材料力學第九章 壓桿穩(wěn)定

Chapter9BucklingofColumns第九章壓桿穩(wěn)定第九章壓桿穩(wěn)定（BucklingofColumns）

§9-1

壓桿穩(wěn)定的概念

(Thebasicconceptsofcolumns)§9-3其它支座條件下細長壓桿的臨界壓力

(Euler’sFormulaforotherendconditions)§9-2

兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力(TheCriticalLoadforastraight,uniform,axiallyloaded,pin-endedcolumns)§9-4

歐拉公式的應(yīng)用范圍經(jīng)驗公式

(ApplicablerangeforEuler’sformula

theexperimentalformula)§9-5

壓桿的穩(wěn)定校核(Checkthestabilityofcolumns)§9-6

提高壓桿穩(wěn)定性的措施(Themeasurestoenhancethecolumnsstability)一、問題提出(Questions)第二章中，軸向拉、壓桿的強度條件為滿足強度條件受壓桿安全?1.為什么要研究壓桿穩(wěn)定？可見其承載能力并不僅取決于軸向壓縮的抗壓強度.還存在另一失效形式：壓桿失穩(wěn).研究壓桿穩(wěn)定對于工程實際具有重要意義

2.工程中的壓桿（1）上世紀初,享有盛譽的美國橋梁學家?guī)彀?/p>

(TheodoreCooper)在圣勞倫斯河上建造魁比克大橋

(QuebecBridge)

1907年8月29日,發(fā)生穩(wěn)定性破壞,

85位工人死亡,成為上世紀十大工程慘劇之一.3.失穩(wěn)破壞案例魁北克大橋本該是美國著名設(shè)計師特奧多羅·庫帕的一個真正有價值的不朽杰作。庫帕曾稱他的設(shè)計是“最佳、最省的”。庫帕自我陶醉于他的設(shè)計，而忘乎所以地把大橋的長度由原來的500米加到600米，以之成為當時世界上最長的橋。橋的建設(shè)速度很快，施工組織也很完善。正當投資修建這座大橋的人士開始考慮如何為大橋剪彩時，人們忽然聽到一陣震耳欲聾的巨響——大橋的整個金屬結(jié)構(gòu)垮了：19000噸鋼材和86名建橋工人落入水中，只有11人生還。原因：忽略了對橋梁重量的精確計算導致懸臂桁架中個別受壓桿失去穩(wěn)定產(chǎn)生屈曲，造成全橋坍塌；塔克馬吊橋該橋計算時疏忽了對風荷載的驗算，橋建成試通車后，發(fā)現(xiàn)橋面已發(fā)生扭曲，于是委托麻省理工大學進行檢測，麻省理工大學制作了一個原橋的模型，進行風荷載試驗，發(fā)現(xiàn)橋面扭曲的直接原因是風荷載，于是麻省理工大學用6天時間另搞了一個完善設(shè)計，在橋主梁側(cè)面打開一些空洞，以減少風荷載的影響，可惜這一方案尚未實施完畢，橋面已出現(xiàn)劇烈扭曲，通過橋梁的最后一輛車是一輛轎車，受橋面扭曲影響。在橋面上已無法行駛，在相關(guān)營救人員的援助下，車主逃脫險境，之后不久橋就全部損壞。

設(shè)計該橋的校方將該橋的廢鋼材全部購買下來，制成校徽，來告誡本校學生永遠記住這一教訓。（2）1995年6月29日下午,韓國漢城三豐百貨大樓,由于盲目擴建,加層,致使大樓四五層立柱不堪重負而產(chǎn)生失穩(wěn)破壞,大樓倒塌,死502人,傷930人,失蹤113人.

