概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題課2

第二章隨機(jī)變量及其分布

教學(xué)要求1.理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念。2.理解隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念，掌握分布函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)計(jì)算與隨機(jī)變量有關(guān)的事件的概率。3.理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握（0-1）分布，二項(xiàng)分布，幾何分布，泊松分布及其應(yīng)用。4.理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握密度函數(shù)的性質(zhì)，掌握均勻分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布及其應(yīng)用。5.會(huì)求簡單的隨機(jī)變量函數(shù)的分布。例1.填空題：（1）同時(shí)拋擲三枚硬幣，以X表示出現(xiàn)正面的個(gè)數(shù)，則X的概率分布為___（2）設(shè)（3）設(shè)X的概率分布為（4）設(shè)X0123P1/83/83/81/8（5）設(shè)X的概率密度為用Y表示對(duì)X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則（6）設(shè)X的分布為X-4-1024P7/20a2a1/203/20則Y=3X-1-13-4-1511P7/203/206/201/203/20（6）設(shè)X的分布為12517P6/203/201/2010/20例2選擇題：（1）下列函數(shù)中，哪個(gè)是X的分布函數(shù)（A）（B）（C）（D）（2）設(shè)X的分布律為（A）；（B）；（C）；

（3）已知X的分布函數(shù)為則常數(shù)k和b分別為（A）（B）（C）（D）（D）.（4）設(shè)X的概率分布為，則隨著的增大，概率

（5）設(shè)

，概率密度為，則下列等式正確的是（A）單調(diào)增大；（B）單調(diào)減少；（C）增減性不定；

（D）保持不變。

（A）；（B）；（C）；

（D）

（6）設(shè)X的概率分布為

（A）N(1,4)（B）N(0,1)（C）N(1,1)（D）N(1,2)例3設(shè)試驗(yàn)成功的概率為，失敗的概率為，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到（1）成功兩次為止；（2）成功三次為止，分別求所需試驗(yàn)次數(shù)的概率分布。解：（1）設(shè)X表示直到成功兩次為止的所需試驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為2,3,4...（2）設(shè)Y

表示直到成功三次為止所需試驗(yàn)次數(shù)，則

Y

可能取值為3,4,5...

例4一批產(chǎn)品由9個(gè)正品3個(gè)次品組成，從這批產(chǎn)品中每次任取一個(gè)，取后不放回，直到取到正品為止，由X表示取到的次品個(gè)數(shù)，寫出X的概率分布及分布函數(shù)。解：X所有可能取值為0,1,2,3.故X的分布律為：X0123P3/49/449/2201/220當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)例5設(shè)X的概率密度為解：

（1）由的性質(zhì)，有求（1）系數(shù)k；（2）X的分布函數(shù)；（3）當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)（3）

例6設(shè)X的概率密度為解：

設(shè)Y的分布函數(shù)為；密度為求的概率密度。當(dāng)當(dāng)當(dāng)故例7已知X的概率密度為且，求（1）常數(shù)a,b的值；（2）

解：

（1）由得到再由聯(lián)立解得：（2）例8在電源電壓不超過200V，在200V~240V之間和超過240V這三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001，0.2，假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布，求：（1）該電子元件損壞的概率；（2）該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200V~240V之間的概率。解：

設(shè)A表示“電子元件損壞”，分別表示“電壓不超過200V”，“電壓在200V~240V之間”和“電壓超過240V

”。由（1）由全概率公式，得

（2）根據(jù)貝葉斯公式，有

例9公共汽車門的高度是按男子與車門頂不碰頭的概率在0.01以下設(shè)計(jì)的。設(shè)男子身高，問車門高度為多少？解：設(shè)車門高度為h，按設(shè)計(jì)要求求：隨機(jī)變量例10已知X的概率密度為解：當(dāng)當(dāng)兩端同時(shí)對(duì)y求導(dǎo)，得

所以

例11設(shè)X在(0,1)服從均勻分布，求（1）（2）的概率密度