彈塑性力學(xué) 第3章彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

第3章彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第3章彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系拉伸和壓縮時的應(yīng)力應(yīng)變曲線彈塑性力學(xué)中常用的簡化力學(xué)模型廣義胡克定律特雷斯卡和米澤斯屈服條件塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系德魯克公設(shè)和伊柳辛公設(shè)塑性本構(gòu)關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系彈塑性力學(xué)靜力學(xué)幾何學(xué)物理學(xué)平衡微分方程幾何方程物理方程應(yīng)變與位移的關(guān)系應(yīng)變協(xié)調(diào)方程方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系本構(gòu)方程方程彈塑性力學(xué)靜力學(xué)幾何學(xué)物理學(xué)物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系本構(gòu)方程方程韌性（塑性）金屬材料單向拉伸試驗曲線彈性極限屈服下限屈服上限強度極限強化段軟化段彈性變形殘余變形卸載3－1拉伸和壓縮時的應(yīng)力應(yīng)變曲線低碳鋼在單向拉伸時的典型應(yīng)力應(yīng)變曲線彈性極限屈服上限屈服下限比例極限塑性流動階段強化階段軟化階段卸載包辛格（Bauschinger）效應(yīng)當(dāng)應(yīng)力超過屈服點后，拉伸（或壓縮）應(yīng)力的硬化將引起反向加載時壓縮（或拉伸）屈服應(yīng)力的弱化如果s+s=2s，則稱為理想包辛格效應(yīng)具有強化性質(zhì)的材料隨著塑性變形的增加，屈服極限在一個方向上提高，而在相反方向降低名義應(yīng)力與真實應(yīng)力在體積不可壓縮的假設(shè)前提下拉伸（壓縮）時的名義應(yīng)力拉伸時的真實應(yīng)力壓縮時的真實應(yīng)力初始截面積變形后截面積荷載3－2彈塑性力學(xué)中常用的簡化力學(xué)模型理想彈塑性模型：ABsO線性強化彈塑性模型：A

sOBE1E

s線性強化剛塑性模型：A

sOB理想剛塑性模型：A

sOB冪強化模型：=1On=1n=0n=1/2n=1/33－3廣義胡克定律各向同性材料的胡克(Hooke)定律(一維問題，1678)單向拉壓純剪切橫向與縱向變形關(guān)系E——拉壓彈性模量；G——剪切彈性模量；——泊松比廣義胡克定律——對復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，在彈性力學(xué)假設(shè)條件下，應(yīng)用疊加原理：考慮x方向的正應(yīng)變：產(chǎn)生的x方向應(yīng)變：產(chǎn)生的x方向應(yīng)變：產(chǎn)生的x方向應(yīng)變：疊加后得同理：即剪應(yīng)變：物理方程：說明：1.方程表示了各向同性材料的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，稱為廣義Hooke定律。也稱為彈性問題物理方程。2.方程組在線彈性條件下成立。體積應(yīng)變與體積彈性模量令：則：sm稱為平均應(yīng)力;q稱為體積應(yīng)變廣義胡克定律的其他表示形式物理方程：物理方程：用應(yīng)變表示應(yīng)力：或：各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系廣義胡克定律——應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量的關(guān)系用應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量表示用主應(yīng)力偏量與主應(yīng)變偏量表示用主應(yīng)力差與主應(yīng)變差表示說明，在彈性階段，應(yīng)變莫爾圓與應(yīng)力莫爾圓成比例。用3個主應(yīng)力差與3個主應(yīng)變差表示說明，

