5.3 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 -(人教A版2019選擇性必修第二、三冊)(教師版)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)，若f'(x)>0，則函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若f'(x)<0，則函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．2若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，則?x∈a,b,f'x≥0(含等號解釋假如存在一區(qū)間(c,d)?(a,b)內(nèi)使得f'x=0，那原函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(c,d)內(nèi)恒等于一個常數(shù)，即fx=m(m是個常數(shù)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減有類似結(jié)論！【題型一】不含參函數(shù)的單調(diào)性【典題1】函數(shù)f(x)的定義域為R，且圖象如圖所示，則不等式xf'(x)<0的解集為.【解析】由圖可知，f(x)在(－∞,-12)和∴當(dāng)x∈(－∞,-12)∪(1∵不等式xf'(x)<0可等價于x>0f'(x)<0或x<0∴當(dāng)x>0時，有x∈(-12當(dāng)x<0時，有x∈(－∞,綜上所述，不等式的解集為(－【點撥】由原函數(shù)y=f(x)圖像判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，繼而得到導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)性(導(dǎo)函數(shù)的穿線圖)，再看圖易得不等式解集.注意原函數(shù)的趨勢圖與導(dǎo)函數(shù)的穿線圖之間的轉(zhuǎn)化.【典題2】若函數(shù)f(x)=－x3+ax2+4x【解析】f(x)=－x3若f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，則－3x2+2ax+4≥0在(0,2)方法一分離參數(shù)法要(*)成立等價于a≥3x2-令g(x)=3x2-則g'(x)=32+2x故g(x)<g(2)=2，故a≥2，方法二數(shù)形結(jié)合法令tx=－結(jié)合圖像可知若要(*)成立，只需要t2【點撥】①若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，則?x∈a,b,f'x≥0(含等號②處理恒成立問題，方法多樣，比如直接轉(zhuǎn)化為最值問題，利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為最值問題，數(shù)形結(jié)合等.【典題3】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且對任意實數(shù)x都有f(x)+f'(x)>1，則不等式exf(x)>ex【解析】設(shè)g(x)=ex則g'故g(x)在R上單調(diào)遞增，因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，所以g(0)=－而不等式exfx又∵g(x)在R上單調(diào)遞增，∴x>0．【點撥】本題屬于構(gòu)造函數(shù)題型，如何構(gòu)造呢？角度有二①從已知條件fx+思考某函數(shù)g(x)'這需要熟悉求導(dǎo)法則的逆運用，下表舉例供參考(其中c是常數(shù))：(1)f'x+h'(x)(2)xf'(x)+f(x)形式，構(gòu)造函數(shù)(3)xf'(x)+nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)(4)xf'(x)(5)f'(6)f'形式多樣，不需要死記，要靈活運用，本題可利用第(5)個例子.②從求證入手，要求不等式exf(x)>ex－1，變形得【典題4】求函數(shù)f(x)=x2【解析】函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞)，(注意定義域)由f(x)=x2-1令g(x)=x－lnx－令g'(x)>0，解得x>1，令g'(x)<0，解得0<x<1，故g(x)在(0,1)遞減，在(1,故f'(x)≥f'(1)=0，故f(x)在(0,+∞)遞增，無遞減區(qū)間.【點撥】①本題其實是對原函數(shù)進(jìn)行了“二次求導(dǎo)”，思路可以如下求原函數(shù)f(x)=x?分析導(dǎo)函數(shù)f'(x)=x－lnx－1的正負(fù)性(?若能畫出導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖像一切就清楚，那就再分析y=x②原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性相關(guān)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性利用注重導(dǎo)函數(shù)的零點問題；③lnx≤x-1是個重要的不等式.鞏固練習(xí)1(★)已知定義在區(qū)間(－2,2)上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，若函數(shù)f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式f'(x)x+1【答案】(－2，－1)∪(－1，1)【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系可知，－2<x<－1，1<x<2時，函數(shù)單調(diào)遞減，此時f′(x)<0，當(dāng)－1<x<1時，函數(shù)單調(diào)遞增，此時f′(x)>0，由不等式f'(x)x+1>0可得，(x+1)f′(x解可得，－1<x<1或－2<x<－1，故不等式的解集(－2，－1)∪(－1，1)．2(★★)已知x>0，a=x，b=x-x22，c=ln(1+x)A．c<b<a B．b<a<c C．c<a<b D．