應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程講義一

應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程講義一第一頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日學(xué)習(xí)要求不僅是掌握知識(shí)，更重要的是掌握思想學(xué)會(huì)把抽象的概率和實(shí)際模型結(jié)合起來(lái)第二頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日學(xué)習(xí)重點(diǎn)用隨機(jī)變量表示事件及其分解——基本理論全概率公式——基本技巧數(shù)學(xué)期望和條件數(shù)學(xué)期望——基本概念第三頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第一講

第四頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)試驗(yàn)第五頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日要點(diǎn)：在相同條件下，試驗(yàn)可重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的一切結(jié)果是預(yù)先可以明確的，但每次試驗(yàn)前無(wú)法預(yù)先斷言究竟會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。第六頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日樣本點(diǎn)

對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E，以ω表示它的一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果，稱ω為E的一個(gè)樣本點(diǎn)。

樣本空間

樣本點(diǎn)的全體稱為樣本空間，用Ω表示。Ω＝{ω}第七頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)事件粗略地說(shuō)，樣本空間Ω的子集就是隨機(jī)事件，用大寫英文字母A、B、C等來(lái)表示。

事件的關(guān)系與運(yùn)算

第八頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第九頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第十頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日示性函數(shù)是最簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量用隨機(jī)變量來(lái)表示事件第十一頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日用示性函數(shù)的關(guān)系及運(yùn)算來(lái)表示相關(guān)事件的關(guān)系及運(yùn)算第十二頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日公理化定義集類第十三頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第十四頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日概率第十五頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第十六頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第十七頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日概率是滿足非負(fù)性；歸一性；可列可加性；的集函數(shù)?？蓽y(cè)集粗略地說(shuō)，可以定義長(zhǎng)度（面積、體積）的點(diǎn)集即為可測(cè)集；反之稱為不可測(cè)集。第十八頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日概率的性質(zhì)1.

2.3.有限可加性

第十九頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日4.

5.6.

第二十頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日7.8.可列次可加性9.概率連續(xù)性第二十一頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日這部分的詳細(xì)討論可以參見(jiàn)

《隨機(jī)數(shù)學(xué)引論》

林元烈，清華大學(xué)出版社第二十二頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日Buffon試驗(yàn)：最早用隨機(jī)試驗(yàn)的方法求某個(gè)未知的數(shù)。測(cè)度：滿足非負(fù)性、可列可加性的集函數(shù)。第二十三頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)際上，設(shè)集類以上集類和A生成相同的σ-代數(shù),都是上面提到的一維Borelσ-代數(shù)，即第二十五頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日直觀地說(shuō)，中包含一切開區(qū)間，閉區(qū)間，半開半閉區(qū)間，半閉半開區(qū)間，單個(gè)實(shí)數(shù)，以及由它們經(jīng)可列次并交運(yùn)算而得出的集類。第二十六頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日

第二十八頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第二十九頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第三十頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日事件的獨(dú)立性第三十一頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日

幾個(gè)事件的獨(dú)立性第三十二頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第三十三頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第三十四頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第三十五頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日比較甲乙兩人的結(jié)果，從以上結(jié)果可以得到什么結(jié)論？第三十六頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日機(jī)遇偏愛(ài)有心人！第三十七頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日

一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事件；但重復(fù)次數(shù)足夠多，如n=400，至少一次成功就是大概率事件！

第三十八頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日只要功夫深，鐵杵磨成針！第三十九頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)變量定義解釋第四十頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日離散型隨機(jī)變量的示性函數(shù)表示法

這說(shuō)明對(duì)于任一.，總可以分解為互不交的事件的示性函數(shù)的迭加。第四十一頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)變量等價(jià)定義分布函數(shù)第四十二頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)微元法求概率密度函數(shù)第四十三頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維Borel-σ代數(shù)由平面上矩形的全體生成的σ－代數(shù)第四十四頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日聯(lián)合密度函數(shù)亦可用微元法求第四十五頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日常用隨機(jī)變量的分布（列出,期望方差）兩點(diǎn)分布正態(tài)分布二項(xiàng)分布指數(shù)分布Poisson分布均勻分布幾何分布二維正態(tài)分布第四十六頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日兩點(diǎn)分布若只取1和0兩個(gè)值，且則稱服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布。簡(jiǎn)記為：X~B(1,p).即EX=p,DX=p(1-p)第四十七頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p2第四十八頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日EX=λ,DX=λEX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/12第四十九頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日EX=1/λ,DX=1/λ2EX=μ,DX=σ2第五十頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日二維正態(tài)分布的優(yōu)良性質(zhì)

X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)第五十一頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)變量的數(shù)字特征及條件數(shù)學(xué)期望第五十二頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)期望（復(fù)習(xí)）

“加權(quán)平均”為了引出一般隨機(jī)變量的定義，我們先介紹R-S積分的概念。第五十三頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日黎曼－斯蒂爾吉斯積分第五十四頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日任分任取求和取極限第五十五頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第五十六頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日在定義了R-S積分之后，我們可以將所有隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望形式進(jìn)行統(tǒng)一。第五十七頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第五十八頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（E|Xi|<∞）第五十九頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日

交換求和順序第六十頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日同理，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量有相似的結(jié)論成立第六十一頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第六十二頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第六十三頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第六十四頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第六十五頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日Chebyshev不等式第六十六頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日

條件數(shù)學(xué)期望第六十七頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第六十八頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第六十九頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日用示性函數(shù)的線性組合表示離散型隨機(jī)變量（見(jiàn)前面“隨機(jī)變量”部分）第七十頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日例：將概率運(yùn)算納入求期望運(yùn)算的范疇第七十一頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日理解E(X|Y)是ω的函數(shù)，也是Y(ω)的函數(shù)，即Y(ω)取值不同，E(X|Y)也取相應(yīng)的值；當(dāng)Y是離散型隨機(jī)變量時(shí)，E(X|Y)也是離散型隨機(jī)變量。第七十二頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第七十三頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日推廣至一般隨機(jī)變量第七十四頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日將x替換成X第七十五頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日求條件數(shù)學(xué)期望的一般步驟先寫出固定條件(如Y=yj)的情況下X的條件分布律或條件密度函數(shù)；根據(jù)條件數(shù)學(xué)期望的定義，通過(guò)求和或積分得到條件下的數(shù)學(xué)期望；將條件(Y=yj)替換成一般情況下的隨機(jī)變量(Y)第七十六頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，則(重要!)全期望公式第七十七頁(yè)，共八十二頁(yè)，2022年，8月28日第七十八頁(yè)，共八十