大學(xué)物理 第一章 矢量分析

第一章矢量分析1本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3

標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4

矢量場(chǎng)的通量與散度1.5

矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度1.6

無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)1.7

拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理21.標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示

注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊?/p>

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

3矢量用坐標(biāo)分量表示zxy4（1）矢量的加減法兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的加法矢量的減法在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律5（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）——矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量與的夾角6（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量與的叉積直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)分量表示為寫(xiě)成行列式形式為若，則若，則7（5）矢量的混合運(yùn)算——分配律——

分配律——

標(biāo)量三重積——

矢量三重積81.2

三種常用的正交曲線坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

91.直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量線元矢量可表示成它在三個(gè)坐標(biāo)方向，所增加微分元的矢量和。直角坐標(biāo)系中：從坐標(biāo)原點(diǎn)指向空間位置點(diǎn)的矢量10面元矢量在直角坐標(biāo)系中，與三個(gè)坐標(biāo)單位矢量相垂直的面積元分別為：體積元x

yz直角坐標(biāo)系的體積元

odzdydx112.圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系123.球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量134.坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系foqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq14本節(jié)重點(diǎn)回顧矢量的基本計(jì)算熟練掌握三種常用坐標(biāo)系15兩個(gè)相隔一定距離的物體之間的相互作用：超距作用以太論場(chǎng)1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度16如果物理量是標(biāo)量，稱(chēng)該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。

例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。如果物理量是矢量，稱(chēng)該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。

例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱(chēng)為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：17標(biāo)量場(chǎng)的等值面

標(biāo)量場(chǎng)的等值線(面)等值面:

標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿(mǎn)場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。

等值面的特點(diǎn)：意義:

形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。18當(dāng)點(diǎn)M沿射線趨近于時(shí),比值的極限稱(chēng)為標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù),記作M0M方向?qū)?shù)的概念

方向?qū)?shù)的概念

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向減?。?/p>

——u(M)沿方向無(wú)變化。

19直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)的計(jì)算公式：——的方向余弦。

式中：

M0M方向?qū)?shù)的概念

證明：如函數(shù)u(x,y,z)在M0點(diǎn)可微203.標(biāo)量場(chǎng)的梯度（或）梯度的概念：在直角坐標(biāo)系中：由梯度定義可知：標(biāo)量場(chǎng)u在點(diǎn)M處的梯度為一個(gè)矢量，其方向沿u變化率最大的方向，大小等于其最大變化率21梯度的表達(dá)式：直角坐標(biāo)系

哈密頓算符圓柱坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系

22標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面）23

解

(1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為

例1.2.1

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：

(1)該函數(shù)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。

(2)求該函數(shù)沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。24表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對(duì)于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為25而該點(diǎn)的梯度值為

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。26本節(jié)重點(diǎn)熟練掌握標(biāo)量場(chǎng)梯度的意義及計(jì)算方法271.4矢量場(chǎng)的通量與散度

1.矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向。矢量線OM

282.矢量場(chǎng)的通量

通量的概念其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是面積元矢量矢量穿過(guò)面積元的通量，定義為：矢量穿過(guò)曲面S的通量為：29通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三種可能結(jié)果通量的物理意義303.矢量場(chǎng)的散度

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。

如何研究場(chǎng)域內(nèi)，每一點(diǎn)處的通量特性呢？或者說(shuō)是通量源的分布特性？某一點(diǎn)的散度，描述了該點(diǎn)單位體積內(nèi)散發(fā)出來(lái)的矢量的通量。也即該點(diǎn)通量源的密度。31直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

即流出

不失一般性，令包圍P點(diǎn)的體積元V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP和兩面元的通量為：32于是根據(jù)定義求得散度為：

同理，可計(jì)算出應(yīng)流出另兩組側(cè)面的通量，最后得：33圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：344.散度定理（高斯定理）體積的剖分VS1S2en2en1S矢量通過(guò)曲面S的通量（S圍成體積V內(nèi)的通量源）對(duì)通量源密度進(jìn)行體積分（S圍成體積V內(nèi)的通量源）該式為矢量場(chǎng)的散度的體積分與該矢量場(chǎng)的閉合曲面積分之間的變換關(guān)系，在電磁理論中應(yīng)用非常廣泛！35本節(jié)重點(diǎn)矢量場(chǎng)通量的意義及計(jì)算方法矢量場(chǎng)散度的計(jì)算方法散度定理（高斯定理）361.5矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度