災(zāi)難只需30秒鐘（2）滬東中華造船集團有限公司十幾秒中36人喪生01年7月17日上午8點，在上海市滬東中華造船(集團)有限公司由上海電力建筑工程公司承擔的600噸門式起重機在吊裝過程中發(fā)生特大事故。36人死亡、3人受傷，同濟大學9人不幸全部遇難早晨，機械學院的幾位打算去滬東造船廠指揮安裝龍門起重機的老師回機械南館取資料，守門的師傅替他們開了門。誰曾想，一個多小時后，他們都在滬東造船廠的事故中遇難。一行9人中，有53歲的老教授，也有才30歲風華正茂的博士后。（3）浦東滬東造船滬東龍門吊倒塌

08年5月30日零時25分左右，五蓮路浦東大道上的滬東中華造船公司兩個各600噸的龍門吊在操作過程中發(fā)生意外，巨大的塔吊倒塌導致三個操作的駕駛員當場死亡，另有多名傷者被送往東方醫(yī)院搶救。原因：是兩臺六百噸一起起吊重八百噸的船頭時，兩臺龍門吊的速度不一樣，前面一臺倒了后面一臺承受不了重量外加第一臺的拉力就一起跟著倒了。干塢里面的船也毀了…（3）2000年10月25日上午10時南京電視臺演播中心由于腳手架失穩(wěn),造成屋頂模板倒塌,

死6人,傷34人.（4）2004年2月25日9時15分,由福建省惠安縣建筑工程公司承建的晉江市霞行村行元大廈改造工程,竹腳手架架體超載失穩(wěn)整體坍塌,造成5人死亡、7人受傷.民工們守候在事故現(xiàn)場外等候消息事故現(xiàn)場120救護車在出口等候救援（5）2005年9月西單北京市西西工程4號工地項目發(fā)生模板支撐系統(tǒng)坍塌、腳手架失穩(wěn)等三起事故.一棟樓從6層塌落,四五十名工人墜落.（6）2006年12月14日凌晨5時30分左右,正在施工的貴陽市至開陽縣高等級公路小尖山大橋由于腳手架失穩(wěn)發(fā)生垮塌事故,3人死亡,1人失蹤,1人被卡在鋼管架中,15名受傷.

2009年4月2日，在青島市云南路與東平路路口一建筑工地，青島膠州灣起重設(shè)備安裝有限公司在塔式起重機拆除過程中，發(fā)生上部結(jié)構(gòu)失穩(wěn)墜落事故，造成5名拆除工人死亡.

2010年1月3日14時20分許，昆明在建新機場立交橋在澆灌過程中垮塌，共計7人死亡，8人重傷，26人輕傷。2011年03月22日,珠海南屏鎮(zhèn)一棟7層違規(guī)搶建樓房整體坍塌2011-12-05,合肥在建大橋腳手架坍塌政府稱是“破壞性試驗”!!!!!1.平衡的穩(wěn)定性(1)穩(wěn)定平衡(2)不穩(wěn)定平衡(3)隨遇平衡

§9–1

壓桿穩(wěn)定的概念

(Thebasicconceptsofcolumns)8噸汽車起重機在起重的一瞬間回轉(zhuǎn)臺突然發(fā)生失穩(wěn)，轉(zhuǎn)臺兩側(cè)的立板向外隆起，發(fā)生塑性變形而失效。25噸汽車起重機在起重時回轉(zhuǎn)臺失穩(wěn)易拉罐壓縮失穩(wěn)2.彈性壓桿的穩(wěn)定性關(guān)鍵確定壓桿的臨界力

Fcr—穩(wěn)定平衡狀態(tài)

—臨界平衡狀態(tài)

—不穩(wěn)定平衡狀態(tài)

穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡臨界平衡

臨界壓力:Fcr過度對應(yīng)的壓力穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡臨界平衡關(guān)于臨界壓力的說明壓桿的失穩(wěn)：壓桿喪失其直線形狀的平衡而過渡為曲線形狀平衡。臨界壓力（Fcr）：使中心受壓的直桿由直線平衡形式轉(zhuǎn)變?yōu)榍€平衡形式時所受的軸向壓力；故臨界壓力可以理解為：或壓桿處于微彎狀態(tài)（喪失穩(wěn)定）的最小載荷。壓桿保持直線形態(tài)平衡的最大載荷；壓桿失穩(wěn)后，壓力的微小增量會引起彎曲變形的顯著增大，桿件喪失了承載能力。且由失穩(wěn)造成的失效可以導致整個結(jié)構(gòu)的坍塌。為了保證壓桿安全可靠的工作，必須使壓桿處于直線平衡形式，因而壓桿是以臨界力為其極限承載能力?！?-2

兩端絞支細長壓桿的臨界壓力(TheCriticalLoadforastraight,uniform,axiallyloaded,pin-endedcolumns)mmFmxmwBxylM(x)=-FwFxyB(1)靜力學關(guān)系(2)物理關(guān)系(3)變形協(xié)調(diào)關(guān)系研究思路該截面的彎矩桿的撓曲線近似微分方程壓桿任一x截面沿y

方向的位移（a)令

(b)式的通解為（A、B為積分常數(shù)）(b)得

mmxyBFM(x)=-Fw邊界條件

由公式(c)討論：

若

mxmwBxylF則必須這就是兩端鉸支等截面細長受壓直桿臨界力的計算公式（歐拉公式）.令n=1,得當時，撓曲線方程為撓曲線為半波正弦曲線.mxmwBxylF適用范圍：3、理想壓桿2、線彈性，小變形1、兩端為鉸支座的細長桿（軸線為直線，壓力與軸線重合，材料均勻）軸線的初曲率、壓力的偏心、材料的缺陷和不均勻等因素總是存在的，為非理想受壓直桿。實際使用的壓桿：yxlFcrFcrx§9-3

其它支座條件下細長壓桿的臨界壓力(Euler’sFormulaforotherendconditions)1.細長壓桿的形式（Differentendconditionsofastraightcolumns)

兩端鉸支一端自由一端固定一端固定一端鉸支兩端固定2.其它支座條件下的歐拉公式(Euler’sFormulaforOtherEndConditions)lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl—長度因數(shù)—相當長度歐拉公式lFcrl/4l/4l/2l各種支承約束條件下等截面細長壓桿臨界力的歐拉公式0.5l支承情況兩端鉸支一端固支另端鉸支一端固支另端自由失穩(wěn)時撓曲線形狀PcrABl臨界力Pcr歐拉公式長度系數(shù)μμ=1μ0.7μ=0.5μ=2PcrABlPcrABl0.7lCCDC—撓曲線拐點C、D—撓曲線拐點Pcrl2l一端固支一端可移動不能轉(zhuǎn)動μ＝1一端固定一端移動兩端鉸支一端固定，另一端鉸支兩端固定一端固定，另一端自由表

各種支承約束條件下等截面細長壓桿臨界力的歐拉公式

支承情況臨界力的歐拉公式長度因數(shù)

=1

=0.7

=0.5

=2歐拉公式的統(tǒng)一形式(GeneralEulerBucklingLoadFormula)（

為壓桿的長度因數(shù)）3.討論（Discussion)為長度因數(shù)

l

為相當長度（1）相當長度l

的物理意義壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點間的長度就是壓桿的相當長度l.

l是各種支承條件下，細長壓桿失穩(wěn)時，撓曲線中相當于半波正弦曲線的一段長度.zyx取Iy

，Iz

中小的一個計算臨界力.若桿端在各個方向的約束情況不同（如柱形鉸），應(yīng)分別計算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨界壓力.I為其相應(yīng)中性軸的慣性矩.即分別用

Iy

，Iz

計算出兩個臨界壓力.然后取小的一個作為壓桿的臨界壓力.（2）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩I若桿端在各個方向的約束情況相同（如球形鉸等），則I應(yīng)取最小的形心主慣性矩.壓桿失穩(wěn)時，總是繞抗彎剛度最小的軸發(fā)生彎曲變形。例題1已知一內(nèi)燃機、空氣壓縮機的連桿為細長壓桿.截面形狀為工字鋼形,慣性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4,E=2.1×10

