第五章 頻域分析法

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頻率特性是控制系統(tǒng)在頻域中的一種數(shù)學(xué)模型，是研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種工程方法。

系統(tǒng)頻率特性能間接地揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，可簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，指出系統(tǒng)改進(jìn)方向。

頻率特性可以由實(shí)驗(yàn)確定，這對(duì)于難以建立動(dòng)態(tài)模型的系統(tǒng)來說，很有用處。第五章控制系統(tǒng)的頻域分析2頻率特性的基本概念頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖頻率特性的極坐標(biāo)圖奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定裕度閉環(huán)系統(tǒng)的性能分析本章主要內(nèi)容

3頻率特性的基本概念

頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是系統(tǒng)或元件對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。圖5.1線性時(shí)不變系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

第一節(jié)頻率特性的基本概念4頻率特性的定義

在正弦輸入下，系統(tǒng)的輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入量的復(fù)數(shù)之比。一般用表示。即：5

考察一個(gè)系統(tǒng)的好壞，通常用階躍輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。有時(shí)也用正弦波輸入時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)來分析，但這種響應(yīng)并不是單看某一個(gè)頻率正弦波輸入時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)，而是考察頻率由低到高無數(shù)個(gè)正弦波輸入下所對(duì)應(yīng)的每個(gè)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)盡管不如階躍響應(yīng)那樣直觀，但同樣間接地表示了系統(tǒng)的特性。頻率響應(yīng)法是分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的一個(gè)既方便又有效的工具。6一、頻率特性的定義：

系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)在正弦作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅、相位與所加正弦作用的頻率之間的依賴關(guān)系。

對(duì)于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中，為極點(diǎn)。若：則：7拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點(diǎn)都在s左半平面。當(dāng)，即穩(wěn)態(tài)時(shí)：式中，分別為：8而式中：Rm

、Cm分別為輸入輸出信號(hào)的幅值。上述分析表明，對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個(gè)正弦信號(hào)，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號(hào)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移動(dòng)了。

和都是頻率的函數(shù)。9定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)的相位差為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)的相位移特性；定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與輸入信號(hào)的幅值之比為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)在穩(wěn)態(tài)時(shí)的放大特性；

幅頻特性和相頻特性可在復(fù)平面上構(gòu)成一個(gè)完整的向量 ，它也是的函數(shù)。稱為頻率特性。這里和分別稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性和虛頻特性。

還可將寫成復(fù)數(shù)形式，即10由于這種簡(jiǎn)單關(guān)系的存在，頻率響應(yīng)法和利用傳遞函數(shù)的時(shí)域法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。

頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為：

幅頻特性、相頻特性和實(shí)頻特性、虛頻特性之間具有下列關(guān)系：11[結(jié)論]：當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用代替時(shí)，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。

到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：12[例子]：設(shè)傳遞函數(shù)為：微分方程為：頻率特性為：13

頻率響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)之一在于它可以通過實(shí)驗(yàn)量測(cè)來獲得，而不必推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。事實(shí)上，當(dāng)傳遞函數(shù)的解析式難以用推導(dǎo)方法求得時(shí)，常用的方法是利用對(duì)該系統(tǒng)頻率特性測(cè)試曲線的擬合來得出傳遞函數(shù)模型。此外，在驗(yàn)證推導(dǎo)出的傳遞函數(shù)的正確性時(shí)，也往往用它所對(duì)應(yīng)的頻率特性同測(cè)試結(jié)果相比較來判斷。頻率響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)之二在于它可以用圖來表示，這在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中有非常重要的作用。14

頻率特性的推導(dǎo)是在線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的假設(shè)條件下得出的。如果不穩(wěn)定，則動(dòng)態(tài)過程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)cs(t)，當(dāng)然也就無法由實(shí)際系統(tǒng)直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。但從理論上動(dòng)態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此可以擴(kuò)展頻率特性的概念，將頻率特性定義為：在正弦輸入下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比。所以對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，盡管無法用實(shí)驗(yàn)方法量測(cè)到其頻率特性，但根據(jù)式由傳遞函數(shù)還是可以得到其頻率特性。15工程上常用圖形來表示頻率特性，常用的有：1．極坐標(biāo)圖，也稱奈奎斯特(Nyquist)圖。是以開環(huán)頻率特性的實(shí)部為直角坐標(biāo)橫坐標(biāo)，以其虛部為縱坐標(biāo)，以為參變量的幅值與相位的圖解表示法。2．對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，也稱伯德(Bode)圖。它是由兩張圖組成，以為橫坐標(biāo)，對(duì)數(shù)分度，分別以和作縱坐標(biāo)的一種圖示法。3．對(duì)數(shù)幅相頻率特性圖，也稱尼柯爾斯(Nichols)圖。它是以相位為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)，以為參變量的一種圖示法。二、頻率特性的表示方法：16對(duì)數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖）

