2022-2023學(xué)年北京市密云區(qū)高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期（12月）數(shù)學(xué)期末試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市密云區(qū)高一上學(xué)期（12月）數(shù)學(xué)期末試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由交集的定義求解即可【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C2．設(shè)命題：，則的否定為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】本題根據(jù)題意直接寫出命題的否定即可.【詳解】解：因?yàn)槊}：，所以的否定：，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，是基礎(chǔ)題.3．若，，則角是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的定義，可確定，進(jìn)而可知在第四象限．【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義有，所以，所以在第四象限，故選D．【點(diǎn)睛】當(dāng)?shù)慕K邊在不同象限的時(shí)候，其三個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)也發(fā)生變化，記憶的口訣是“全正切余”即：第一象限全為正，第二象限正弦正，第三象限切為正，第四象限余弦正．4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性定義、冪函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，令，則其定義域?yàn)?，又，為奇函?shù)；由冪函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞減，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則其定義域?yàn)?，又，為偶函?shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則其定義域?yàn)椋?，為偶函?shù)，D錯(cuò)誤.故選：A.5．下列不等式成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】通過反例可知AD錯(cuò)誤；利用作差法可知C錯(cuò)誤；根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可知B正確.【詳解】對(duì)于A，若，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，B正確；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：B.6．在平面直角坐標(biāo)系中，角以射線為始邊，終邊與單位圓的交點(diǎn)位于第四象限，且橫坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義和同角三角函數(shù)關(guān)系可得，利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，又為第四象限角，，.故選：A.7．已知函數(shù)，則此函數(shù)的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將函數(shù)配湊為，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.故選：D.8．“是第一象限角”是“是單調(diào)減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】通過反例可說明充分性不成立；由余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間可知必要性不成立，由此可得結(jié)論.【詳解】若，，此時(shí)且均為第一象限角，此時(shí)，不滿足單調(diào)減函數(shù)定義，充分性不成立；若為單調(diào)減函數(shù)，則，此時(shí)未必為第一象限角，必要性不成立；綜上所述：“是第一象限角”是“是單調(diào)減函數(shù)”的既不充分也不必要條件.故選：D.9．香農(nóng)定理是通信制式的基本原理．定理用公式表達(dá)為：，其中為信道容量（單位：），為信道帶寬（單位：），為信噪比．通常音頻電話連接支持的信道帶寬，信噪比．在下面四個(gè)選項(xiàng)給出的數(shù)值中，與音頻電話連接支持的信道容量最接近的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將代入公式中，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和近似值可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：.故選：A.10．定義在上的奇函數(shù)，滿足且對(duì)任意的正數(shù)，有，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合奇偶性可知在上單調(diào)遞減且；分別在和的情況下，利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】對(duì)任意的正數(shù)，有，在上單調(diào)遞減；為定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減且；，；當(dāng)時(shí)，可化為，，解得：；當(dāng)時(shí)，可化為，，解得：；綜上所述：不等式的解集為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，解決此類問題中，奇偶性和單調(diào)性的作用如下：（1）奇偶性：統(tǒng)一不等式兩側(cè)符號(hào)，同時(shí)根據(jù)奇偶函數(shù)的對(duì)稱性確定對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性；（2）單調(diào)性：將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系.二、填空題11．函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】根據(jù)解析式列出不等式，求出使解析式有意義的自變量的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】由解得且，即函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.12．計(jì)算：______．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.13．混沌理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)領(lǐng)域都有重要作用．在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)于，令，若使得，且當(dāng)，時(shí)，，則稱是的一個(gè)周期為的周期點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則是周期為的周期點(diǎn)；②若，則是周期為的周期點(diǎn)；③若，則存在周期為的周期點(diǎn)；④若，則，都不是的周期為的周期點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】②③④【分析】當(dāng)時(shí)，由可知，不符合定義，知①錯(cuò)誤；假設(shè)是周期為的周期點(diǎn)，驗(yàn)證可知，成立，知②正確；令，可得，，，知③正確；由二次函數(shù)值域知恒成立，從而得到④正確.