第3講系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2

《控制工程基礎(chǔ)》

BasisofControlEngineering

任課教師：李建民 電話 教學(xué)方式：講授為主

學(xué)習(xí)方式：聽課+自學(xué)三江學(xué)院機械工程學(xué)院第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

教學(xué)要求：（教材第二章）主要內(nèi)容：Laplace變換；微分方程模型；系統(tǒng)模型的線性化；傳遞函數(shù)模型、框圖和信號流圖模型及其化簡。基本要求：掌握控制模型建立、線性化、化簡方法。三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.1引言控制是使被控對象按照我們預(yù)定方式工作控制目的：y(t)r(t)控制要求：快、準、穩(wěn)控制器被控

對象預(yù)期輸出r(t)實際輸出y(t)誤差

e(t)控制量

u(t)+-y(t)e(t)=r(t)-y(t)三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.1引言被控

對象微分方程建模求解微分方程的解分析控制問題是非常復(fù)雜的，解決復(fù)雜問題，更為重要的是思想方法：要善于抓住事物的本質(zhì)，使復(fù)雜問題得到簡化?；締栴}得到解決，次要問題也就能迎刃而解三江學(xué)院機械工程學(xué)院第三次授課內(nèi)容 控制問題的本質(zhì)、如何更加簡潔地描述控制系統(tǒng)？？？物理系統(tǒng)的微分方程模型微分方程的線性化線性微分方程的解物理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.3物理系統(tǒng)的微分方程模型例1：質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的動力學(xué)方程質(zhì)量M彈簧k摩擦r(t)牽引力系統(tǒng)輸入為：

牽引力r(t)系統(tǒng)輸出為：

物體M的位置y(t)三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.3物理系統(tǒng)的微分方程模型解：1)設(shè)y(t)表示物體M的位置，由牛頓第三定律，有2)物體M所受合力為：牽引力、彈簧拉力和摩擦力的疊加，有3)彈簧拉力與彈簧伸長成正比，方向相反，k為彈簧彈性系數(shù)，有假設(shè)y=0時，彈簧處于自然伸長狀態(tài)三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.3物理系統(tǒng)的微分方程模型解：4)假設(shè)摩擦力與物體速度成正比，方向相反，有5)所以，物體M運動方程為：6)整理后，有三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.3物理系統(tǒng)的微分方程模型例2：電阻—電感—電容電路(RLC電路)Lr(t)C+-電流源RA系統(tǒng)輸入為：電流源電流r(t)系統(tǒng)輸出為：

A點電壓VA(t)三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.3物理系統(tǒng)的微分方程模型電阻、電感、電容的特性LCR三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.3物理系統(tǒng)的微分方程模型例2：電阻—電感—電容電路(RLC電路)Lr(t)C+-電流源RA系統(tǒng)輸入為：電流源電流r(t)系統(tǒng)輸出為：

A點電壓VA(t)三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.3物理系統(tǒng)的微分方程模型解：(1)A點流入的電流與流出的電流相等(2)由電阻、電感、電容的特性，有(3)系統(tǒng)微分方程為三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.3物理系統(tǒng)的微分方程模型例子3：單擺系統(tǒng)非線性方程：θ質(zhì)量M長度L非線性方程的求解非常困難三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.3物理系統(tǒng)的微分方程模型解:(1)在轉(zhuǎn)動系統(tǒng)中，與牛頓第三定律相對應(yīng)，也有類似定律：(2)其中J為轉(zhuǎn)動慣量，與質(zhì)量相對應(yīng)，有(3)為重力引起的轉(zhuǎn)動力矩，有三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.3物理系統(tǒng)的微分方程模型解:(4)所以，單擺的動力學(xué)方程為：(5)整理后，得到其中L為繩長，g為重力加速度三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.3物理系統(tǒng)的微分方程模型例4Lorenz方程：蝴蝶效應(yīng)----混沌系統(tǒng)南美亞馬遜叢林中的一支蝴蝶輕輕煽動了一下翅膀，卻引起了……三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.3物理系統(tǒng)的微分方程模型