它由兩條曲線組成：幅頻特性曲線和相頻特性曲線。波德圖坐標(biāo)（橫坐標(biāo)是頻率，縱坐標(biāo)是幅值和相角）的分度：

橫坐標(biāo)分度：它是以頻率的對(duì)數(shù)值進(jìn)行分度的。所以橫坐標(biāo)（稱為頻率軸）上每一線性單位表示頻率的十倍變化，稱為十倍頻程（或十倍頻），用Dec表示。如下圖所示：由于以對(duì)數(shù)分度，所以零頻率線在處。17

縱坐標(biāo)分度：幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)是以或表示。其單位分別為貝爾（Bl）和分貝（dB）。直接將或 值標(biāo)注在縱坐標(biāo)上。

相頻特性曲線的縱坐標(biāo)以度或弧度為單位進(jìn)行線性分度。

一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個(gè)橫坐標(biāo)（頻率軸）。

當(dāng)幅制特性值用分貝值表示時(shí)，通常將它稱為增益。幅值和增益的關(guān)系為：20151086420增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值18使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)：可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性?？梢詫⒊朔ㄟ\(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算。所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線（漸進(jìn)線）近似表示。對(duì)實(shí)驗(yàn)所得的頻率特性用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達(dá)式。三、對(duì)數(shù)幅相特性曲線（又稱尼柯爾斯圖）

尼柯爾斯圖是將對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性兩條曲線合并成一條曲線。橫坐標(biāo)為相角特性，單位度或弧度?？v坐標(biāo)為對(duì)數(shù)幅頻特性，單位分貝。橫、縱坐標(biāo)都是線性分度。19小結(jié)頻率特性的定義頻率特性與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系各種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系20

5.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制

5.2.1典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線（極坐標(biāo)圖）以角頻率ω為參變量，根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性在復(fù)平面上繪制出的頻率特性叫做幅相特性曲線或頻率特性的極坐標(biāo)圖。它是當(dāng)角頻率ω從0到無窮變化時(shí)，矢量的矢端在平面上描繪出的曲線。曲線是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。21實(shí)頻特性：；虛頻特性：；ReImK⒈比例環(huán)節(jié)：;幅頻特性：；相頻特性：比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為實(shí)軸上的K點(diǎn)。22頻率特性：ReIm⒉積分環(huán)節(jié)的頻率特性：積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為負(fù)虛軸。頻率w從0→∞特性曲線由虛軸的－∞趨向原點(diǎn)。23⒊慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：24極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓，對(duì)稱于實(shí)軸。證明如下：整理得：下半個(gè)圓對(duì)應(yīng)于正頻率部分，而上半個(gè)圓對(duì)應(yīng)于負(fù)頻率部分。25實(shí)頻、虛頻、幅頻和相頻特性分別為：⒋振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：討論時(shí)的情況。當(dāng)K=1時(shí)，頻率特性為：26當(dāng)時(shí)，，曲線在3，4象限；當(dāng) 時(shí)，與之對(duì)稱于實(shí)軸。實(shí)際曲線還與阻尼系數(shù)有關(guān)27由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的。當(dāng)過阻尼時(shí)，阻尼系數(shù)越大其圖形越接近圓。28⒌微分環(huán)節(jié)的頻率特性：

微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：29①純微分環(huán)節(jié)：ReIm微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為正虛軸。頻率w從0→∞特性曲線由原點(diǎn)趨向虛軸的+∞。30②一階微分：ReIm一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為平行于虛軸直線。頻率w從0→∞特性曲線相當(dāng)于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個(gè)單位。31③二階微分環(huán)節(jié)：幅頻和相頻特性為：321極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓。⒍延遲環(huán)節(jié)的頻率特性：傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：331.放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）

