第4章 立體投影及其表面交線

第4章立體及表面交線4.1平面立體4.2曲面立體4.3平面與立體相交4.4兩曲面立體相交下一頁(yè)返回目錄基本體

按照一定規(guī)則形成的簡(jiǎn)單立體稱為基本體，基本體分為平面立體和曲面立體兩類。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.1平面立體4.1.1棱柱4.1.2棱錐

表面均為平面構(gòu)成的立體稱為平面立體，平面立體上相鄰兩表面的交線稱為棱線。常見的平面立體有棱柱、棱錐和棱臺(tái)等。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.1.1棱柱

由兩個(gè)底面和若干棱面組成。棱面與棱面的交線叫棱線，棱線相互平行。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄5（1）棱柱的投影上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄(1)棱柱的投影上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄7aa（a）(2)棱柱表面上取點(diǎn)(b）bb上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.1.2.棱錐

由一個(gè)底面和幾個(gè)棱面組成。棱線交于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)——錐頂。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄(1)棱錐的投影上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄sBasacbcsbCASb”(c”)a”(1)棱錐的投影上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄ssaacbb(c)csba111rr(2)棱錐表面上取點(diǎn)上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄sb(c)saacbcsba222(2)棱錐表面上取點(diǎn)上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄3ssaacbb(c）csba(3)3(2)棱錐表面上取點(diǎn)上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.2曲面立體

表面由曲面或曲面和平面構(gòu)成的立體稱為曲面立體，常見的曲面立體有圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)等。

曲面可看作由一條母線按一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)所形成，運(yùn)動(dòng)的線稱為母線，而曲面上任一位置的母線稱為素線。母線繞軸線旋轉(zhuǎn)，則形成回轉(zhuǎn)面。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.2.1圓柱

圓柱由圓柱面、頂面、底面所圍成。圓柱面可看作直線繞與它相平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。

上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄(1)圓柱的投影上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄(2)圓柱表面上取點(diǎn)()()A(D)CBc上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.2.2圓錐

圓錐由圓錐面、底面所圍成。圓錐面可看作直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄(1)圓錐的投影上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄(2)圓錐表面上取點(diǎn)(2’)22上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.2.3圓球

圓球是由球面圍成的。球面可看作圓繞其直徑為軸線旋轉(zhuǎn)而成。

上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄(1)圓球的投影上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄(2)圓球表面上取點(diǎn)上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.2.4圓環(huán)

圓環(huán)是由圓環(huán)面圍成的。圓環(huán)面可看作圓繞不通過圓心但在同一平面上的軸線旋轉(zhuǎn)而成。

上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄(1)圓環(huán)的投影上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄(2)圓環(huán)表面上取點(diǎn)上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.3平面與立體相交4.3.2平面與平面立體相交4.3.3平面與曲面立體相交4.3.1截交線的性質(zhì)上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.3.1截交線的性質(zhì)

平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平面稱為截平面。截交線是截平面和立體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)是截平面與立體表面上的共有點(diǎn)，它既在截平面上又在立體表面上。由于任何立體都有一定的空間范圍，所以截交線一定是封閉的線條，通常是一條平面曲線或者是由曲線和直線組成的平面圖形或多邊形。截平面截交線上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.3.2平面與平面立體相交

由于平面立體是由平面圍成的,截交線是封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與平面立體表面的交線。求截交線的問題可以簡(jiǎn)化為求平面與平面的交線問題，進(jìn)而簡(jiǎn)化為求直線與平面交點(diǎn)的問題。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄例求四棱柱斜切后的截交線。y【例】

完成被截切六棱柱的俯視圖和左視圖。4123561′4′1″2″3″4″5″6″3(5)2(6)作圖步驟：2.作出被正垂面截切后的截交線投影?？上惹蟪隽鶄€(gè)頂點(diǎn)的投影，然后相鄰兩點(diǎn)連接。3.作出下面兩個(gè)切口處俯視圖及左視圖的投影。1.分析各截交線的形狀。ⅠⅡⅢⅣⅤⅥy【例】

三棱錐被一正垂面截切，求截交線的投影。s’a’b’c’asbcsa(c)bBAⅠⅡⅢ1231yy23123上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄【例】求立體截切后的投影23541116654326ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4（5）2（3）第三節(jié)平面與平面立體相交【例】完成平面截切三棱錐的水平和側(cè)面投影上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄例4求帶切口三棱錐的投影。s'ss"b'c'c"b"a"a'bca1"yyyy14"44'233'2'1'3"2"解題步驟1分析截交線的正面投影已知，水平投影和側(cè)面投影未知；2求出截交線上的折點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；4整理輪廓線。87111"2"10"5"6"9"4"3"961（3）2（4）1057"11"8"1112910431'（2'）8'（7'）3'（4'）10'（5'）9'（6'）11'【例】求六棱柱截切后的投影4.3.3平面與曲面立體相交