世界的本質(zhì)是非線性的，物理系統(tǒng)一般采用非線性微分方程來描述。然而非線性微分方程的求解非常困難，不一定有解析解，甚至不一定有解。 控制問題的復(fù)雜性源于世界的復(fù)雜性。 在大多數(shù)情況下，線性微分方程是對真實世界的一種很好的近似描述方法。線性微分方程具有非常成熟的解的理論，因此成為控制理論的重要基礎(chǔ)。三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化1線性系統(tǒng)的定義

同時滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)系統(tǒng)輸入x輸出y(x)三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化疊加性：系統(tǒng)輸入x1輸出y1輸入x2輸出y2對于任意的輸入x1，x2而言，有(1)輸入為x1時,系統(tǒng)輸出為y1；(2)輸入為x2時,系統(tǒng)輸出為y2；如果當輸入為x1+x2時，系統(tǒng)輸出滿足：

y(x1+x2)=y1+y2則稱系統(tǒng)滿足疊加性。三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化齊次性：系統(tǒng)輸入x輸出y輸入x輸出y對于任意的輸入x和任意的常數(shù)而言，有1、若輸入為x,系統(tǒng)輸出為y(x)；2、若輸入為x，系統(tǒng)輸出滿足：y(x)=y(x)則稱系統(tǒng)滿足齊次性。三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化例1：線性系統(tǒng)判別y=x2輸入x輸出y(x)(1)疊加性判別：(2)齊次性判別：三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化例2：線性系統(tǒng)判別y=mx+b輸入x輸出y(x)(1)疊加性判別：(2)齊次性判別：三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化例2+：線性系統(tǒng)判別y=mx輸入x輸出y(x)(1)疊加性判別：(2)齊次性判別：三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化例3：線性系統(tǒng)判別輸入x輸出y(x)(1)疊加性判別：(2)齊次性判別：三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化例4：線性系統(tǒng)判別輸入x輸出y(x)(1)疊加性判別：(2)齊次性判別：三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化2線性化方法：質(zhì)量M彈簧k摩擦r(t)牽引力第一種方法：直接用線性模型對對象進行建模。例如：彈簧力的建模三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化2線性化方法：質(zhì)量M彈簧k摩擦r(t)牽引力第一種方法：直接用線性模型對對象進行建模。例如：摩擦力的建模三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化2線性化方法：第一種方法：直接用線性模型對對象進行建模。LCR三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化線性化第二種方法：對已經(jīng)用非線性建模的系統(tǒng)，可以對其進行小信號線性化。也就是用最貼近的線性模型來代替非線性模型。工作點x0輸入x輸出y三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化忽略泰勒展開的高階項，則(x-x0)和(y-y0)之間是線性關(guān)系。這里y0=f(x0)令x=x-x0和y=y-y0，則對系統(tǒng)而言，小信號輸入與輸出間是線性關(guān)系三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化在信號幅值變化不是很大情況下，小信號線性模型是對非線性模型的良好近似。所以工作點x0輸入x輸出y輸入x輸出y非線性模型小信號模型三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化例5：小信號線性建模工作點x0=1輸入x輸出y非線性模型輸入x輸出y小信號線性模型三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化例5：小信號線性建模三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.4微分方程模型的線性化例6：單擺系統(tǒng)非線性方程：線性方程：θ質(zhì)量M長度L三江學(xué)院機械工程學(xué)院1系統(tǒng)微分方程的解例1：考慮下述微分方程所描述的系統(tǒng)：初始條件為。輸入激勵r(t)=1(t)。

2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)r(t)y(t)三江學(xué)院機械工程學(xué)院解：(1)對微分方程每一項，進行Laplace變換(2)其中