放大環(huán)節(jié)的頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻特性為圖5-7放大環(huán)節(jié)的Bode圖相頻特性為如圖所示，是一條與角頻率ω?zé)o關(guān)且與ω軸重合的直線。5.2.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的伯德圖34⒉積分環(huán)節(jié)的頻率特性：頻率特性：可見斜率為－20/dec當(dāng)有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)可見斜率為－40/dec35⒊慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：①對(duì)數(shù)幅頻特性：，為了圖示簡(jiǎn)單，采用分段直線近似表示。方法如下：低頻段：當(dāng)時(shí)，，稱為低頻漸近線。高頻段：當(dāng)時(shí)，，稱為高頻漸近線。這是一條斜率為-20dB/Dec的直線（表示每增加10倍頻程下降20分貝）。

當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻曲線趨近于低頻漸近線，當(dāng)時(shí)，趨近于高頻漸近線。低頻高頻漸近線的交點(diǎn)為：，得： ，稱為轉(zhuǎn)折頻率或交換頻率?？梢杂眠@兩個(gè)漸近線近似的表示慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性。36

②相頻特性：

作圖時(shí)先用計(jì)算器計(jì)算幾個(gè)特殊點(diǎn)：由圖不難看出相頻特性曲線在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中對(duì)于(w0,-45°)點(diǎn)是斜對(duì)稱的，這是對(duì)數(shù)相頻特性的一個(gè)特點(diǎn)。當(dāng)時(shí)間常數(shù)T變化時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當(dāng)增益改變時(shí)，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.437漸近特性精確特性圖5-9慣性環(huán)節(jié)的Bode圖38⒋振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：討論時(shí)的情況。當(dāng)K=1時(shí)，頻率特性為：幅頻特性為：相頻特性為：對(duì)數(shù)幅頻特性為：低頻段漸近線：高頻段漸近線：兩漸進(jìn)線的交點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)折頻率。斜率為-40dB/Dec。39相頻特性：幾個(gè)特征點(diǎn)：由圖可見：對(duì)數(shù)相頻特性曲線在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中對(duì)于(w0,-90°)點(diǎn)是斜對(duì)稱的。對(duì)數(shù)幅頻特性曲線有峰值。40對(duì)求導(dǎo)并令等于零，可解得的極值對(duì)應(yīng)的頻率。該頻率稱為諧振峰值頻率。可見，當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，無諧振峰值。當(dāng)時(shí)，有諧振峰值。當(dāng)，，。因此在轉(zhuǎn)折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數(shù)與實(shí)際曲線可能有很大的誤差。41左圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性圖。上圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對(duì)數(shù)幅頻特性實(shí)際曲線與漸近線之間的誤差曲線。42⒌微分環(huán)節(jié)的頻率特性：

微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：43①純微分：44②一階微分：這是斜率為+20dB/Dec的直線。低、高頻漸進(jìn)線的交點(diǎn)為相頻特性：幾個(gè)特殊點(diǎn)如下相角的變化范圍從0到。低頻段漸進(jìn)線：高頻段漸進(jìn)線：對(duì)數(shù)幅頻特性（用漸近線近似）：45

圖5-10一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖46幅頻和相頻特性為：③二階微分環(huán)節(jié)：低頻漸進(jìn)線：高頻漸進(jìn)線：轉(zhuǎn)折頻率為：，高頻段的斜率+40dB/Dec。相角：可見，相角的變化范圍從0~180度。47

圖5-12二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖48⒍延遲環(huán)節(jié)的頻率特性：傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：495.3.1繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖的步驟將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式；典型環(huán)節(jié)幅頻特性相乘得到系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性，典型環(huán)節(jié)相頻特性相加得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性；如幅頻特性有漸近線，則根據(jù)開環(huán)頻率特性表達(dá)式的實(shí)部和虛部，求出漸近線；最后在G(jω)H(jω)平面上繪制出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖。5.3系統(tǒng)開還頻率特性的繪制50將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積（即串聯(lián)）的形式；如果存在轉(zhuǎn)折頻率，在ω軸上標(biāo)出轉(zhuǎn)折頻率的坐標(biāo)位置；由各串聯(lián)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性疊加后得到系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線；修正誤差，畫出比較精確的對(duì)數(shù)幅頻特性；畫出各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)相頻特性，將它們相加后得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性。

5.3.2繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性伯德圖的步驟51例5－1

繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻與相頻特性曲線。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)52例5－1

繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻與相頻特性曲線。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