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，，解得：，又，，不滿足當(dāng)，時(shí)，，不是周期為的周期點(diǎn)；對(duì)于②，假設(shè)是周期為的周期點(diǎn)，則需，；，，假設(shè)成立，②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，，，是周期為的周期點(diǎn)，③正確；對(duì)于④，，恒成立，不存在的情況，即，都不是的周期為的周期點(diǎn)，④正確.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)中的新定義問題，解題關(guān)鍵是明確是的一個(gè)周期為的周期點(diǎn)的定義，即需同時(shí)滿足和的條件，根據(jù)遞推關(guān)系式驗(yàn)證是否滿足定義即可得到結(jié)論.三、雙空題14．已知扇形的圓心角是弧度，半徑為，則扇形的弧長為______，面積為______．【答案】

【分析】根據(jù)扇形弧長和面積公式直接求解即可.【詳解】扇形弧長；扇形面積.故答案為：；.15．函數(shù)的定義域是______，最小正周期是______．【答案】

【分析】由可解得函數(shù)的定義域；由正切型函數(shù)最小正周期求法可求得結(jié)果.【詳解】由得：，的定義域?yàn)?；的最小正周?故答案為：；.四、解答題16．已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)當(dāng)時(shí)，求；(3)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）化簡集合，即可得到，（2）化簡集合，求出，即可得到（3）化簡集合，根據(jù)，即可求出的取值范圍【詳解】（1）由題意在和中，∴∴，（2）由題意及（1）得在和中，∴∴∴（3）由題意及（1）（2）得在和中，∵∴解得：∴的取值范圍為17．已知函數(shù)，．(1)求和的值，并畫出函數(shù)的圖象；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和值域；(3)若方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，；圖象見解析(2)單調(diào)增區(qū)間為，；值域?yàn)?3)【分析】（1）根據(jù)解析式可直接求得函數(shù)值；將在軸下方的圖象翻折到軸上方即可得到的圖象；（2）根據(jù)圖象可直接得到單調(diào)增區(qū)間和值域；（3）將問題轉(zhuǎn)化為圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得結(jié)果.【詳解】（1），，，.圖象如下圖所示，（2）由圖象可知：的單調(diào)增區(qū)間為，；的值域?yàn)?（3）若有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．設(shè)函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，求解集；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)和(2)(3)存在實(shí)數(shù)【分析】（1）令，解方程即可求得零點(diǎn)；（2）解一元二次不等式即可求得解集；（3）根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可構(gòu)造方程組求得的值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；令，解得：或，的零點(diǎn)為和.（2）當(dāng)時(shí)，，解得：，即.（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則且是方程的兩根，，解得：；存在實(shí)數(shù)，使得.19．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式和最小正周期；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值及對(duì)應(yīng)的x的取值；(3)當(dāng)時(shí)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見解析(3)減區(qū)間；增區(qū)間【分析】（1）由函數(shù)的圖象的最值點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式．（2），根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)在區(qū)間上的最值及對(duì)應(yīng)的x的取值；（3）當(dāng)時(shí)，分兩種情況討論，可寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【詳解】（1）由函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可得：，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得,（2），時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（3），故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；20．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(3)若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)偶函數(shù)，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零可直接解不等式求得定義域；（2）根據(jù)奇偶性的定義直接判斷即可得到結(jié)論；（3）由對(duì)數(shù)真數(shù)大于零首先確定恒成立時(shí)的范圍；由對(duì)數(shù)不等式可得，采用分離變量法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可求得的范圍；綜合即可得到的最小值.【詳解】（1）由得：，，即的定義域?yàn)?（2）由（1）知：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，為偶函數(shù).（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，則當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，解得：；；由得：，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，；綜上所述：實(shí)數(shù)的最小值為.21．已知集合，規(guī)定：集合中元素的個(gè)數(shù)為，且．若，則稱集合是集合的衍生和集．(1)當(dāng)，時(shí)，分別寫出集合，的衍生和集；(2)當(dāng)時(shí)，求集合的衍生和集的元素個(gè)數(shù)的最大值和最小值．【答案】(1)的衍生和集；的衍生和集(2)最大值為，最小值為【分析】（1）由衍生和集定義可直接寫出結(jié)果；（2）設(shè)，，列舉得到所有必然不相等的兩個(gè)元素之和的情況，由此得到最小值；假設(shè)任意兩