5MPa.試計算臨界力Fcr

.xz880x8801000yzy分析思路：（1）桿件在兩個方向的約束情況不同；x8801000yzyFFlxz880（2）計算出兩個臨界壓力；（3）取小的一個作為壓桿的臨界壓力.FF解：x8801000yzyFFlxz880連桿的臨界壓力xoy面：約束情況為兩端鉸支μ=1,I=Iz,l=1mxoz面：約束情況為兩端固定μ=0.5,I=Iy,l=0.88m例題2圖示各桿均為圓形截面細長壓桿.已知各桿的材料及直徑相等.問哪個桿先失穩(wěn)?dF1.3a

BF1.6aCaFA解：A桿先失穩(wěn).桿A桿B桿CdF1.3a

BF1.6aCaFA(a)(b)(c)如圖a,把一張紙豎立在桌上,其自重就可以把它壓彎.若如圖b所示,把紙片折成角鋼形豎立在桌上,其自重就不能把它壓彎了.若如圖c所示,把紙片卷成圓筒形豎立在桌上,則在它的頂部加上粉筆也不把它壓彎.為什么?問答題：答：因為從a→b→c,截面的最小形心慣性矩Imin逐漸地增大,從而使相應(yīng)形狀的紙片的臨界力也增大.工程案例大樓內(nèi)設(shè)置了“調(diào)諧質(zhì)塊阻尼器”（tunedmassdamper），是在88至92樓掛置一個重達660公噸的巨大鋼球，利用擺動來減緩建筑物的晃動幅度。據(jù)臺北101告示牌所言，這也是全世界唯一開放游客觀賞的巨型阻尼器，更是目前全球最大之阻尼器。

防震措施方面，臺北101采用新式的“巨型結(jié)構(gòu)”（mega-structure），在大樓的四個外側(cè)分別各有兩支巨柱，共八支巨柱，每支截面長3米、寬2.4米，自地下5樓貫通至地上90樓，柱內(nèi)灌入高密度混凝土，外以鋼板包覆。

下圖是京珠高速公路施工現(xiàn)場使用的腳手架，請同學們根據(jù)我們本次課所學的內(nèi)容,思考該腳手架中間為什么要加如此多的橫桿？

思考題：4、穩(wěn)定問題與強度問題的區(qū)別(Distinguishbetweenstableproblemandstrengthproblem)

平衡狀態(tài)應(yīng)力平衡方程極限承載能力直線平衡狀態(tài)不變平衡形式發(fā)生變化達到限值小于限值s<ss變形前的形狀、尺寸變形后的形狀、尺寸實驗確定理論分析計算強度問題穩(wěn)定問題壓桿什么時候發(fā)生穩(wěn)定性問題，什么時候產(chǎn)生強度問題呢？壓桿壓桿受臨界力Fcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定平衡時，橫截面上的壓應(yīng)力可按

=F/A

計算.

§9-4

歐拉公式的應(yīng)用范圍經(jīng)驗公式

(ApplicablerangeforEuler’sformula

theexperimentalformula)一、臨界應(yīng)力

(Criticalstress)歐拉公式臨界應(yīng)力

(Euler’scriticalstress)按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應(yīng)力為i

為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑.

稱為壓桿的柔度（長細比），集中地反映了壓桿的長度l和桿端約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應(yīng)力的影響.

越大，相應(yīng)的

cr

越小，壓桿越容易失穩(wěn).令令則則若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應(yīng)分別計算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時的柔度，并按較大者計算壓桿的臨界應(yīng)力cr

。二、

歐拉公式的應(yīng)用范圍

(ApplicablerangeforEuler’sformula)只有在cr

≤

p的范圍內(nèi)，才可以用歐拉公式計算壓桿的臨界壓力Fcr（臨界應(yīng)力cr

）.或令即l

≥1（大柔度壓桿或細長壓桿），為歐拉公式的適用范圍.

