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第2章線性變換

在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中起著重要作用的是線性空間到線性空間的映射，并且這些映射有一個(gè)共同點(diǎn)，即保持加法與數(shù)乘兩種運(yùn)算，我們稱(chēng)這樣的映射為線性映射．本章討論線性空間到線性空間的線性映射，著重討論線性空間到自身的線性映射—線性變換，并建立它們和矩陣之間的聯(lián)系

．2.1

線性變換的概念

顯然，線性映射與第１章線性空間中同構(gòu)映射相比，線性映射就是保持線性運(yùn)算的映射，他不要求是雙射，而線性變換是線性空間到自身的線性映射．

2.1.1線性變換的定義2.1.2線性變換的性質(zhì)

注意性質(zhì)3的逆命題不成立，即線性變換可能將線性無(wú)關(guān)向量組變成線性相關(guān)向量組．例如，零變換把任何線性無(wú)關(guān)向量組都變成線性相關(guān)向量組．

2.2

線性變換的運(yùn)算

定理2.2.1

對(duì)于上述加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域上的一個(gè)線性空間．

對(duì)于線性變換，還可以定義下列幾種基本運(yùn)算2.3線性變換的矩陣2.3.1預(yù)備定理2.3.2線性變換的矩陣表示

該定理說(shuō)明，線性空間V中的線性變換T在兩個(gè)不同基下的矩陣是相似的．反過(guò)來(lái)也可以證明，兩個(gè)相似矩陣總可以看成某一線性變換在兩個(gè)不同基下的矩陣．2.4

正交變換與酉變換在內(nèi)積空間中有一種特殊的線性變換，它保持向量的內(nèi)積不變，這種變換稱(chēng)為酉（正交）變換．2.4.1正交矩

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