線性微分方程求解三江學(xué)院機械工程學(xué)院解：(3)對方程(1)合并同類項，得線性微分方程求解(4)其中方程(3)等式右邊，第一項是初始條件的影響，第二項為輸入對系統(tǒng)的影響。等式左邊的多項式稱為微分方程的特征多項式，其決定了微分方程解的結(jié)構(gòu)。三江學(xué)院機械工程學(xué)院線性微分方程求解解：(5)代入初始條件，整理得(6)部分分式展開，得三江學(xué)院機械工程學(xué)院線性微分方程求解(7)所以：(8)y(t)由兩項組成，第一項為初始條件的影響，第二項為輸入的影響。三江學(xué)院機械工程學(xué)院在求解微分方程的過程中，可以有如下結(jié)論：由微分方程決定的系統(tǒng)特征多項式，決定了解的結(jié)構(gòu)特征方程即特征多項式等于0，其解即為特征根求解微分方程的目的，不在于多么精確地求解微分方程，而要善于抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，弄清微分方程的本質(zhì)。例如本系統(tǒng)的輸入——輸出關(guān)系，完全可以用如下的傳遞函數(shù)加以刻畫。線性微分方程求解三江學(xué)院機械工程學(xué)院1微分方程的解特征多項式：特征方程：特征根：微分方程解的構(gòu)型：2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三江學(xué)院機械工程學(xué)院1微分方程的解2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)r(t)y(t)對于描述系統(tǒng)的微分方程而言，其解的結(jié)構(gòu)由特征方程給出。或者換句話說就是：線性微分方程的本質(zhì)就是特征方程（代數(shù)方程）。微分方程：特征方程：三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.代數(shù)方程的解(1)解一元二次方程顯然：有兩個解,為：三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.代數(shù)方程的解(2)解一元二次方程顯然，直接套用求根公式，有：三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)其中i為虛數(shù)單位:顯然，線性代數(shù)方程的復(fù)根必然成對出現(xiàn)（關(guān)于實軸對稱）。-1/2實軸虛軸x1x2三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.代數(shù)方程的解(3)高階線性代數(shù)方程的解n階代數(shù)方程，必有n個根。復(fù)根必然成對出現(xiàn)(關(guān)于實軸對稱)。三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例如：3階線性代數(shù)方程的解

-1實軸虛軸x2x3x1有：三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)然而，3階以上的一般線性代數(shù)方程非常難解：例如三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(4)微分方程的解特征根決定了微分方程解的結(jié)構(gòu)：三江學(xué)院機械工程學(xué)院(4)微分方程的解2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)r(t)y(t)精確求解微分方程并不是控制理論的主要目的，通過求解來把握系統(tǒng)本質(zhì)才是根本。利用微分方程來描述系統(tǒng)還是過于復(fù)雜，可以嘗試利用特征方程來簡化對系統(tǒng)的描述。三江學(xué)院機械工程學(xué)院線性系統(tǒng)輸入r(t)輸出y(t)2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三江學(xué)院機械工程學(xué)院線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為輸出變量的拉普拉斯變換與輸入變量的拉普拉斯變換之比。輸入、輸出變量的初值都假定為零。2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)輸入R(s)輸出Y(s)三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由于傳遞函數(shù)不考慮初始條件，所以實微分定理簡化為：微分算子三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)實積分定理簡化為：積分算子三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)質(zhì)量

M

k

摩擦

r(t)

牽引力

y直接將微分用s代替，就能將微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)閭鬟f函數(shù)：例如三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Lr(t)C+-電流源RA直接將微分用s代替，積分用1/s代替，就能將微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)閭鬟f函數(shù)：三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 電阻、電感、電容的特性RLC可以把電感、電容都看成電阻，電感的阻抗為Ls，電容的阻抗為1/Cs三江學(xué)院機械工程學(xué)院2.5線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Lr(t)C+-電流源RA電感、電容都建模為阻抗三江學(xué)院機械工程學(xué)院2