當

＜1但大于某一數(shù)值2的壓桿不能應(yīng)用歐拉公式，此時需用經(jīng)驗公式.1的大小取決于壓桿材料的力學性能.例如，對于Q235鋼，可取E=206GPa，p=200MPa，得三.常用的經(jīng)驗公式

(Theexperimentalformula)式中：a

和

b是與材料有關(guān)的常數(shù)，可查表得出.

2是對應(yīng)直線公式的最低線.1.直線公式的桿為中柔度桿，其臨界應(yīng)力用經(jīng)驗公式.

或令直線公式系數(shù)表（a，b）2、拋物線型經(jīng)驗公式我國建筑業(yè)常用：①P<<s時：對Q235，a1=235，b1=0.00668，λc=123對Q345，a1=345，b1=0.014，λc=102拋物線與歐拉公式曲線交點叫λc四、壓桿的分類及臨界應(yīng)力總圖(ClassificationofColumnsandtheDiagramofcriticalstresscrversusslendernessratio)1.壓桿的分類（ClassificationofColumns）（1）大柔度桿（Longcolumns）（2）中柔度桿（Intermediatecolumns）（3）小柔度桿（Shortcolumns）2.臨界應(yīng)力總圖l1l2粗短桿小柔度強度失效中粗桿中柔度彈塑性穩(wěn)定問題細長桿大柔度彈性失穩(wěn)例題3

壓桿截面如圖所示.兩端為柱形鉸鏈約束，若繞y軸失穩(wěn)可視為兩端固定，若繞z軸失穩(wěn)可視為兩端鉸支.已知，桿長l=1m，材料的彈性模量E=200GPa，p=200MPa.求壓桿的臨界應(yīng)力.30mm20mmyz解：30mm20mmyz因為z

>y

，所以壓桿繞

z

軸先失穩(wěn)，且z

=115>1，用歐拉公式計算臨界力.例題3外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm的鋼管，兩端鉸支，材料為Q235鋼，承受軸向壓力F.試求（1）能用歐拉公式時壓桿的最小長度；（2）當壓桿長度為上述最小長度的3/4時，壓桿的臨界應(yīng)力.已知：E=200GPa，p=200MPa

，s=240MPa

，用直線公式時，a=304MPa，b=1.12MPa.解：（1）能用歐拉公式時壓桿的最小長度壓桿

=1（2）當l=3/4lmin

時，F(xiàn)cr=?用直線公式計算

1846年拉馬爾具體討論了Euler公式的適用范圍，并提出超過此范圍的壓桿要依靠實驗研究。發(fā)展歷史：文藝復興時，達芬奇對壓桿作了一些開拓性研究工作；荷蘭物理學家教授穆森布洛克1729年對桿件的受拉試驗，得出“壓曲載荷與桿長的平方成反比”；瑞士數(shù)學家Euler首先導出細長桿壓曲載荷公式，1744年出版的變分法專著曾得到：失穩(wěn)后彈性屈曲的精確描述及壓曲載荷的計算公式；兩端鉸支壓桿的壓曲載荷公式由法國科學家拉格朗日在Euler近似微分方程的基礎(chǔ)上于1770年左右得到；英國科學家楊（YoongT）于1807年，納維于1826年先后指出Euler只適用于細長桿；1.穩(wěn)定性條件

(Thestabilitycondition)

2.計算步驟

(Calculationprocedure)（1）計算最大的柔度系數(shù)max；

（2）根據(jù)max選擇公式計算臨界應(yīng)力；（3）根據(jù)穩(wěn)定性條件，判斷壓桿的穩(wěn)定性或確定許可載荷.

