同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版1-5極限的運(yùn)算法則

第一章二、極限的四則運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則一、無(wú)窮小運(yùn)算法則第五節(jié)極限運(yùn)算法則一、無(wú)窮小運(yùn)算法則命題兩個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小.直觀記憶：0+0=0說(shuō)明:無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小!定理1：有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小.同理可證：三個(gè)無(wú)窮小之和也是無(wú)窮小.用數(shù)學(xué)歸納法可證:直觀記憶：M*0=0這是一個(gè)很有用的性質(zhì)，常用于極限的計(jì)算。回憶一些重要的有界函數(shù)。定理2.有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.4常見(jiàn)的有界函數(shù)5注意：也有界記憶口訣：外函數(shù)有界，復(fù)合函數(shù)必有界。6定理2.有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論1.常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2.有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.注:無(wú)限個(gè)無(wú)窮小的乘積不一定是無(wú)窮小!問(wèn):無(wú)窮大是否有類似的性質(zhì)？以下命題成立？（1）兩個(gè)無(wú)窮大之和也是無(wú)窮大？（2）兩個(gè)無(wú)窮大的積也是無(wú)窮大？（3）無(wú)窮大與有界函數(shù)的和也是

無(wú)窮大？（4）無(wú)窮大與有界函數(shù)的乘積也是無(wú)窮大？（5）無(wú)窮大與無(wú)窮小的乘積是什么？說(shuō)不清楚，有各種可能DP45第4題9定理3

二.極限的四則運(yùn)算法則則若10推論1.推論2.11注意：極限的四則運(yùn)算法則成立的條件為：參與四則運(yùn)算的各項(xiàng)的極限都存在！定理4.

12極限的計(jì)算一些基本極限（已經(jīng)證明或明顯的）13結(jié)論：設(shè)多項(xiàng)式則有14解例2.結(jié)論：設(shè)有理分式函數(shù)則有解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得例3先求其倒數(shù)的極限結(jié)論：解例4消去零因子法例5例5結(jié)論：1.2.3.4練習(xí)23練習(xí)1.解:24解:x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因練習(xí)2.解：

通分練習(xí)3.解:原式練習(xí)4例6解“抓大頭”例6解例6解30為非負(fù)常數(shù))結(jié)論：注:這種極限的結(jié)果只取決于分子和分母中的最大項(xiàng)，其他項(xiàng)對(duì)結(jié)果毫無(wú)影響。

“抓大頭”例7解先變形再求極限.拆項(xiàng)相消例8解(利用無(wú)窮小的性質(zhì))=0三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理6：34解:

令則∴原式=例9.

求

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（變量代換）35練習(xí).

求

分母有理化解:36練習(xí)解:原式=內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)無(wú)窮小運(yùn)算法則(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(要求分母不為