=，=3－4特雷斯卡和米澤斯屈服條件塑性變形——當(dāng)作用在物體上的外力卸去后，物體中沒有完全恢復(fù)的那部分永久變形稱為塑性變形。塑性力學(xué)——研究塑性變形和作用力之間的關(guān)系以及在塑性變形后物體內(nèi)部應(yīng)力分布規(guī)律的學(xué)科稱為塑性力學(xué)。塑性力學(xué)問題的特點塑性力學(xué)問題有如下幾個特點：(1)應(yīng)力與應(yīng)變之問題的關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）是非線性的，其非線性性質(zhì)與具體材料有關(guān)；(2)應(yīng)力與應(yīng)變之間沒有一一對應(yīng)的關(guān)系，它與加載歷史有關(guān)；(3)在變形體中有彈性變形區(qū)和塑性變形區(qū)，而在求解問題時需要找出彈性區(qū)和塑性區(qū)的分界線；(4)在分析問題時，需要區(qū)分是加載過程還是卸載過程。在塑性區(qū)，在加載過程中要使用塑性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，而在卸載過程中則應(yīng)使用廣義的胡克定律。屈服條件——屈服條件又稱塑性條件，它是判斷材料處于彈性階段還是處于塑性階段的準(zhǔn)則。在應(yīng)力空間中，將從彈性階段進(jìn)入塑性階段的各個界限點（屈服應(yīng)力點）連接起來就形成一個區(qū)分彈性區(qū)和塑性區(qū)的分界面，這個分界面即稱為屈服面，而描述這個屈服面的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為屈服函數(shù)或稱為屈服條件。特雷斯卡(Tresca)條件(1864)當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到材料的某一定值時，材料就開始屈服，進(jìn)入塑性狀態(tài)。表示為max=k當(dāng)1>

2>3

時可寫作1-

2=2k在主應(yīng)力的次序未知的情況下，Tresca屈服條件應(yīng)表示為：上式中至少一個等式成立時，材料就開始進(jìn)入塑性變形。Tresca屈服條件參數(shù)常數(shù)k由試驗確定。如由單拉試驗，一般取k=s/2(有時取k=s/)。如由純剪切試驗，k=s。因此，按照Tresca屈服條件，材料的剪切屈服極限與拉伸屈服極限之間存在s=s/2。Tresca屈服條件的幾何表示(屈服面)在三維應(yīng)力空間中，1-

2=2k

是一對與平面的法線(等傾線)以及3軸平行的平面。因此，Tresca屈服條件的屈服面是由三對互相平行、垂直于平面的平面組成的正六角柱體表面。它與平面的截線（屈服線）是一個正六邊形。它的外接圓半徑是（內(nèi)切圓半徑是）。Tresca屈服條件的幾何表示(屈服面)平面上的屈服軌跡O123Mises條件Tresca條件Tresca屈服條件的幾何表示(屈服面)3=0

平面上的屈服軌跡Mises條件Tresca條件O12Tresca屈服條件的幾何表示(屈服面)123o應(yīng)力空間屈服面對Tresca屈服條件的評價Tresca屈服條件是主應(yīng)力的線性函數(shù)，對于主應(yīng)力方向已知且不改變的問題，應(yīng)用較方便，但忽略了中間主應(yīng)力的影響，且屈服線上有角點，給數(shù)學(xué)處理帶來了困難，沒有考慮平均應(yīng)力對屈服的影響。米澤斯(vonMises)屈服條件(1913)當(dāng)應(yīng)力強度達(dá)到一定數(shù)值時，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)。Mises條件可看成為當(dāng)形變比能達(dá)到一定值時，材料進(jìn)入屈服狀態(tài)?；蛘J(rèn)為只要應(yīng)力偏張量的第二不變量達(dá)到某一數(shù)值時（或八面體剪應(yīng)力）達(dá)到一定數(shù)值時，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)。Mises屈服條件數(shù)學(xué)表達(dá)式或或其中按照Mises條件應(yīng)力強度、等效應(yīng)力形變比能應(yīng)力偏量張量第二不變量八面體（等傾面）上的剪應(yīng)力Mises屈服條件幾何表示在

平面上，Mises屈服曲線為一圓。在3

=0的平面上，Mises屈服曲線為一個以原點為中心，以靜水壓力m與廣義剪應(yīng)力i為長短軸的橢圓。在主應(yīng)力空間，Mises屈服面為一以等傾線為軸的正圓柱體表面。Mises屈服條件的幾何表示(屈服面)平面上的屈服軌跡Mises條件外切Tresca條件O123內(nèi)接Tresca條件Mises屈服條件的幾何表示(屈服面)3=0