§9-5

壓桿的穩(wěn)定校核

(Checkthestabilityofcolumns)定義：穩(wěn)定因數(shù)（折減系數(shù)）為穩(wěn)定因數(shù)法的穩(wěn)定安全條件為：

穩(wěn)定許用應(yīng)力

[σst]=φ(λ)[σ]穩(wěn)定因數(shù)法或：例題4活塞桿由45號鋼制成，s=350MPa，p=280MPaE=210GPa.長度l=703mm，直徑d=45mm.最大壓力

Fmax

=41.6kN.規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)為nst

=8-10.試校核其穩(wěn)定性.活塞桿兩端簡化成鉸支解：

=1截面為圓形不能用歐拉公式計算臨界壓力.如用直線公式，需查表得：a=461MPab=2.568MPa可由直線公式計算臨界應(yīng)力.2<<1臨界壓力是活塞的工作安全因數(shù)所以滿足穩(wěn)定性要求.例題5油缸活塞直經(jīng)D=65mm，油壓p=1.2MPa.活塞桿長度l=1250mm，材料為35鋼，s

=220MPa，E=210GPa，[nst]

=6.試確定活塞桿的直經(jīng).pD活塞桿活塞d解：活塞桿承受的軸向壓力應(yīng)為活塞桿承受的臨界壓力應(yīng)為把活塞的兩端簡化為鉸支座.pD活塞桿活塞d用試算法求直徑（1）先由歐拉公式求直徑求得

d=24.6mm.取d=25mm（2）用求得直徑計算活塞桿柔度由于

>1，所以前面用歐拉公式進行試算是正確的.例題6AB的直徑d=40mm，長l=800mm，兩端可視為鉸支.材料為Q235鋼，彈性模量E=200GPa.比例極限p=200MPa，屈服極限s=240MPa，由AB桿的穩(wěn)定條件求[F].（若用直線式a=304MPa，b=1.12MPa

）ABCF0.60.30.8解：取BC

研究ABCF0.60.30.8FN用直線公式[F]=118kN不能用歐拉公式ABCF0.60.30.8綜合圖示結(jié)構(gòu)，桿1、2材料、長度相同，均為l。已知：E=200GPa，l=0.8m，，，經(jīng)驗公式（MPa），若規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)求許可載荷[Q].a=30mmd=32mmABCQ12解：,kNkNkN點C平衡，ABCQ12a=30mmd=32mm注意1、在壓桿計算中，有時會遇到壓桿局部有截面被消弱的情況，如桿上有孔、切槽等。2、由于壓桿的臨界載荷是從研究整個壓桿的彎曲變形來決定的，局部截面的消弱對整個變形影響較小，故穩(wěn)定計算中仍用原有的截面幾何量。3、但強度計算是根據(jù)危險點的應(yīng)力進行的，故必須對削弱了的截面進行強度校核，a、壓桿的穩(wěn)定取決于整個桿件的彎曲剛度；b、對于局部削弱的橫截面，應(yīng)進行強度校核?！?-6

提高壓桿穩(wěn)定性的措施細長壓桿的臨界應(yīng)力與材料的彈性模量E有關(guān)，E較大的材料會獲得較大的臨界應(yīng)力，會提高壓桿的穩(wěn)定性。但是，由于各種鋼材的彈性模量E相差不大，選擇優(yōu)質(zhì)鋼材與普通鋼材相比，并不能明顯提高壓桿的穩(wěn)定性。非細長壓桿的臨界應(yīng)力和材料的強度有關(guān)，選擇強度較高的優(yōu)質(zhì)材料，會明顯地起到提高壓桿穩(wěn)定性的作用。措施1：合理地選用材料措施2、選擇合理的截面形狀由柔度的計算公式可以看出，提高截面慣性半徑i的數(shù)值，就能降低柔度的數(shù)值，從而提高臨界應(yīng)力。因此，在不增加截面面積的情況下，應(yīng)將材料盡可能布置得遠離形心，因而圓環(huán)形截面較實心圓截面合理；用四