曲面立體截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和直線所圍成的平面圖形或多邊形。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄平面與曲面立體相交一、截交線的性質(zhì)：二、求截交線的方法：1．利用積聚性求截交線。2．利用輔助平面求截交線。

曲面立體截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和直線所圍成的平面圖形或多邊形。三、求截交線的步驟：1．判別原形體的形狀。

2．判別截平面的性質(zhì)。

3．判別所得截交線的形狀。

1）線段——找端點(diǎn)

2）圓或圓弧——找半徑和圓心

3）

曲線——求特殊點(diǎn)（全）；求一般點(diǎn)（夠）

a)輪廓線上的點(diǎn)。b)極限位置點(diǎn)。c)截交線本身的特殊點(diǎn)。4．連線，判別可見性。5．擦除切掉的輪廓線，加粗剩余的輪廓線。1.平面與圓柱相交圓垂直軸線兩平行直線平行軸線橢圓傾斜軸線例求斜切圓柱的截交線。解題步驟1分析截交線的水平投影為圓，側(cè)面投影為橢圓；2求出截交線上的特殊點(diǎn)A、B、C、D；3求出若干個(gè)一般點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ；4并且判別可見性，光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線；5整理輪廓線。特殊點(diǎn)：是指繪制曲線時(shí)有影響的各種點(diǎn)。極限位置點(diǎn)曲線的最高、最低、最前、最后、最左和最右點(diǎn)。轉(zhuǎn)向輪廓點(diǎn)曲線上處于曲面投影轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，它們是區(qū)分曲線可見與不可見部分的分界點(diǎn)。特征點(diǎn)曲線本身具有特征的點(diǎn)，如橢圓長(zhǎng)短軸上四個(gè)端點(diǎn)。結(jié)合點(diǎn)截交線由幾部分不同線段組成時(shí)結(jié)合處的點(diǎn)aa"a'bb'b"cdc"d"BADC12341'(2')3'(4')1"2"3"4"c'(d')圓柱截交線橢圓的趨勢(shì)橢圓的長(zhǎng)、短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的改變而改變。45°什么情況下投影為圓呢?截平面與軸線成45°夾角時(shí)例求切口圓柱的側(cè)面投影。【例】

求截切圓柱的側(cè)面投影。4″3″2″1″ⅠⅡⅢⅣ解題步驟1.分析截交線的水平投影為圓的一部分，側(cè)面投影為矩形2.求出截交線上的特殊點(diǎn)

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ3.順次地連接各點(diǎn)，作出截交線并判別可見性4.整理輪廓線【例】求帶槽圓柱筒的側(cè)面投影。e'

(f'

)d'

(c'

)h'

(g'

)a'

(b'

)f(g)a(d)b(c)e(h)c"

(g")b"

(f")a"

(e")d"

(h")【例】求圓柱切割體的水平投影和側(cè)面投影。ⅥⅤⅣⅢⅠ圓柱切割體(b)投影圖(a)直觀圖7'(8')7"8"7(5)8(6)【例】求截切圓柱的側(cè)面投影。3'31'1(2)2'4'455'3"2"5"1"4"圓柱截交線(1)通孔直線圓曲線2″1″1(2)2′1′通孔圓柱截交線(2)圓柱截交線(3)圓柱截交線(4)2.平面與圓錐相交θ=90°θ＝ααθ＞＞90°0°≤θ＜α過錐頂兩相交直線圓橢圓拋物線雙曲線ααθαθαθ解題步驟例9已知圓錐與正垂面P相交，求截交線的投影。1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2求出截交線上的特殊點(diǎn)；3求出一般點(diǎn)；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。例10求正平面與圓錐的截交線。解題步驟1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實(shí)形；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、ⅡⅢ；3求出一般點(diǎn)ⅣⅤ；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。11'1"2"(3")4"(5")4'5'2'3'2453例11求帶缺口圓錐的水平投影和側(cè)面投影。11’1”2’(3’)2”3”235’(6’)5”6”654’44”例求圓錐被截后的投影。a3.平面與圓球相交平面與圓球相交,截交線為圓上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄例12已知正垂面所截切球的正面投影,求其余兩面投影。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄例補(bǔ)全帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄分析并想象出圓球穿孔后的投影。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.平面與組合回轉(zhuǎn)體相交