平面上的屈服軌跡O21Mises條件Tresca條件Tresca條件與Mises條件的比較Tresca條件與Mises條件的比較兩種屈服條件的差別與確定常數(shù)的方法有關(guān)。若用單向拉伸時的屈服極限確定常數(shù)，則在純剪應(yīng)力狀態(tài)下兩種屈服條件相差最大，Mises條件所確定的最大剪應(yīng)力比Tresca條件所確定的最大剪應(yīng)力大15.5%。若用純剪時的屈服極限確定常數(shù)，則在單向拉伸時兩種屈服條件相差最大，用Mises條件所確定的最大拉應(yīng)力比用Tresca條件所確定的最大拉應(yīng)力小13.4%。3－5塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在塑性變形階段，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系是非線性的，應(yīng)變不僅和應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且還和變形歷史有關(guān)。如果不知道變形的歷史，便不能只根據(jù)即時應(yīng)力狀態(tài)唯一地確定塑性應(yīng)變狀態(tài)。而且如果只知道最終的應(yīng)變狀態(tài)，也不能唯一地確定應(yīng)力狀態(tài)?？紤]應(yīng)變歷史，研究應(yīng)力和應(yīng)變增量之間的關(guān)系，以這種關(guān)系為基礎(chǔ)的理論稱為增量理論。增量理論是塑性力學(xué)中的基本理論。羅德（Lode）的試驗結(jié)果應(yīng)力羅德參數(shù)與塑性應(yīng)變增量羅德參數(shù)相等：由于得d的物理意義d為比例系數(shù)，它在塑性變形過程中，隨著dip和i比值的變化而變化，但在變形的某一瞬間，應(yīng)變偏量增量的每一分量與相對應(yīng)的應(yīng)力偏量分量的比值都相同為d。對于理想塑性材料，i=s，因此，比例系數(shù)d又可以寫成在塑性變形的過程中，比例系數(shù)d不僅與材料的屈服極限有關(guān)，而且還和變形程度有關(guān)。萊維－米澤斯本構(gòu)方程萊維－米澤斯流動法則萊維－米澤斯塑性本構(gòu)關(guān)系的基本假設(shè)圣維南認(rèn)為，在材料達(dá)到塑性狀態(tài)后，應(yīng)力和應(yīng)變沒有一一對應(yīng)的關(guān)系，因而提出，在塑性變形的過程中，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系式應(yīng)以增量形式給出，而塑性應(yīng)變增量的主軸和應(yīng)力偏量的主軸是重合的。這個見解為塑性本構(gòu)關(guān)系的建立奠定了基礎(chǔ)，塑性力學(xué)中的增量理論就是在這一假設(shè)的前提下發(fā)展起來的。在萊維－米澤斯理論中，包括了如下一些假設(shè)：

(1)應(yīng)變偏量增量與應(yīng)力偏量成比例；

(2)材料是不可壓縮的；

(3)材料是理想剛塑性的；

(4)材料滿足米澤斯屈服條件，即i=s。在萊維－米澤斯理論中，若已知三個正應(yīng)力的值，便可確定deip（i=1,23）之間的比值，但還不能確定各應(yīng)變偏量的具體數(shù)值。如果給出deip的值，則可求出si的值，但卻求不出應(yīng)力i的值。只有給出0的值后，才能求出i的值。普朗特－羅伊斯流動法則普朗特－羅伊斯本構(gòu)方程考慮彈性應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系總應(yīng)變偏量增量即展開后，為普朗特－羅伊斯（L.Prandtl－A.Reuss）本構(gòu)方程普朗特－羅伊斯經(jīng)過推導(dǎo)，將比例系數(shù)d用變形比能dW表示，即得普朗特－羅伊斯本構(gòu)方程設(shè)在加載階段的某一瞬時，已求得物體內(nèi)各點的ij、ij、ui，