開環(huán)由三個(gè)典型環(huán)節(jié)組成，每個(gè)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻與相頻特性均是已知的。將各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻與相頻曲線繪出后，分別相加即得系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻及相頻。53例5－254例5－251234五個(gè)基本環(huán)節(jié)55繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的步驟：1.將開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)闀r(shí)間常數(shù)形式，即2.求各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并標(biāo)在Bode圖的ω軸上。3.過ω=1,L(ω)=20lgK點(diǎn)作一條斜率為-20×υdB/dec的直線，直到第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，或者過，L(ω)=0點(diǎn)作一條斜率為-20×υdB/dec的直線，直到第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，以上直線作為對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段。564.L(ω)的低頻段向高頻段延伸，每經(jīng)過一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，按環(huán)節(jié)性質(zhì)改變一次漸近線的斜率。5.在各轉(zhuǎn)折頻率附近利用誤差曲線進(jìn)行修正，得精確曲線。系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性可以由各環(huán)節(jié)相頻特性疊加的方法繪制。57例5-3

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為58例5-3

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為它由一個(gè)放大環(huán)節(jié)和兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，其對(duì)應(yīng)的頻率特性是幅頻特性和相頻特性分別為591極坐標(biāo)圖當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。當(dāng)ω由零增至無窮大時(shí)，幅值由K衰減至零，相角00變至-1800，且均為負(fù)相角。頻率特性與負(fù)虛軸的交點(diǎn)頻率為，交點(diǎn)坐標(biāo)是。其極坐標(biāo)圖如圖5-13所示。圖5-13開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)圖[G]60

由開環(huán)傳遞函數(shù)知，對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線有兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率和，且，將它們?cè)讦剌S上標(biāo)出（圖5-14）；

在縱坐標(biāo)上找到20lgK的點(diǎn)A，過A點(diǎn)作平行于橫軸的直線AB，這條平行線對(duì)應(yīng)放大環(huán)節(jié)的幅頻特性；在轉(zhuǎn)折頻率處作ω軸的垂線（虛線）交平行線AB于B點(diǎn)，以B為起點(diǎn)作斜率為-20dB/dec的斜線BC，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)折頻率，折線ABC對(duì)應(yīng)放大環(huán)節(jié)K和慣性環(huán)節(jié)的疊加；

圖5－14開環(huán)系統(tǒng)Bode圖L2伯德圖61

在s右半平面上既無極點(diǎn)，又無零點(diǎn)的傳遞函數(shù)，稱為最小相位傳遞函數(shù)；否則，為非最小相位傳遞函數(shù)，具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)。當(dāng)控制系統(tǒng)中包含有純滯后環(huán)節(jié)或存在不穩(wěn)定的小回環(huán)時(shí)，都是非最小相位系統(tǒng)。設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)(a)和(b)，其傳遞函數(shù)

最小相位和非最小相位系統(tǒng)62零、極點(diǎn)分布如圖5-24所示。兩系統(tǒng)的頻率特性分別為

圖5-24(a)和(b)系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖63對(duì)數(shù)頻率特性分別為

（a）和（b）系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性相同，而相頻特性不同，且。如圖5-25所示。

64圖5-25(a)和(b)系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性65

主要內(nèi)容幅角定理奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用在波德圖或尼柯爾斯圖上判別系統(tǒng)穩(wěn)定性

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對(duì)穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。第五節(jié)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)66一、幅角定理：

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，其中： 為前向通道傳遞函數(shù)，為反饋通道傳遞函數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，如下圖所示：令：則開環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(b)67

顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為n階，且分子分母同階。則輔助方程可寫成以下形式：。式中，為F(s)的零、極點(diǎn)。由上頁(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的極點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；F(s)的零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；將閉環(huán)特征方程與開環(huán)特征方程之比構(gòu)成一個(gè)輔助方程，得：……………..(c)68F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對(duì)于此區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn)都可以在F(s)平面上找到一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)，稱為在F(s)平面上的映射。

同樣，對(duì)于s平面上任意一條不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線，也可在F(s)平面上找到一條與之相對(duì)應(yīng)的封閉曲線（為的映射）。[例]輔助方程為：，則s平面上點(diǎn)（-1，j1），映射到F(s)平面上的點(diǎn)為（0，-j1）,見下圖：69同樣我們還可以發(fā)現(xiàn)以下事實(shí)：s平面上曲線映射到F(s)平面的曲線為，如下圖：示意圖

