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第二章隨機(jī)變量及其分布
教學(xué)要求1.理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念。2.理解隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念,掌握分布函數(shù)的性質(zhì),會(huì)計(jì)算與隨機(jī)變量有關(guān)的事件的概率。3.理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念,掌握(0-1)分布,二項(xiàng)分布,幾何分布,泊松分布及其應(yīng)用。4.理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念,掌握密度函數(shù)的性質(zhì),掌握均勻分布,指數(shù)分布,正態(tài)分布及其應(yīng)用。5.會(huì)求簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量函數(shù)的分布。例1.填空題:(1)同時(shí)拋擲三枚硬幣,以X表示出現(xiàn)正面的個(gè)數(shù),則X的概率分布為_(kāi)__(2)設(shè)(3)設(shè)X的概率分布為(4)設(shè)X0123P1/83/83/81/8(5)設(shè)X的概率密度為用Y表示對(duì)X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù),則(6)設(shè)X的分布為X-4-1024P7/20a2a1/203/20則Y=3X-1-13-4-1511P7/203/206/201/203/20(6)設(shè)X的分布為12517P6/203/201/2010/20例2選擇題:(1)下列函數(shù)中,哪個(gè)是X的分布函數(shù)(A)(B)(C)(D)(2)設(shè)X的分布律為(A);(B);(C);
(3)已知X的分布函數(shù)為則常數(shù)k和b分別為(A)(B)(C)(D)(D).(4)設(shè)X的概率分布為,則隨著的增大,概率
(5)設(shè)
,概率密度為,則下列等式正確的是(A)單調(diào)增大;(B)單調(diào)減少;(C)增減性不定;
(D)保持不變。
(A);(B);(C);
(D)
(6)設(shè)X的概率分布為
(A)N(1,4)(B)N(0,1)(C)N(1,1)(D)N(1,2)例3設(shè)試驗(yàn)成功的概率為,失敗的概率為,獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到(1)成功兩次為止;(2)成功三次為止,分別求所需試驗(yàn)次數(shù)的概率分布。解:(1)設(shè)X表示直到成功兩次為止的所需試驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為2,3,4...(2)設(shè)Y
表示直到成功三次為止所需試驗(yàn)次數(shù),則
Y
可能取值為3,4,5...
例4一批產(chǎn)品由9個(gè)正品3個(gè)次品組成,從這批產(chǎn)品中每次任取一個(gè),取后不放回,直到取到正品為止,由X表示取到的次品個(gè)數(shù),寫(xiě)出X的概率分布及分布函數(shù)。解:X所有可能取值為0,1,2,3.故X的分布律為:X0123P3/49/449/2201/220當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)例5設(shè)X的概率密度為解:
(1)由的性質(zhì),有求(1)系數(shù)k;(2)X的分布函數(shù);(3)當(dāng),當(dāng),當(dāng)(3)
例6設(shè)X的概率密度為解:
設(shè)Y的分布函數(shù)為;密度為求的概率密度。當(dāng)當(dāng)當(dāng)故例7已知X的概率密度為且,求(1)常數(shù)a,b的值;(2)
解:
(1)由得到再由聯(lián)立解得:(2)例8在電源電壓不超過(guò)200V,在200V~240V之間和超過(guò)240V這三種情況下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001,0.2,假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布,求:(1)該電子元件損壞的概率;(2)該電子元件損壞時(shí),電源電壓在200V~240V之間的概率。解:
設(shè)A表示“電子元件損壞”,分別表示“電壓不超過(guò)200V”,“電壓在200V~240V之間”和“電壓超過(guò)240V
”。由(1)由全概率公式,得
(2)根據(jù)貝葉斯公式,有
例9公共汽車(chē)門(mén)的高度是按男子與車(chē)門(mén)頂不碰頭的概率在0.01以下設(shè)計(jì)的。設(shè)男子身高,問(wèn)車(chē)門(mén)高度為多少?解:設(shè)車(chē)門(mén)高度為h,按設(shè)計(jì)要求求:隨機(jī)變量例10已知X的概率密度為解:當(dāng)當(dāng)兩端同時(shí)對(duì)y求導(dǎo),得
所以
例11設(shè)X在(0,1)服從均勻分布,求(1)(2)的概率密度
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