求在此基礎(chǔ)上，給定體力增量dfi、ST上面力增量、Su上位移增量時，物體內(nèi)部各點的應(yīng)力增量dij、應(yīng)變增量dij

、位移增量dui。確定這些增量的基本方程組有：1）2）3）本構(gòu)關(guān)系（理想彈塑性材料）

彈性區(qū)增量理論的基本方程及邊值問題的提法

塑性區(qū)4）5）

此外，在彈塑性交界面上還應(yīng)滿足一定的連續(xù)條件和間斷性條件。在給定加載歷史時，可以對每時刻求出增量，然后用“積分”（累計）的方法得出應(yīng)力和應(yīng)變等分布規(guī)律。

(書中p103～107例題，自學(xué)，注意解題思路)基于比例變形的全量彈塑性理論比例變形——塑性變形中，各應(yīng)變分量由始至終都按同一比例增加或減少。比例變形的必要條件是比例加載，各應(yīng)力分量都按比例增長。在比例變形情況下，由于應(yīng)變強度可以通過應(yīng)變強度增量積分得到，就可以得到全量應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系。此理論稱為形變理論，也稱為亨奇－伊柳辛理論。形變理論的假設(shè)條件(1)外載荷（包括體積力）按比例增加，變形體處于主動變形的過程（即應(yīng)力強度i不斷增加，在變形過程中不出現(xiàn)中間卸載的情況）；(2)材料的體積是不可壓縮的，計算時取泊松比

=0.5；(3)材料的應(yīng)力－應(yīng)變曲線具有冪強化形式，即i=Aim；(4)滿足小彈塑性變形的各項條件，塑性變形與彈性變形屬同一量級。亨奇本構(gòu)方程其中伊柳辛提出，在小彈塑性變形條件下，總應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量成正比，即展開后，為或者寫成由于則伊柳辛本構(gòu)方程設(shè)在物體V內(nèi)給定體力fi

，在應(yīng)力邊界ST上給定面力，在位移邊界Su上給定ūi，要求物體內(nèi)部各點的應(yīng)力ij、應(yīng)變ij、位移ui

。確定這些未知量的基本方程組有：1）2）3）

4）

全量理論的基本方程及邊值問題的提法

5）求解方法和彈性問題一樣，可以用兩種基本方法：按位移求解或按應(yīng)力求解。在全量理論適用并按位移求解彈塑性問題時，伊柳辛提出的彈性解法顯得很方便。將代入用位移表示的平衡微分方程得：

或在彈性狀態(tài)時，故當(dāng)上式右端等于零時，可得到彈性解。將它作為第一次近似解，代入上式右端作為已知項，又可以解出第二次近似解。重復(fù)以上過程，可得出所要求的精確度內(nèi)接近實際的解。在小變形情況下，可以證明解能夠很快收斂。在很多問題第二次近似解已能給出較為滿意的結(jié)果。其中幾點說明本理論必須滿足按比例加載的條件，以保證物體內(nèi)部與外表面的簡單加載狀態(tài)。采用體積不可壓縮假設(shè)并取泊松比

=0.5，不僅簡化了具體計算，而且基本上與實驗結(jié)果相符，使形變理論的物理關(guān)系主要表示為應(yīng)力偏量和應(yīng)變偏量之間的關(guān)系，并使之滿足i=Aim的規(guī)律。采用冪強化模型可以避免區(qū)分彈性區(qū)和塑性區(qū)，對各種材料都可通過選取公式中的常數(shù)A和m來擬合拉伸曲線。必須采用小變形條件，因為平衡方程、幾何關(guān)系與物理關(guān)系都是在小變形條件下導(dǎo)出的。在計算中，形變理論在實驗的基礎(chǔ)上采用單一曲線假定。（簡單拉伸=E

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)i=E

i）

3－6德魯克公設(shè)和伊柳辛公設(shè)穩(wěn)定與不穩(wěn)定材料在圖a中，當(dāng)

>0時，

>0,這時附加應(yīng)力

對附加應(yīng)變做功為非負(fù)，即有>0。這種材料被德魯克(Drucker)稱為穩(wěn)定材料。顯然，應(yīng)變硬化和理想塑性的材料屬于穩(wěn)定材料。在圖b所示的試驗曲線上，當(dāng)應(yīng)力點超過p點以后，附加應(yīng)力