磁感應(yīng)線要么穿過(guò)曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類(lèi)不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的矢量線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。37矢量場(chǎng)的環(huán)流環(huán)流的定義：磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系：

矢量場(chǎng)沿閉合路徑C的環(huán)流。矢量場(chǎng)沿場(chǎng)中一條閉合路徑C的曲線積分38環(huán)流面密度的定義：稱(chēng)為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向

的環(huán)流面密度。特點(diǎn)：其值與面元的法線方向有關(guān)。在矢量場(chǎng)中的任一點(diǎn)M處作一面元，取為此面元的法向單位矢量。當(dāng)面元保持以為法向分量而向點(diǎn)M無(wú)限縮小時(shí)39以表示旋度2.矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)在Ｍ點(diǎn)的旋度是一個(gè)矢量大小：該點(diǎn)最大環(huán)流密度的值方向：取得最大環(huán)流密度的面元的法線方向和方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系類(lèi)似：沿任一方向的環(huán)流面密度等于旋度沿該方向的投影。（旋度在該方向的分量）旋度的定義：40旋度的計(jì)算公式：在直角坐標(biāo)系中，由旋度的定義可得旋度的計(jì)算公式為：413.斯托克斯定理斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消該定理表明矢量場(chǎng)的旋度在曲面Ｓ上的面積分，等于矢量場(chǎng)沿限定曲面的閉合曲線Ｃ上的線積分，即42本節(jié)重點(diǎn)矢量場(chǎng)環(huán)流的意義及計(jì)算方法矢量場(chǎng)的旋度及計(jì)算方法斯托克斯定理431.矢量場(chǎng)的源散度源旋度源1.6無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)2.矢量場(chǎng)按源的分類(lèi)（1）無(wú)旋場(chǎng)僅有散度源而無(wú)旋度源的矢量場(chǎng)又因?yàn)?，?biāo)量場(chǎng)梯度的旋度恒等于0因此，無(wú)旋場(chǎng)總可以表示為某一標(biāo)量場(chǎng)的梯度，即函數(shù)u稱(chēng)為無(wú)旋場(chǎng)的標(biāo)量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)量位重要恒等式44例如：靜電場(chǎng)標(biāo)量位函數(shù)的引入，使得我們可以通過(guò)對(duì)標(biāo)量場(chǎng)的研究來(lái)得到相應(yīng)的矢量場(chǎng)。這在某些情況下可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。可以通過(guò)研究標(biāo)量電位來(lái)得到電場(chǎng)強(qiáng)度的分布45可知無(wú)旋場(chǎng)的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，是保守場(chǎng)。由斯托克斯定理可知，無(wú)旋場(chǎng)沿閉合路徑的環(huán)流等于0無(wú)旋場(chǎng)的特點(diǎn)：46因此，無(wú)散場(chǎng)總可以表示為某一矢量場(chǎng)的旋度，即（2）無(wú)散場(chǎng)僅有旋度源而無(wú)散度源的矢量場(chǎng)又因?yàn)椋噶繄?chǎng)旋度的散度恒等于0重要恒等式函數(shù)

稱(chēng)為無(wú)散場(chǎng)的矢量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)矢量位47無(wú)散場(chǎng)的特點(diǎn)：由散度定理可知，無(wú)散場(chǎng)通過(guò)任何閉合曲面S的通量等于0484.散度和旋度的區(qū)別

491.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：——拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系50矢量拉普拉斯運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中在其它坐標(biāo)系中，應(yīng)該按照矢量拉普拉斯運(yùn)算的基本定義來(lái)計(jì)算即512.格林定理格林定理又稱(chēng)為格林恒等式，它的表達(dá)式如下：格林第一恒等式：格林第二恒等式：

格林定理說(shuō)明了區(qū)域V中的場(chǎng)與邊界S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問(wèn)題。

此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿(mǎn)足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可