首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成的以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.4兩曲面立體相交4.4.1相貫線的性質(zhì)4.4.2相貫線的作圖方法4.4.3相貫線的特殊情況4.4.4組合相貫線上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.4.1相貫線的性質(zhì)兩曲面立體相交稱作相貫。其表面產(chǎn)生的交線稱為相貫線。

上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄一、相貫線的性質(zhì)：二、求相貫線的方法：相貫線在一般情況下是封閉的空間曲線（一條或兩條），特殊情況下是平面曲線或線段。相貫線是兩立體的共有線，也是兩立體表面的分界線，相貫線上的點(diǎn)是兩曲面立體的共有點(diǎn)。1.利用形體投影的積聚性求相貫線。2.利用輔助平面求相貫線（三面共點(diǎn)）。3.利用輔助球面求相貫線（不做要求）。相貫體相貫線相貫線性質(zhì)圖例上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄4.4.2相貫線的作圖方法1.表面取點(diǎn)法

當(dāng)相貫的兩立體表面的某一投影具有積聚性時(shí)，相貫線的一個(gè)投影必積聚在這個(gè)投影上，相貫線的其余投影可按著曲面立體表面取點(diǎn)的方法求出,這種求作相貫線的方法稱為表面取點(diǎn)法。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄

（1）分析首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對(duì)大小和相對(duì)位置，然后分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況分析兩曲面立體對(duì)投影面的相對(duì)位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性。分析相貫線哪個(gè)投影已知的，哪個(gè)投影是要求作的。

（2）求特殊點(diǎn)

相貫線上的特殊點(diǎn)包括極限位置點(diǎn)、輪廓轉(zhuǎn)向點(diǎn)、曲線特征點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)四種。

（3）求一般點(diǎn)根據(jù)需要求出若干個(gè)一般點(diǎn)。

（4）判別可見性

當(dāng)相貫線上的點(diǎn)同時(shí)處于兩立體表面的可見部分時(shí)這些點(diǎn)才可見，否則不可見。

（5）完成相貫線

順次光滑連接各點(diǎn)，作出相貫線。補(bǔ)全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄表面取點(diǎn)法求作相貫線的一般步驟例1已知兩圓柱的三面投影,求作其相貫線的投影。yyyyded'e'a'c'b'a"b"c"d"e"bac分析求特殊點(diǎn)求一般點(diǎn)判別可見性完成相貫線上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄例2:兩正交圓柱體相貫，求相貫線的投影。(a)直觀圖(b)投影圖上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄圓柱表面交線的三種情況

兩外表面相交外表面與內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄例3:圓柱上鉆孔，求相貫線。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄例4:圓柱筒上鉆孔，求相貫線。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄兩正交圓柱相貫線的變化趨勢(shì)（一）上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄兩正交圓柱相貫線的變化趨勢(shì)（二）上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄例5求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。

a“(b“)a'b'c“c'abcdd"d'e“(f“)efe'f'ghyyg“(h“)g'h'上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄2.輔助平面法

假想用一個(gè)平面在相貫兩立體的相貫區(qū)域內(nèi)去截切相貫的兩立體，分別在兩立體表面上產(chǎn)生截交線，兩截交線交點(diǎn)就是兩立體表面與輔助平面三者的共有點(diǎn)，即相貫線上的點(diǎn)。這個(gè)假想的平面是輔助平面。作出一系列的輔助平面，求出相貫線上一系列點(diǎn)的投影，依次光滑連接，即得相貫線的投影。

上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄(1)所選輔助平面與兩曲面立體表面的輔助截交線的投影應(yīng)是簡(jiǎn)單易畫的直線或圓。常選用特殊位置平面作為輔助面。

(2)輔助平面應(yīng)位于兩曲面立體的共有區(qū)域內(nèi)，否則得不到共有點(diǎn)。選擇輔助平面的原則：上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄yyPW2PV24"yy4'PV1PW13"PV3PW35"11'1"2'2"2453'35'例6求圓柱與圓錐正交時(shí)相貫線的投影。上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄例7求水平圓柱與半球的相貫線的投影。a’a”ab’b”QVQWcPVPWefe’(f’)RVRWgg’(h’)bhd上一頁(yè)下一頁(yè)返回目錄例8求鉛垂圓臺(tái)與半球的相