選擇性必修一-二三知識點匯編

選擇性必修一第一章空間向量與立體幾何一、共線向量、共面向量定理1.共線向量定理:對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使a=λb.2.共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.二、空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.三、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).運(yùn)算坐標(biāo)表示加法a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)減法a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)數(shù)乘λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R數(shù)量積a·b=a1b1+a2b2+a3b32.空間向量常用結(jié)論的坐標(biāo)表示設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).結(jié)論坐標(biāo)表示共線a∥b(b≠0)?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)垂直a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0向量長度|a|=a·a向量夾角公式cos<a,b>=a·b3.空間兩點間的距離公式設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點,則P1P2=|P1P2四、空間向量1.設(shè)直線l,m的方向向量分別為μ,v,平面α,β的法向量分別為n1,n2,則線線平行l(wèi)∥m?μ∥v?μ=λv,λ∈R線面平行l(wèi)∥α?μ⊥n1?μ·n1=0面面平行α∥β?n1∥n2?n1=λn2,λ∈R線線垂直l⊥m?μ⊥v?μ·v=0線面垂直l⊥α?μ∥n1?μ=λn1,λ∈R面面垂直α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0線線夾角l,m的夾角θ∈0,π2,cosθ線面夾角l,α的夾角為θ∈0,π2,sinθ面面夾角α,β的夾角為θ∈0,π2,cosθ2.點到直線的距離設(shè)AP=a,則向量AP在直線l上的投影向量AQ=(a·u)u,點P到直線l的距離PQ=|AP|23.點到平面的距離已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點,P是平面α外一點,過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離PQ=AP·n|n|第二章直線和圓的方程一、直線的傾斜角與斜率1.直線的傾斜角定義當(dāng)直線l與x軸相交時,我們以x軸為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角規(guī)定當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0°范圍[0,π)2.直線的斜率定義當(dāng)直線l的傾斜角α≠π2時,其傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k=tan斜率公式經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k=y3.直線的方向向量直線的方向向量設(shè)A,B為直線上的兩點,則AB就是這條直線的方向向量方向向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),則直線AB的一個方向向量為AB=(x2-x1,y2-y1)方向向量與斜率若直線l的斜率為k,則直線l的一個方向向量為(1,k)4.兩條直線平行和垂直的判定對于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2.位置關(guān)系判定特例平行l(wèi)1∥l2?k1=k2直線l1,l2的斜率都不存在時,l1與l2平行垂直l1⊥l2?k1k2=-1一直線斜率為零,另一直線斜率不存在時,兩條直線垂直二、直線的方程直線方程的五種形式及適用范圍:名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y=kx+b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y-y0=k(x-x0)兩點式過兩點y?y1與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式橫、縱截距xa+y不過原點且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直線

三、直線的交點坐標(biāo)與距離公式1.兩條直線的交點坐標(biāo)直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共點的坐標(biāo)就是方程組A1x位置關(guān)系方程組的解的個數(shù)相交方程組有唯一解,交點坐標(biāo)就是方程組的解平行方程組無解重合方程組有無數(shù)個解2.距離公式距離類型已知幾何元素距離公式兩點間的距離兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)|P1P2|=(點到直線的距離點P0(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0d=|A兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0d=|四、圓的方程圓的定義圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合圓的方程標(biāo)準(zhǔn)式(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心坐標(biāo):(a,b)半徑為r一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圓心坐標(biāo):-半徑r=1五、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系判斷;(2)代數(shù)法:將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程,利用判別式Δ判斷.位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d<rΔ>0相切d=rΔ=0相離d>rΔ<02.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(方法位置關(guān)系幾何法:根據(jù)圓心距d=|O1O2|與r1+r2或|r1-r2|的大小關(guān)系進(jìn)行判斷代數(shù)法:根據(jù)兩圓方程組成的方程組解的個數(shù)進(jìn)行判斷外離d>r1+r2無解外切d=r1+r2一組實數(shù)解相交|r1-r2|<d<r1+r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d=|r1-r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)無解第三章圓錐曲線的方程一、橢圓1.橢圓的定義定義平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距符號語言集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)軌跡類型a>c點M的軌跡為橢圓a=c點M的軌跡為線段a<c點M不存在2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2by2a2+x2b圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤b對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸;對稱中心:原點頂點坐標(biāo)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a,a為長半軸長;短軸B1B2的長為2b,b為短半軸長焦距|F1F2|=2c離心率e=ca,e∈(0,1),其中c=a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2二、雙曲線1.雙曲線的定義定義平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距符號語言集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù),且a>0,c>0軌跡類型a<c點M的軌跡為雙曲線(不含絕對值時為雙曲線的一支)a=c點M的軌跡為兩條射線(不含絕對值時為一條射線)a>c點M不存在2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2by2a2-x2b圖形性質(zhì)范圍x≤-a或x≥a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸對稱中心:原點頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)漸近線y=±bay=±ab離心率e=ca,e∈(1,+∞),其中c=軸實軸A1A2的長為2a,a為實半軸長;虛軸B1B2的長為2b,b為虛半軸長a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2三、拋物線1.拋物線的定義定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線符號語言集合P={M||MF|=d}(d為點M到準(zhǔn)線l的距離)特例當(dāng)F∈l時,動點M的軌跡是過F點垂直于l的直線2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準(zhǔn)線l的距離性質(zhì)頂點O(0,0)對稱軸y=0x=0焦點FpF-F0,F0,?離心率e=1準(zhǔn)線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下選擇性必修二一、等差數(shù)列1.概念:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,即an+1-an=d(n∈N*,d為常數(shù)).2.等差中項:由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時,A叫做a與b的等差中項,且2A=a+b.3.通項公式:等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則其通項公式為an=a1+(n-1)d.4.前n項和公式:Sn=n(a1+an)2=na1+5.性質(zhì):(1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(m,n∈N*).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則有am+an=ap+aq.(3)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差數(shù)列.(4)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).(5)在等差數(shù)列{an}中,若a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值.二、等比數(shù)列1.概念:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.2.等比中項:如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項.此時,G2=ab.3.通項公式:等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,則其通項公式為an=a1qn-1.4.前n項和公式:Sn=n5.性質(zhì):(1)通項公式的推廣:an=amqn-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則有ak·al=am·an.(3)當(dāng)q≠-1或q=-1且n為奇數(shù)時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比數(shù)列,其公比為qn.三、求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=1f(x)=lnxf'(x)=12.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則已知兩個函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù)分別為f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,則有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)f(x)g(x)'=3.簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=y'u·u'x.四、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)一般地,函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系:在某個區(qū)間(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增;在某個區(qū)間(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f'(x0)=0x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0圖象極值f(x0)為極大值f(x0)為極小值極值點x0為極大值點x0為極小值點3.函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(1)如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.(2)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的最小值.(3)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:①求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.選擇性必修三一、計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.3.排列與排列數(shù)(1)排列一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.(2)排列數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號Anm4.組合與組合數(shù)(1)組合一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.(2)組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號Cnm5.二項式定理(1)二項式定理:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnn(2)二項展開式的通項:Tk+1=Cnkan-kbk,通項為展開式的第k6.各二項式系數(shù)的和(1)(a+b)n的展開式的各二項式系數(shù)的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn(2)在(a+b)n的展開式中,偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即Cn1+Cn3+Cn5+…=Cn0二、隨機(jī)變量及其分布1.條件概率一般地,設(shè)A,B為兩個隨機(jī)事件,且P(A)>0,則稱P(B|A)=P(AB)P(A對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A),稱此公式為概率的乘法公式.2.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B?Ω,有P(B)=∑i=1nP(Ai)P(