曲線是順時(shí)針運(yùn)動(dòng)的，且包圍了F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0），不包圍其零點(diǎn)（-2）；曲線包圍原點(diǎn)，且逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。再進(jìn)一步試探，發(fā)現(xiàn)：若順時(shí)針包圍F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0）和一個(gè)零點(diǎn)（-2），則不包圍原點(diǎn)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)；若順時(shí)針只包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)（-2），則包圍原點(diǎn)且順時(shí)針運(yùn)動(dòng)。

這里有一定的規(guī)律，就是下面介紹的柯西幅角定理。70[柯西幅角定理]：s平面上不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線包圍s平面上F(s)的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針方向沿封閉曲線移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上相對(duì)應(yīng)于封閉曲線將以順時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，z，p的關(guān)系為：N=z-p。若N為正，表示順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)；若N為0，表示順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，不包圍原點(diǎn)；若N為負(fù)，表示逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)。71二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：

對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于上面討論的輔助方程，其零點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，只要搞清F(s)的的零點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

我們這里是應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的。設(shè)想：

如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面，則根據(jù)柯西幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為：當(dāng)已知開環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí)，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。72這里需要解決兩個(gè)問題：1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性相聯(lián)系？它可分為三部分：Ⅰ部分是正虛軸，Ⅱ部分是右半平面上半徑為無窮大的半圓；；Ⅲ部分是負(fù)虛軸，。第1個(gè)問題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒有零、極點(diǎn)。按順時(shí)針方向做一條曲線包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱為奈魁斯特路徑。如下圖：ⅠⅡⅢ73F(s)平面上的映射是這樣得到的：以代入F(s)并令從 變化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由 ，得第二部分的映射；令從，得第三部分的映射。稍后將介紹具體求法。得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計(jì)算，式中： 是F(s)在s右半平面的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。確定了N，可求出 。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。第2個(gè)問題：輔助方程與開環(huán)頻率特性的關(guān)系。我們所構(gòu)造的的輔助方程為，為開環(huán)頻率特性。因此，有以下三點(diǎn)是明顯的：74②F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于對(duì)(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。奈魁斯特路徑的第Ⅰ部分的映射是曲線向右移1；第Ⅱ部分的映射對(duì)應(yīng)，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱。③F(s)的極點(diǎn)就是的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。①由可求得，而是開環(huán)頻率特性。一般在中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng)時(shí)，，即F(s)=1。（對(duì)應(yīng)于映射曲線第Ⅱ部分）75F(s)與的關(guān)系圖。ⅠⅡⅢ76

根據(jù)上面的討論，如果將柯西幅角定理中的封閉曲線取奈魁斯特路徑，則可將柯西幅角定理用于判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就是下面所述的奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)。[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)]：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有個(gè)極點(diǎn)，且開環(huán)頻率特性曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，（N>0順時(shí)針，N<0逆時(shí)針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：。若，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述]：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：在 平面上的開環(huán)頻率特性曲線極其映射當(dāng)從變化到時(shí)，將以逆時(shí)針的方向圍繞(-1,j0)點(diǎn)圈。對(duì)于開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況，，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)頻率特性曲線極其映射不包圍(-1,j0)點(diǎn)。不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：。77[例5-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。78[例5-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為0，繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個(gè)數(shù)： 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。79[例5-7]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。80[例5-7]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開環(huán)極點(diǎn)為-1，-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時(shí)針圍繞(-1,j2)點(diǎn)2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為： ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。81[例5-8]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和k的關(guān)系。-82[例5-8]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和k的關(guān)系。-[解]：開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個(gè)半徑為，圓心在的圓。顯然，k>=1時(shí)，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k<1時(shí)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。由圖中看出：當(dāng)k>1時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，N=-1，而，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。83當(dāng)k=1時(shí)，奈氏曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)k<1時(shí)，奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，N=0，，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

上面討論的奈魁斯特判據(jù)和例子，都是假設(shè)虛軸上沒有開環(huán)極點(diǎn)，即開環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足柯西幅角定理的條件。但是對(duì)于Ⅰ、Ⅱ型的開環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點(diǎn)）有極點(diǎn)，因此不能使用柯西幅角定理來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題，需要重構(gòu)奈魁斯特路徑。84三、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用：具有開環(huán)0極點(diǎn)系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：

