山西省運(yùn)城市中學(xué)北校2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

山西省運(yùn)城市中學(xué)北校2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么滿足的整數(shù)（

）

A.有3個(gè)

B.有2個(gè)

C.有1個(gè)

D.不存在參考答案：B2.在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，在驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，等式左邊為A.1

B.

C.

D.

參考答案：C3.如圖，為的直徑，弦，交于點(diǎn)，若，則

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D連結(jié)，則，又，從而，所以，故選D．4.用“更相減損術(shù)”求98和63的最大公約數(shù)，要做減法的次數(shù)是（

）

A.3次 B.

4次 C.

5次

D.

6次參考答案：D5.已知函數(shù)，且，則a=（

）A. B. C.3 D.參考答案：B【分析】求導(dǎo)，帶入導(dǎo)函數(shù)解得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6.F1（﹣4，0）、F2（4，0）為兩個(gè)定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，若|PF1|+|PF2|=8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（）A．橢圓 B．直線 C．射線 D．線段參考答案：D【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】利用：|PF1|+|PF2|=|F1F2|，即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．【解答】解：F1，F(xiàn)2為平面上兩個(gè)不同定點(diǎn)，|F1F2|=8，動(dòng)點(diǎn)P滿足：|PF1|+|PF2|=8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的線段．故選：D．7.展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A.40 B.－40 C.80 D.－80參考答案：D【分析】由二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，賦值即可求出?！驹斀狻空归_(kāi)式的通項(xiàng)公式是令，所以系數(shù)為，故選。【點(diǎn)睛】本題主要考查如何求二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)。8.已知直線a∥平面α，直線b?平面α，則（）A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)與b異面 C．a(chǎn)與b相交 D．a(chǎn)與b無(wú)公共點(diǎn)參考答案：D【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】閱讀型．【分析】根據(jù)空間直線與平面平行的定義，判斷直線與平面內(nèi)的直線有平行與異面兩種位置關(guān)系，從而判定答案．【解答】解：∵a∥平面α，b?α，∴直線a與直線b的位置關(guān)系是：a∥b或a與b異面，∴選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，D正確．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線與平面之間的位置關(guān)系．9.直線y=與圓心為D的圓交與A、B兩點(diǎn)，則直線AD與BD的傾斜角之和為

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C略10.若點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的兩焦點(diǎn)，且∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是(

)A．2 B．1 C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由橢圓的定義可得m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得m2+n2=4②，由①②可得m?n的值，利用△F1PF2的面積是m?n求得結(jié)果．【解答】解：由橢圓的方程可得a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n，由橢圓的定義可得m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4②，由①②可得m?n=2，∴△F1PF2的面積是m?n=1，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和定義，以及勾股定理的應(yīng)用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）①命題“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x3+1＞0”．②雙曲線﹣=1（a＞0，a＞0）中，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，點(diǎn)B（0，b）且=0，則此雙曲線的離心率為．③在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊為a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，則a、c、b成等比數(shù)列．④已知，是夾角為120°的單位向量，則向量λ+與﹣2垂直的充要條件是λ=．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】綜合題．【分析】①利用命題的否定，即可判斷其真假；②利用雙曲線的離心率的性質(zhì)可判斷其正誤，③將cosB=﹣cos（A+C）代入已知，整理可得sinAsinC=sin2B，再利用正弦定理可判斷③的正誤；④利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量垂直的性質(zhì)可判斷其正誤．【解答】解：①命題“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x0∈R，使得+1≥0”，故①錯(cuò)誤；②，依題意，F(xiàn)（c，0），A（﹣a，0），∵點(diǎn)B（0，b），∴=（a，b），=（c，﹣b），∵?=0，∴ac﹣b2=0，而b2=c2﹣a2，∴c2﹣ac﹣a2=0，兩端同除以a2得：e2﹣e﹣1=0，解得e=或e=（舍去），故②正確；③，在△ABC中，∵A+B+C=180°，∴cosB=﹣cos（A+C），∴原式化為：cos2B﹣cos（A+C）+cos（A﹣C）=1，∴cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1﹣cos2B，∵cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC，1﹣cos2B=2sin2B，∴sinAsinC=sin2B，由正弦定理得：b2=ac，故③a、c、b成等比數(shù)列錯(cuò)誤；④，∵，是夾角為120°的單位向量，∴（λ+）⊥（﹣2）?（λ+）?（﹣2）=0?λ﹣2+（1﹣2λ）?=0?λ﹣2+（1﹣2λ）×1×1×（﹣）=0?2λ﹣2﹣=0，∴λ=．故④正確；綜上所述，正確命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查命題的否定，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查余弦定理與正弦定理的綜合應(yīng)用，考查雙曲線的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，屬于難題．12.數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，...的第15項(xiàng)是

