山西省朔州市雁杰中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省朔州市雁杰中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,為拋物線上一點(diǎn),且在第一象限,點(diǎn),線段與拋物線交于點(diǎn),若的斜率為,則A.

B. C.

D.參考答案：A2.若互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，ca,ab,bc成等比數(shù)列，且（

）

A．－8

B．4

C．－4

D．8參考答案：答案：D3.設(shè)是定義在R上的函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D略4.已知tanx=，則sin2（+x）=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】二倍角的正弦．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用半角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，則sin2（+x）===+=+=+=，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，半角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x﹣1），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x2，則關(guān)于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上根的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；抽象函數(shù)及其應(yīng)用．

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】關(guān)于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=f（x）和y=|x|的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，可得答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x﹣1），即f（x+2）=f（x），故函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又由函數(shù)f（x）為定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x2，故在[﹣1，2]上，函數(shù)y=f（x）和y=|x|的圖象如下所示：由圖可知：兩個(gè)函數(shù)的圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，故關(guān)于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上有4個(gè)根，故選B．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．6.已知集合（

）A． B． C． D．參考答案：B略7.若，則（

）A．2

B．

C．32

D．

參考答案：D8.現(xiàn)有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何兩位男生和任何兩位女生均不能相鄰，且男生甲和女生乙必須相鄰，則這樣的排法總數(shù)是

（

）A．20

B．40

C．60

D．80參考答案：B9.（08年全國卷Ⅰ文）的展開式中的系數(shù)為（

）A．10

B．5

C．

D．1參考答案：【解析】C本題主要考查了利用待定系數(shù)法或生成法求二項(xiàng)式子中指定項(xiàng)。含項(xiàng)為，所以答案為C．10.如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位長度:cm),則此幾何體的表面積是(

)A.

B.21

C.

D.24參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)的圖象過定點(diǎn)，則=

.參考答案：2略12.若復(fù)數(shù)（2﹣i）（a+2i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義即可得出．【解答】解：∵復(fù)數(shù)（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i是純虛數(shù)，∴2a+2=0，4﹣a≠0，解得a=﹣1．故答案為：﹣1．13.（理科）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，圓C的參數(shù)方程為．直線被圓截得的弦長

參考答案：1614.已知函數(shù),在上有定義．對任意有且．若，則__________參考答案：115.已知一個(gè)圓錐的底面積為2π，側(cè)面積為4π，則該圓錐的體積為．參考答案：【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；立體幾何．【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由圓柱的側(cè)面積、圓面積公式列出方程組求解，代入柱體的體積公式求解．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則，解得，所以高，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查圓柱的側(cè)面積、體積公式，以及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．16.某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位:分鐘)分別為,已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,則其方差為___________.參考答案：217.角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2sin60°，2cos30°），則sinα=．參考答案：【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sinα的值．【解答】解：∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2sin60°，2cos30°），∴x=﹣2sin60°=﹣，y=2cos30°=，∴r=|OP|=，則sinα===，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為：與曲線C交于A，B兩點(diǎn).（1）求曲線C的普通方程和極坐標(biāo)方程；（2）若成等比數(shù)列，求直線l的斜率.參考答案：（1），；（2）或【分析】（1）利用三角函數(shù)知識消去參數(shù)，得到普通方程.把普通方程利用極坐標(biāo)公式代入得到極坐標(biāo)方程.(2)將代入極坐標(biāo)方程,利用韋達(dá)定理得到長度關(guān)系式,代入成等比數(shù)列的等式,得到三角等式,利用齊次式解得斜率.【詳解】解：（1）則(2)當(dāng)時(shí),,OA,OB對應(yīng)方程的兩個(gè)解即成等比數(shù)列即代入驗(yàn)證均滿足所以答案為【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,極坐標(biāo)方程的幾何意義,利用韋達(dá)定理和齊次式方程來解答,題目綜合性強(qiáng),計(jì)算要求高,是一道中檔難度的題目.19.(本小題滿分12分)已知橢圓分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，c為半焦距，P為直線x=2上一點(diǎn)．直線PF1，PF2與圓的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為,MN兩點(diǎn)．(I)橢圓上是否存在一點(diǎn)Q，使得?

若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在,請說明理由；(II)求證：直線MN恒過一定點(diǎn)．參考答案：20.如圖（1）是一個(gè)水平放置的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是棱BC的中點(diǎn)．正三棱柱的正（主）視圖如圖（2）（Ⅰ）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積；（Ⅱ）證明：A1B∥面ADC1；（Ⅲ）（文科做）圖（1）中垂直于平面BCC1B1的平面有哪幾個(gè)？（直接寫出符合要求的平面即可，不必說明或證明）（Ⅲ）（理科做）求二面角A1﹣DC1﹣A的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（I）直接求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC的面積，求出高AA1，即可求出體積；（II）連接A1C，證明A1B平行平面ADC1內(nèi)的直線DE，即可證明A1B∥平面ADC1．（Ⅲ）（文科做）通過直線與平面垂直，說明平面與平面垂直，直接列舉出圖（1）中垂直于平面BCC1B1的平面即可；（Ⅲ）（理科做）利用二面角A1﹣DC1﹣A的余弦值為，即可求得二面角A1﹣DC1﹣A的正弦值．【解答】（I）解：依題意，在正三棱柱中，AD=，AA1=3，從而AB=2，AA1⊥平面ABC，所以正三棱柱的體積V=Sh=×AB×AD×AA1=×2××3=3．（II）證明：連接A1C，設(shè)A1C∩AC1=E，連接DE，因?yàn)锳A1C1C是正三棱柱的側(cè)面，所以AA1C1C是矩形，E是A1C的中點(diǎn)，所以DE是△A1BC的中位線，DE∥A1B，因?yàn)镈E?平面ADC1，A1B?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）（文科做）解：AD垂直平面BCC1B1，AD?平面ABC、平面ABC∥平面A1B1C1、AD?平面AC1D所以垂直于平面BCC1B1的平面有：平面ABC、平面A1B1C1、平面AC1D；（Ⅲ）（理科做）解：△ADC1中，AD=，DC1=，AC1=，∴==△A1DC1中，DC1=，A1C1=2，A1D=2，∴cos∠A1DC1==∴sin∠A1DC1==∴==∴二面角A1﹣DC1﹣A的余弦值為==∴二面角A1﹣DC1﹣A的正弦值為．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是棱柱的體積公式，線面平行的判斷，考查面面角．其中熟練掌握棱柱的幾何特征，掌握線面關(guān)于的判定定理，是解答本題的關(guān)鍵．21.（本小題滿分13分）某人隨機(jī)地將編號為1,2,3,4的四個(gè)小球放入編號為1,2,3,4的四個(gè)盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，全部放完.（I）求編號為奇數(shù)的小球放入到編號為奇數(shù)的盒子中的概率；（II）當(dāng)一個(gè)小球放到其中一個(gè)盒子時(shí)，若球的編號與盒子的編號相同時(shí)，稱該球是“放對”的，否則稱該球是“放錯(cuò)”的，求至多有2個(gè)球“放對”的概率.參考答案：略22.（本小題滿分12分）已知拋物線上點(diǎn)P處的切線方程為．

（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)和為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中且，線段AB的垂直平分線l與y軸交于點(diǎn)T，求△ABT面積的最大值．參考答案：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由得，求導(dǎo)，因?yàn)橹本€的斜率為-1，所以且，解得，所以拋物線的方程為．

………4分[來源:Z-x-x-k.Com](說明：也可將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，由解得）（Ⅱ）設(shè)線段中點(diǎn)，則，∴直線的方程為，即，過定點(diǎn)