等式的解法，考查命題的充分性與必要性，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9．已知函數(shù)，，則不等式成立的概率是A． B． C． D．【答案】C【詳解】區(qū)間的長(zhǎng)度為，滿足不等式即不等式，解答，對(duì)應(yīng)區(qū)間長(zhǎng)度為，由幾何概型公式可得使不等式成立的概率是；故選：10．函數(shù)的大致圖像為A． B．C． D．【答案】A【分析】此題主要利用排除法，當(dāng)時(shí)，可得，故可排除C，D，當(dāng)時(shí)，可排除選項(xiàng)B，故可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，∴，故可排除C，D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，，∴，故可排除B選項(xiàng)，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象的判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)以及特殊值的計(jì)算，是中檔題；已知函數(shù)解析式，選擇其正確圖象是高考中的高頻考點(diǎn)，主要采用的是排除法，最常見的排出方式有根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)，同時(shí)還有在特殊點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值或其符號(hào)，其中包括等.11．三棱錐中，為等邊三角形，，，三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題中條件可以通過補(bǔ)成長(zhǎng)方體的方式得到外接球的半徑.【詳解】三棱錐中，為等邊三角形，，，，以為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖，則長(zhǎng)方體的外接球也是三棱錐外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線為，球直徑為，半徑為，因此，三棱錐外接球的表面積是，故選B.【點(diǎn)睛】空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．12．已知函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，，那么方程的解的個(gè)數(shù)為（）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【答案】D【分析】利用圖象法，作出和的圖象，根據(jù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以是周期?的周期函數(shù).當(dāng)時(shí)，，所以作出和的圖象如圖所示：結(jié)合圖象，因?yàn)楹偷膱D象有10個(gè)交點(diǎn)，所以方程的解的個(gè)數(shù)為10個(gè).故選：D二、填空題13．某班某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)好、中、差的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽取容量為20的樣本，則應(yīng)從成績(jī)好的學(xué)生中抽取________名學(xué)生.【答案】6【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)考試成績(jī)好、中、差的學(xué)生人數(shù)之比為，確定成績(jī)好的學(xué)生的比例，列式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)槟炒螖?shù)學(xué)考試成績(jī)好、中、差的學(xué)生人數(shù)之比為，故用分層抽樣方法從中抽取容量為20的樣本，則應(yīng)從成績(jī)好的學(xué)生中抽取名學(xué)生，故答案為：614．已知向量，滿足，，則與的夾角為_______.【答案】.【分析】設(shè)與的夾角為，由，利用數(shù)量積的運(yùn)算法則可得答案.【詳解】設(shè)與的夾角為，由得，即，解得，因?yàn)?，所以，所以與的夾角為.故答案為：.15．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是_________________．【答案】【分析】由三視圖還原出原幾何體，確定幾何體為正四棱錐，再求解側(cè)面三角形的高，從而可得其表面積.【詳解】由三視圖可知此四棱錐為正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為4，高為2，所以側(cè)面三角形底邊上的高為，所以四棱錐的側(cè)面積為．所以該四棱錐的表面積為.故答案為：.16．設(shè)P是橢圓=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則cos∠F1PF2的最小值是_________【答案】【分析】方法一：當(dāng)點(diǎn)是橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí),取得最大值,此時(shí)可取得最小值.【詳解】方法一：（二級(jí)結(jié)論應(yīng)用）橢圓,.當(dāng)點(diǎn)是橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí),取得最大值,,的最小值.故答案為：.方法二：在中，因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：.三、解答題17．樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環(huán)．據(jù)此，某網(wǎng)站退出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，環(huán)境治理和保護(hù)問題仍是百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn)，參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占．現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求出的值；求出這200人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求第2組恰好抽到2人的概率.【答案】(1),平均數(shù)為41.5歲,中位數(shù)為42.1歲(2)【分析】(1)由頻率分布直方圖能求出,平均數(shù)和中位數(shù).(2)第1,2組的人數(shù)分別為20人,30人,從第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,則第1,2組抽取的人數(shù)分別為2人,3人,分別記為.設(shè)從5人中隨機(jī)抽取3人,利用列舉法能求出第2組中抽到2人的概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得:解得.平均數(shù)為歲.設(shè)中位數(shù)為,則歲.（2）第1,2組的人數(shù)分別為20人,30人,從第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,則第1,2組抽取的人數(shù)分別為2人,3人,分別記為,.設(shè)從5人中隨機(jī)抽取3人,為:共10個(gè)基本事件,其中第2組恰好抽到2人包含:，,共6個(gè)基本事件,從而第2組中抽到2人的概率.18．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.（1）求角的大?。唬?）若，且的面積為，求a的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理邊化角，整理計(jì)算可得，則.（Ⅱ）由三角形面積公式可得：，結(jié)合余弦定理計(jì)算可得，則.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得，，∵，∴，即．∵∴，∴∴．（Ⅱ）由：可得．∴，∵，∴由余弦定理得：，∴.【點(diǎn)睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍．19．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，().(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用得到(，)，從而可得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求即可.【詳解】（1），由①，可得②.①-②得，，即(，).故.當(dāng)時(shí)，，所以.（2）由（1）得，，所以.所以.20．如圖，在正三棱柱中，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）已知，，求多面體的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接，設(shè)，連接，可得，從而可證平面；（2）多面體的體積等于三棱柱的體積減去三棱錐的體積，取為的中點(diǎn)，連接，，證明，，從而求得，求出三棱柱的體積和三棱錐的體積，即可得出答案.【詳解】（1）證明：連接，設(shè)，連接．由正三棱柱，得為的中點(diǎn)，又因?yàn)樵谡庵?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）解：取為的中點(diǎn)，連接，，所以．因?yàn)槠矫妫裕?，所以平面，則．因?yàn)?，，所以平面，所以，從而，所以，解得．所以三棱柱的體積為．三棱錐的體積為，則多面體的體積為．21．已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b，c∈R)，且f(x)≤0的解集為[?1，2]．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解關(guān)于x的不等式mf(x)>2(x?m?1)(m≥0)；(3)設(shè)g(x)=2f(x)+3x?1，若對(duì)于任意的x1，x2∈[?2，1]都有|g(x1)?g(x2)|≤M求M的最小值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】(1)不等式解集端點(diǎn)就是方程的解，待定系數(shù)法可求解；(2)將不等式整理得，再對(duì)m進(jìn)行分類討論；(3)先得出，將恒成立問題在化為求解.【詳解】（1）∵f(x)≤0的解集為[?1，2]，∴，∴∴（2）∵∴，∴當(dāng)m=0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)0<m<2時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)m=2時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)m>2時(shí)，不等式的解集為。（3）∵∴∵恒成立，∴等價(jià)于；∴等價(jià)于；即∴M的最小值為.22．已知拋物線與直線相切.（1）求該拋物線的