▲

．參考答案：5略13.2014年6月13日世界杯足球賽在巴西舉辦，東道主巴西隊(duì)被分在A組，在小組賽中，該隊(duì)共參加3場(chǎng)比賽，比賽規(guī)定勝一場(chǎng)，積3分；平一場(chǎng)，積1分；負(fù)一場(chǎng)，積0分．若巴西隊(duì)每場(chǎng)勝、平、負(fù)的概率分別為0.5，0.3，0.2，則該隊(duì)積分不少于6分的概率為_(kāi)________．參考答案：14.已知△ABC中，，試用、的向量運(yùn)算式子表示△ABC的面積，即S△ABC=____________________.參考答案：15.已知，則=

.參考答案：16.設(shè)隨機(jī)變量,則

.參考答案：略17.正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，則四邊形的面積的取值范圍是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若點(diǎn)在線段上，且，求三棱錐的體積.參考答案：（Ⅰ）在直角梯形中，，，∴，，在中，由勾股定理的逆定理知，是直角三角形，且，……………………2分又底面，∴，…………………4分∵，，，∴平面.………………6分（Ⅱ），……………8分∵，∴，……………10分∴.……………12分19.(本小題滿分12分)一次數(shù)學(xué)模擬考試,共12道選擇題,每題5分,共計(jì)60分,每道題有四個(gè)可供選擇的答案,僅有一個(gè)/是正確的.學(xué)生甲只能確定其中10道題的正確答案,其余2道題完全靠猜測(cè)回答.學(xué)生甲所在班級(jí)共有40人,此次考試選擇題得分情況統(tǒng)計(jì)表如下:得分(分)4045505560百分率15%10%25%40%10%

現(xiàn)采用分層抽樣的方法從此班抽取20人的試卷進(jìn)行選擇題質(zhì)量分析.（1）應(yīng)抽取多少?gòu)堖x擇題得60分的試卷?（2）求學(xué)生甲得60分的概率；（3）若學(xué)生甲選擇題得60分,求他的試卷被抽到的概率.參考答案：（1）得60分的人數(shù)為40×10%=4.設(shè)抽取x張選擇題得60分的試卷,則，x=2,故應(yīng)抽取2張選擇題得60分的試卷…4分（2）其余兩道題每道題答對(duì)的概率為，兩道同時(shí)答對(duì)的概率為，所以學(xué)生甲得60分的概率為?！?分（3）設(shè)學(xué)生甲的試卷為a1,另三名得60分的同學(xué)的試卷為a2,a3,a4,所有抽取60分試卷的方法為:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4)共6種,其中小張的試卷被抽到的抽法共有3種,故小張的試卷被抽到的概率為P=…………12分20.（本小題滿分12分）已知橢圓：的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)和軸不重合的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，最小值為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若圓:的切線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)不相等時(shí)，問(wèn)：與是否垂直？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：（Ⅰ）設(shè)AB()F(c,0)則-----------------------------------------1分所以有橢圓E的方程為-----------------5分（Ⅱ）由題設(shè)條件可知直線的斜率存在，設(shè)直線L的方程為y=kx+mL與圓相切，∴∴-----------------7分L的方程為y=kx+m代入中得：令，①

②③--------------------10分∴------------------------------------------------------12分21.（本小題滿分12分）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，△為正三角形，現(xiàn)將△沿向上折起，折起后的點(diǎn)記為，且，連接．（Ⅰ）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．參考答案：（Ⅰ）連接，交于點(diǎn)，連接、，∵為菱形，∴為中點(diǎn)又∵E為的中點(diǎn)，∴又平面，平面∴平面.（Ⅱ）在△內(nèi)，過(guò)作于H，在菱形中，，又△沿折起,∴………7分∵

∴平面

∴又，∴平面

∵，∴∴＝＝22.兩城市A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩城市外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為xkm，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065．（1）將y表示成x的函數(shù)；（2）判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1）根據(jù)“垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，”建立函數(shù)模型：，再