<0，而附加應(yīng)變

>0，故附加應(yīng)力對附加應(yīng)變做負(fù)功，即

<0。這類材料稱為不穩(wěn)定材料，應(yīng)變軟化材料屬于不穩(wěn)定材料。德魯克（Drucker）塑性公設(shè)德魯克公設(shè)可陳述為：對于處在某一狀態(tài)下的穩(wěn)定材料的質(zhì)點(試件)，借助于一個外部作用，在其原有應(yīng)力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加應(yīng)力，在附加應(yīng)力的施加和卸除循環(huán)內(nèi)，外部作用所作之功是非負(fù)的。設(shè)材料單元體經(jīng)歷任意應(yīng)力歷史后，在應(yīng)力ij0下處于彈性平衡狀態(tài)(后圖)，即起始應(yīng)力不在加載面內(nèi)；此時，在單元體上緩慢地施加一個附加力，使達(dá)到ij，剛好在加載面上；再繼續(xù)在加載面上加載到ij+dij，在這一階段，材料單元體將產(chǎn)生彈性應(yīng)變增量dije與塑性應(yīng)變增量dijp；最后卸載，使應(yīng)力又回到ij0。在整個應(yīng)力循環(huán)過程中，彈性變形是可逆的，因而彈性功變化為零；依據(jù)德魯克公設(shè)，外部作用所做之功成為可導(dǎo)出兩個重要不等式

1/2

a

1德魯克應(yīng)力循環(huán)德魯克公設(shè)的兩個重要推論：加載面（屈服面）處處外凸；塑性應(yīng)變增量方向與加載曲面（屈服面）正交（或與加載曲面法線方向相同）。這是傳統(tǒng)塑性增量理論的基礎(chǔ)。塑性應(yīng)變增量方向與加載曲面（屈服面）的正交性可表示為（塑性流動法則）其中為用加載函數(shù)的梯度矢量表示的加載曲面的外法線方向。如果f作為塑性勢函數(shù)并令它等于屈服函數(shù)，則可稱為與屈服條件相關(guān)聯(lián)的塑性流動法則。塑性狀態(tài)的加、卸載準(zhǔn)則在外部作用下應(yīng)變點仍在屈服面上，并有新的塑性變形發(fā)生，此時稱這個過程為塑性加載。如果應(yīng)變點離開屈服面退回彈性區(qū)，反應(yīng)是純彈性的，此過程稱塑性卸載。應(yīng)變點不離開屈服面，又無新的塑性變形發(fā)生，此時稱中性變載。跳轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)下塑性加載塑性卸載中性變載

由于此時屈服面大小和形狀不隨內(nèi)變量發(fā)展而改變，因此屈服面為。用公式表示理想彈塑性材料的加卸載準(zhǔn)則為：具有強化的彈塑性材料跳轉(zhuǎn)卸載，彈性加載，塑性卸載，彈性加載，塑性中性變載，塑性對軟化材料，無法建立加、卸載準(zhǔn)則。轉(zhuǎn)圖理想彈塑性材料理想彈塑性材料等向強化彈塑性材料隨動強化彈塑性材料伊柳辛(Ильющин)公設(shè)在彈塑性材料的一個等溫應(yīng)變循環(huán)內(nèi)，外部作用做功是非負(fù)的，如果做功為正，表示有塑性變形發(fā)生，如果做功為零，則只有彈性變形發(fā)生。伊柳辛()公設(shè)在彈塑性材料的一個等溫應(yīng)變循環(huán)內(nèi)，外部作用做功是非負(fù)的，如果做功為正，表示有塑性變形發(fā)生，如果做功為零，則只有彈性變形發(fā)生。伊柳辛應(yīng)變循環(huán)設(shè)材料單元體經(jīng)歷任意應(yīng)變歷史后，在應(yīng)力ij0下處于彈性平衡，即起始應(yīng)變ij0不在加載面內(nèi)。然后在單元體上緩慢地施加荷載，使應(yīng)變點ij達(dá)到加載面，再繼續(xù)加載達(dá)到新的加載面應(yīng)變點ij+dij，此時產(chǎn)生塑性應(yīng)變dijp。然后卸載使