山西省朔州市峙峪中學2022年高三數(shù)學理期末試題含解析

山西省朔州市峙峪中學2022年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為邊BC的三等分點，則=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】向量在幾何中的應用；平面向量數(shù)量積的運算．【專題】計算題．【分析】先判定三角形形狀，然后建立直角坐標系，分別求出，向量的坐標，代入向量數(shù)量積的運算公式，即可求出答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴根據(jù)余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=滿足勾股定理可知∠BCA=90°以C為坐標原點，CA、CB方向為x，y軸正方向建立坐標系∵AC=1，BC=，則C（0，0），A（1，0），B（0，）又∵E，F(xiàn)分別是Rt△ABC中BC上的兩個三等分點，則E（0，），F(xiàn)（0，）則=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+=故選A．【點評】本題考查的知識點是平面向量數(shù)量積的運算，其中建立坐標系，將向量數(shù)量積的運算坐標化可以簡化本題的解答過程．2.設a＞0，若函數(shù)y=，當x∈[a，2a]時，y的范圍為[，2]，則a的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點】函數(shù)的值域．【分析】由已知得，由此能求出a的值．【解答】解：∵a＞0，函數(shù)y=，當x∈[a，2a]時，y的范圍為[，2]，∴，解得a=4．故選：B．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．3.設函數(shù)則=（

）A.2

B.1

C.-2

D.-1參考答案：D略4.已知函數(shù)，若的解集中恰有兩個正整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】由，可得，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導，可得交點的范圍，列出關(guān)于k的不等式，可得答案.【詳解】解：可得時，沒有正整數(shù)，，有兩個都大于1的整數(shù)，考查圖象，，可得，令，可得，可得和的交點的橫坐標在，即，解得，此時正整數(shù)為3和4．【點睛】本題主要考察函數(shù)的性質(zhì)，及導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性和極值的種的應用，綜合性大，難度較大.5.已知向量，，則A.

B.

C.

D.參考答案：C6.為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設定原信息為（），傳輸信息為，其中，運算規(guī)則為：，，，，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列接收信息一定有誤的是（

）A．11010

B．01100

C．10111

D．00011參考答案：【解析】選項傳輸信息110，，應該接收信息10110。7.設全集U是實數(shù)集R，，則

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A8.設集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤3，x∈R}，則P∩Q等于（）A．{1} B．{1，2，3}C．{3，4} D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}參考答案：B【考點】1E：交集及其運算．【分析】利用不等式的解法、集合運算性質(zhì)即可得出．【解答】解：Q={x||x|≤3，x∈R}=[﹣3，3]，P={1，2，3，4}，則P∩Q={1，2，3}．故選：B．【點評】本題考查了不等式的解法、集合運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．9.若關(guān)于x的不等式2－>|x－a|至少有一個負數(shù)解，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．參考答案：A略10.已知函數(shù)和的圖象的對稱中心完全相同，若，則/(X)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在實數(shù)集上定義運算

，并定義：若存在元素使得對，有，則稱為上的零元，那么，實數(shù)集上的零元之值是

參考答案：；根據(jù)“零元”的定義，，故12.在中，邊上的高為則AC+BC=____________.參考答案：略13.函數(shù)，則_______________。參考答案：略14.已知平行直線l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，則l1與l2之間的距離為．參考答案：．【分析】利用平行線間的距離公式計算可得．【解答】解：直線l1：x﹣2y﹣2=0即2x﹣4y﹣4=0∴l(xiāng)1與l2間的距離d==．故答案為：．15.已知sin(－α)－cosα=，則cos(2α+)=

．參考答案：

【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡，得出sin（α+）的值，再利用二倍角公式求出的值．【解答】解：∵，∴sincosα﹣cossinα﹣cosα=﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣；∴=1﹣2sin2（α+）=1﹣2×=．【點評】本題考查了三角恒等變換與二倍角公式的應用問題，是基礎題．16.在平面直角坐標系中，已知點的坐標為，，點滿足，，，則線段在軸上的投影長度的最大值為

