山西省陽泉市長池鎮(zhèn)第二中學(xué)2018年高一數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

山西省陽泉市長池鎮(zhèn)第二中學(xué)2018年高一數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的圖象是（

）

A

B

C

D參考答案：C2.已知向量、，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，則向量和的夾角是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【分析】利用向量垂直的數(shù)量積為0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的數(shù)量積公式將方程用模與夾角表示求出夾角．【解答】解：設(shè)兩個向量的夾角為θ∵∴∴即∴∵θ∈[0，π]∴故選A【點評】本題考查向量垂直的充要條件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查向量的數(shù)量積公式．3.在函數(shù)、、、中，最小正周期為的函數(shù)的個數(shù)為（

）

A．個

B．個

C．個 D．個

參考答案：C略4.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的遞減區(qū)間是()A．

B．

C．

D．

參考答案：C5.平面內(nèi)已知向量，若向量與方向相反，且，則向量=（）A．（2，﹣4） B．（﹣4，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）參考答案：B【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】利用向量共線且方向相反設(shè)=x，x＜0，結(jié)合長度關(guān)系進行求解即可．【解答】解：∵向量與方向相反，∴=x，x＜0，∵，∴=|x|||=|x|，則|x|=2，x=﹣2，即=x=﹣2=﹣2（2，﹣1）=（﹣4，2），故選：B6.已知集合,,則

（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B7.已知函數(shù)（），則（

）A．f(x)的最大值為2

B．f(x)的最大值為3C．f(x)的最小值為2

D．f(x)的最小值為3參考答案：D8.從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.“至少有一個黑球”與“都是黑球” B.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球” D.“至少有一個黑球”與“都是紅球”參考答案：C分析：利用對立事件、互斥事件的定義求解．詳解：從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，在A中，“至少有一個黑球”與“都是黑球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；在B中，“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；在C中，“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，故C正確；在D中，“至少有一個黑球”與“都是紅球”是對立事件，故D錯誤．故答案為：C點睛：（1）本題主要考查互斥事件和對立事件的定義，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次試驗中，不可能同時發(fā)生的兩個事件，對立事件指的是在一次試驗中，不可能同時發(fā)生的兩個事件，且在一次試驗中，必有一個發(fā)生的兩個事件.注意理解它們的區(qū)別和聯(lián)系.9.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若，，，則c=()A. B.2 C. D.1參考答案：B,所以，整理得求得或若，則三角形為等腰三角形，不滿足內(nèi)角和定理，排除.【考點定位】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查運算能力和分類討論思想.當(dāng)求出后，要及時判斷出，便于三角形的初步定型，也為排除提供了依據(jù).如果選擇支中同時給出了或，會增大出錯率.10.若直線ax+by+c=0經(jīng)過一、三、四象限，則有（） A．a(chǎn)b＞0，bc＞0 B．a(chǎn)b＞0，bc＜0 C．a(chǎn)b＜0，bc＞0 D．a(chǎn)b＜0，bc＜0參考答案：C【考點】直線的一般式方程． 【專題】函數(shù)思想；綜合法；直線與圓． 【分析】根據(jù)一次函數(shù)所在象限，判斷出a、b、c的符號即可． 【解答】解：∵直線ax+by+c=0經(jīng)過一、三、四象限， ∴，即ab＜0，bc＞0， 故選：C． 【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題． 二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合A是由偶數(shù)組成的，集合B是由奇數(shù)組成的，若a∈A，b∈B，則a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“?”)參考答案：?∈解析：因為a是偶數(shù)，b是奇數(shù)，所以a＋b是奇數(shù)，ab是偶數(shù)，故a＋b?A，ab∈A.12.________。參考答案：略13.已知點A(－1，1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為

.參考答案：由題意得，所以，所以向量在方向上的投影為．

14.對一切正整數(shù),不等式恒成立，則實數(shù)的范圍是

．參考答案：15.已知，則的值為______________.參考答案：略16.已知，，則等于

.參考答案：略17.某單位200名職工的年齡分布情況如圖2，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機按1－200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應(yīng)是

．若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取

人.

圖2參考答案：37,

20略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分9分)設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，且，，數(shù)列的前項和為，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．參考答案：

（2）19.(2010·福建)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t時與輪船相遇．(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．參考答案：方法一(1)如圖(1)，設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則S＝＝＝.故當(dāng)t＝時，Smin＝10，此時v＝＝30.即小艇以30海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。?2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則v2t2＝400＋900t2－2×20×30t×cos(90°－30°)，故v2＝900－＋.

∵0<v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.

又t＝時，v＝30.故v＝30時，t取得最小值，且最小值為.此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇．方法二(1)若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向．設(shè)小艇與輪船在C處相遇(如圖(2)．在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝10，AC＝20sin30°＝10.又AC＝30t，OC＝vt.此時，輪船航行時間t＝＝，v＝＝30.即小艇以30海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。?/p>

(2)猜想v＝30時，小艇能以最短時間與輪船在D處相遇，此時AD＝DO＝30t.又∠OAD＝60°，∴AD＝DO＝OA＝20，解得t＝.據(jù)此可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度的大小為30海里/時．這樣，小艇能以最短時間與輪船相遇．證明如下：如圖(3)，由(1)得OC＝10，AC＝10，故OC>AC，且對于線段AC上的任意點P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，故小艇與輪船不可能在A，C之間(包含C)的任意位置相遇．設(shè)∠COD＝θ(0°<θ<90°)，則在Rt△COD中，CD＝10tanθ，OD＝.由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為t＝和t＝，∴＝.由此可得，v＝.又v≤30，故sin(θ＋30°)≥.

從而，30°≤θ＜90°.由于θ＝30°時，tanθ取得最小值，且最小值為.于是，當(dāng)θ＝30°時，t＝取得最小值，且最小值為.方法三(1)同方法一或方法二．(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇．依據(jù)題意得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，(v2－900)t2＋600t－400＝0.①若0<v<30，則由Δ＝360000＋1600(v2－900)＝1600(v2－675)≥0，得v≥15.從而，t＝，v∈[15，30)．當(dāng)t＝時，令x＝，則x∈[0,15)，t＝＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，即v＝15時等號成立．當(dāng)t＝時，同理可得<t≤.綜上得，當(dāng)v∈[15，30)時，t>.②若v＝30，則t＝.綜合①②可知，當(dāng)v＝30時，t取最小值，且最小值等于.此時，在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20，故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇．20.已知；（1）求tanθ的值；（2）求sin2θ+3sinθcosθ的值．參考答案：【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值；三角函數(shù)的化簡求值．【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得tanθ的值．（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得sin2θ+3sinθcosθ的值．【解答】解：（1）由，可得，分子分母同除以得cosθ，求得tanθ=1．（2）．21.設(shè)是R上的偶函數(shù)．（I）求實數(shù)的值；（II）用定義證明：在上為增函數(shù)．參考答案：解：（I）對任意的R，R，所以，即，

又是偶函數(shù)，所以，

即，

所