可見，在原點(diǎn)有重0極點(diǎn)。也就是在s=0點(diǎn)，不解析，若取奈氏路徑同上時(shí)（通過虛軸的整個(gè)s右半平面），不滿足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過原點(diǎn)而仍然能包圍整個(gè)s右半平面，重構(gòu)奈氏路徑如下：以原點(diǎn)為圓心，半徑為無窮小做右半圓。這時(shí)的奈氏路徑由以下四部分組成：85Ⅰ部分：正虛軸，，Ⅱ部分為半徑為無窮大的右半圓；Ⅲ部分負(fù)虛軸，，Ⅳ部分為半徑為無窮小的右半圓，下面討論對(duì)于這種奈魁斯特路徑的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常規(guī)的奈氏圖，關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；2、第Ⅱ部分：，。假設(shè)的分母階數(shù)比分子階數(shù)高；3、第Ⅳ部分：(a)對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：ⅠⅡⅢⅣ86(b)對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的整個(gè)圓（順時(shí)針）。所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的右半圓。87[結(jié)論]用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)。[例5-9]設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。88[結(jié)論]用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)。[例5-9]設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：顯然這是1型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。從圖上看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。89[例5-10]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。90[例5-10]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：從圖上可以看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈。因，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。91[特殊情況]：1、若開環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)，這時(shí)應(yīng)將奈氏路徑做相應(yīng)的改變。如下圖：以極點(diǎn)為圓心，做半徑為無窮小的右半圓，使奈氏路徑不通過虛軸上極點(diǎn)（確保滿足柯西幅角定理?xiàng)l件），但仍能包圍整個(gè)s右半平面。映射情況，由于較復(fù)雜，略。2、如果開環(huán)頻率特性曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，說明閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)。92通常，只畫出的開環(huán)奈氏圖，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為：。式中，為變化時(shí)，開環(huán)奈氏圖順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。不包圍(-1,j0)點(diǎn)，0型系統(tǒng)包圍(-1,j0)點(diǎn)，Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的奈魁斯特路徑分別為：93這時(shí)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半平面的極點(diǎn)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)從 時(shí)，頻率特性曲線在實(shí)軸段的正負(fù)穿越次數(shù)差為。

頻率特性曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍情況可用頻率特性的正負(fù)穿越情況來表示。當(dāng)增加時(shí)，頻率特性從上半s平面穿過負(fù)實(shí)軸的段到下半s平面，稱為頻率特性對(duì)負(fù)實(shí)軸的段的正穿越（這時(shí)隨著的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)。反之稱為負(fù)穿越。正穿越負(fù)穿越94四、在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（波德圖）有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：1、奈氏圖上單位圓對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線； 。2、奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的-180度相位線。

奈氏圖頻率特性曲線在上的正負(fù)穿越在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的范圍內(nèi)，當(dāng)增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿過-180度相位線稱為正穿越。因?yàn)橄嘟侵翟黾恿恕７粗Q為負(fù)穿越。95對(duì)照?qǐng)D如下：正穿越負(fù)穿越正穿越負(fù)穿越相角方向?yàn)檎?/p>

增加時(shí)，相角增大對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下：

設(shè)開環(huán)頻率特性在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上幅頻特性的所有頻段內(nèi)，當(dāng)頻率增加時(shí)，對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)-180度線的正負(fù)穿越次數(shù)差為P/2。閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點(diǎn)數(shù)為：，式中為正負(fù)穿越次數(shù)差。若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z>0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。96五、最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)：開環(huán)頻率特性在s右半平面無零點(diǎn)和極點(diǎn)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡(jiǎn)化為：奈氏圖（開環(huán)頻率特性曲線）不包圍(-1,j0)點(diǎn)。因?yàn)槿鬘=0，且P=0，所以Z=0。奈氏圖幅值和相角關(guān)系為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，式中，分別稱為相角、幅值穿越頻率上述關(guān)系在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系:當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，97小結(jié)

柯西幅角定理。滿足該定理的條件。N=z-p

輔助方程。其極點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)，其零點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。幾種描述形式；Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)的奈氏路徑極其映射；最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)；對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上奈氏判據(jù)的描述。對(duì)數(shù)頻率特性圖和奈奎斯特頻率特性圖的關(guān)系。98穩(wěn)定裕度的概念使用穩(wěn)定裕度概念綜合系統(tǒng)本節(jié)主要內(nèi)容：第六節(jié)穩(wěn)定裕度相對(duì)穩(wěn)定性的概念