．參考答案：點的坐標為，則，又，則三點共線，，則，設與軸夾角為，則在軸上的投影長度為，即線段在軸上的投影長度的最大值為．17.已知不等式的解集為，則的值為________參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知空間幾何體ABCDE中，△BCD與△CDE均為邊長為2的等邊三角形，△ABC為腰長為的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.（1）試在平面BCD內(nèi)作一條直線，使直線上任意一點F與A的連線AF均與平面CDE平行，并給出詳細證明；（2）求直線BE與平面AEC所成角的正弦值.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）如圖所示:取BC和BD的中點H、G，連接HG.HG為所求直線.證明平面AHG||平面CDE，原題即得證；（2）以CD中點O為坐標原點，OD所在直線為x軸，OB所在直線為Y軸，OE所在直線為Z軸,建立空間直角坐標系，利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】如圖所示:取BC和BD的中點H、G，連接HG.HG為所求直線.所以,因為平面平面，,所以，取CD中點O,連接EO,因為平面平面，所以，所以AH||EO,又平面CDE,平面CDE,所以.因為,所以,因為,則，所以直線HG上任意一點與的連線均與平面平行.(2)以CD中點O為坐標原點，OD所在直線為x軸，OB所在直線為Y軸，OE所在直線為Z軸,建立空間直角坐標系.,設所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，考查線面角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19.設數(shù)列滿足，，且.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若表示不超過x的最大整數(shù)，求的值.參考答案：解：（1）構(gòu)造，則，由題意可得，故數(shù)列是4為首項2為公差的等差數(shù)列，故，故，，，以上個式子相加可得（2），∴∴則. 20.已知橢圓C的標準方程為：+=1（a＞b＞0），該橢圓經(jīng)過點P（1，），且離心率為． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）過橢圓：+=1（a＞b＞0）長軸上任意一點S（s，0），（﹣a＜s＜a）作兩條互相垂直的弦AB、CD．若弦AB、CD的中點分別為M、N，證明：直線MN恒過定點． 參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題． 【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題． 【分析】（Ⅰ）由已知條件推導出，e=，由此能求出橢圓方程． （Ⅱ）設直線AB的方程為x=my+s，m≠0，則直線CD的方程為x=﹣，聯(lián)立，得M（），將M的坐標中的m用﹣代換，得CD的中點N（），從而得到直線MN的方程為x﹣y=，由此能證明直線MN經(jīng)過定點（）． 【解答】（Ⅰ）解：∵點P（1，）在橢圓上，∴， 又∵離心率為，∴e=，∴a=2c， ∴4a2﹣4b2=a2，解得a2=4，b2=3， ∴橢圓方程為． （Ⅱ）證明：設直線AB的方程為x=my+s，m≠0， 則直線CD的方程為x=﹣， 聯(lián)立，得（3m2+4）y2+6smy+3s2﹣12=0， 設A（x1，y1），B（x2，y2），則，， ∴x1+x2=（my1+s）（my2+s） =m2y1y2+ms（y1+y2）+s2 =， 由中點坐標公式得M（，﹣）， 將M的坐標中的m用﹣代換，得CD的中點N（，），…（9分） ∴直線MN的方程為x﹣y=，m≠±1， 令y=0得：x=， ∴直線MN經(jīng)過定點（）， 當m=0，±1時，直線MN也經(jīng)過定點（）， 綜上所述，直線MN經(jīng)過定點（）． 【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，注意直線方程、韋達定理等知識點的合理運用． 21.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，，，．（1）求證：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求的長．參考答案：（1）見解析；（2）．（1）取的中點，的中點，連接，，．由已知得，四邊形是梯形，，．∴，∴，又∵，∴，且，∴平面，∴，由已知得，∴，又與相交，∴平面，∴，又∵，∴，∴平面且平面，∴平面平面．（2）設，則，，解得，又∵，且，∴，從而．22.已知橢圓E：的離心率為，其右焦點為F（1，0）．（1）求橢圓E的方程；（2）若P、Q、M、N四點都在橢圓E上，已知與共線，與共線，且=0，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值．參考答案：【考點】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由c=1，由橢圓的離心率公式即可求得a和b的值，即可求得橢圓的方程；（2）設直線PQ的方程為y=k（x﹣1），代入橢圓方程，求得丨PQ丨，由PQ⊥MN，將﹣代入丨PQ丨，求得丨MN丨，則S=丨PQ丨丨MN丨，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形PMQN的面積的最小值和最大值．【解答】解：（1）由橢圓的離心率公式可知：e==，由c=1，則a=，b2=a2﹣c2=1，故橢圓方程為；…（4分）（2）如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F（1，0），且PQ⊥MN，設直線PQ的斜率為k（k≠0），則PQ的方程為y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x1，y1），則，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x1=，x1x2=，則丨PQ丨=?，于是，…（