在工程應(yīng)用中，由于環(huán)境溫度的變化、元件的老化以及元件的更換等，會(huì)引起系統(tǒng)參數(shù)的改變，從而有可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此在選擇元件和確定系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要求系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定程度，這就是所謂自動(dòng)控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性問題。99

當(dāng)頻率特性曲線穿過(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這時(shí)： 。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，可以用 和來表示頻率特性曲線接近(-1,j0)點(diǎn)的程度，或稱為穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度越大，穩(wěn)定性越好。[定義]：和為幅值穩(wěn)定裕度和相位穩(wěn)定裕度。在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，用表示的分貝值。即100顯然，當(dāng)時(shí)，即和時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，和是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生的，所以經(jīng)常只用一種穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。常用相角裕度。[幅值穩(wěn)定裕度物理意義]：穩(wěn)定系統(tǒng)在相角穿越頻率處將幅值增加倍（奈氏圖）或增加分貝（波德圖），則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。若增加的倍數(shù)大于倍（或分貝），則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。比如，若增加開環(huán)放大系數(shù)K，則對(duì)數(shù)幅頻特性曲線將上升，而相角特性曲線不變?？梢?，開環(huán)放大系數(shù)太大，容易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。[相位穩(wěn)定裕度的物理意義]：穩(wěn)定系統(tǒng)在幅值穿越頻率處將相角減小度，則系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定；再減小，就會(huì)變?yōu)椴环€(wěn)定。101[例]設(shè)控制系統(tǒng)如下圖所示k=10和k=100時(shí)，試求系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度。-102[例]設(shè)控制系統(tǒng)如下圖所示k=10和k=100時(shí)，試求系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度。-[解]：相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度可以很容易地從波德圖中求得。當(dāng)k=10時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)波德圖如右所示。這時(shí)系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度大約是8dB和21度。因此系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益可以增加8dB.103相位裕度和幅值裕度的計(jì)算：

相位裕度：先求穿越頻率在穿越頻率處，，所以，解此方程較困難，可采用近似解法。由于較?。ㄐ∮?），所以：穿越頻率處的相角為：相角裕度為：104

幅值裕度：先求相角穿越頻率相角穿越頻率處的相角為：由三角函數(shù)關(guān)系得：所以，幅值裕度為：105當(dāng)增益從k=10增大到k=100時(shí)，幅值特性曲線上移20dB，相位特性曲線不變。這時(shí)系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度分別是-12dB和-30度。因此系統(tǒng)在k=10時(shí)是穩(wěn)定的，在k=100時(shí)是不穩(wěn)定的。106[例5-11]某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示。試確定當(dāng)k=10時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其使相位穩(wěn)定裕度為30度時(shí)的開環(huán)放大系數(shù)k。-107[例5-11]某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示。試確定當(dāng)k=10時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其使相位穩(wěn)定裕度為30度時(shí)的開環(huán)放大系數(shù)k。-[解]：當(dāng)k=10時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：手工繪制波德圖步驟：1、確定轉(zhuǎn)折頻率：10、40，在(1,20log200)點(diǎn)畫斜率為-20的斜線至；2、在之間畫斜率為-40的斜線；3、后畫斜率為-60的斜線。108上圖藍(lán)線為原始波德圖。，顯然閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為了使相位穩(wěn)定裕度達(dá)到30度，可將幅頻曲線向下平移。即將開環(huán)放大系數(shù)減小，這時(shí)相頻特性不變。截止頻率左移至，移到哪里？109

，從圖中看出：。所以原始幅頻曲線向下移動(dòng)的分貝數(shù)為:所以當(dāng)開環(huán)放大系數(shù)下降到15時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度是30度，這時(shí)的幅頻穩(wěn)定裕度為：由圖中看出，所以設(shè)新的開環(huán)放大系數(shù)為，原始的開環(huán)放大系數(shù)為k=200，則有 （討論時(shí)較明顯）。解得：110[穩(wěn)定裕度概念使用時(shí)的局限性]：1、在高階系統(tǒng)中，奈氏圖中幅值為的點(diǎn)或相角為-180度的點(diǎn)可能不止一個(gè)，這時(shí)使用幅值和相位穩(wěn)定裕度可能會(huì)出現(xiàn)歧義；2、非最小相位系統(tǒng)不能使用該定義；3、有時(shí)幅值和相位穩(wěn)定裕度都滿足，但仍有部分曲線很靠近(-1,j0)點(diǎn)，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性依然不好