b<c<a【答案】D【解析】令f(x)=a－c=x－ln(x+1)，x>0，f′(x)=1-11+x∴函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)>f(0)=0，可得a>c．令g(x)=c－b=ln(x+1)－x+x22，x∈(0，+∴g′(x)=11+x-1+x∴函數(shù)g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)>g(0)=0．∴c>b．綜上可得：a>c>b．故選：D．3(★★)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=3，對?x∈R恒有f'(x)<2，則f(x)≥2x+1的解集為(A．[1,+∞) B．(－∞,1] C．(1,+∞) D．【答案】B【解析】令F(x)=f(x)－2x－1，則F′(x)=f′(x)－2，又∵對?x∈R恒有f′(x)<2，∴F′(x)=f′(x)－2<0恒成立，∴F(x)=f(x)－2x－1是R上的減函數(shù)，又∵F(1)=f(1)－2－1=0，∴當(dāng)x≤1時，F(xiàn)(x)≥F(1)=0，即f(x)－2x－1≥0，即不等式f(x)≥2x+1的解集為(－∞，1]．故選：B．4(★★)已知函數(shù)f(x)=x2－xsinx，若a=f(log0.23)A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．b>c>a【答案】B【解析】函數(shù)f(x)=x2－xsinx=x(x－sinx)，設(shè)g(x)=x－sinx，x∈(0，+∞)，則g'(x)=1－cosx≥0在(0，+∞)恒成立，∴函數(shù)g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)>g(0)=0，即函數(shù)g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且g(x)>0，又∵函數(shù)y=x在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且y>0，∴函數(shù)f(x)=x2－xsinx=x(x－sinx)，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且f(x)>0，又∵f(－x)=(－x)2－(－x)sin(－x)=x2－xsinx=f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴a=f(log0.23)=f(－log53)=f(log53)，b=f(log30.2)=f(－log35)=f(log35)，∵log55<log53<log55，∴12∴l(xiāng)og又∵函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴f(log即b>a>c，故選：B．5(★★★)若函數(shù)f(x)=sin2x－4x－msinx在[0,2π]上單調(diào)遞減，則實數(shù)mA．(－2，2) B．[－2，2] C．(－1，1) D．[－1，1]【答案】B【解析】依題意，f(x)=2sinxcosx－4x－msinx，所以f′(x)=2(2cos2x－1)－4－mcosx=4cos2x－mcosx－6≤0對?x∈[0，2π]恒成立．設(shè)t=cosx∈[－1，1]，g(t)=4t2－mt－6，則g(t)≤0在[－1，1]上恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)得g(解得－2≤m≤2，故選：B．6(★★★)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)>0，f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且2f(x)<xf'(x)<3f(x)對x∈(0,+∞)恒成立，則f(2)f(3)的取值范圍是(A．(827,49) B．(-∞,8【答案】A【解析】令g(x)=f(x)x2∴g(x)在(0，+即f(2)22<f(3)3令h(x)=f(x)x∴函數(shù)h(x)在(0，+即f(2)23>f(3)3綜上827故選：A．7(★★★)求函數(shù)fx=【答案】函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，【解析】f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=ex－1－lnx－1，f″因為f''(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且f''(1)=0，所以當(dāng)x∈(0，1)時，f''(x)<0，f'(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，+∞)時，f''(x)>0，f'(x)單調(diào)遞增，從而當(dāng)x∈(0，+∞)時，f'(x)≥f'(1)=0，f(x)單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+∞)【題型二】含參函數(shù)的單調(diào)性【典題1】討論fx=【解析】y=f(x)的定義域為0,+∞，(注意函數(shù)的定義域) f'x=- 令gx=x-1ax+a-1,x∈0,+∞(第一步：討論函數(shù)類型)(1)當(dāng)a=0時，gx 當(dāng)x∈(0,1)時，gx>0，即f' 當(dāng)x∈(1,+∞)時，gx<0，即f'(2)當(dāng)a≠0時，令gx=0，解得(第二步：討論二次函數(shù)開口方向)①當(dāng)a<0時，拋物線gx由于1a-1<0(留意導(dǎo)函數(shù)零點和定義域端點0 x∈(0,1)時，gx>0，即f' x∈1,+∞時，gx<0，即f'②當(dāng)a>0時，拋物線gx(第三步：比較導(dǎo)函數(shù)零點大小)(i)當(dāng)a=12時，x1=此時f'x≥0，函數(shù)f(ii)當(dāng)0<a<12 x∈(0,1)時，gx>0，即f' x∈(1,1a-1)時，gx<0 x∈(1a-1,+∞)時，g(ⅲ)當(dāng)1x∈0,1a-1時， x∈(1a-1,1)時，gx<0x∈1,+∞時，gx>0，即f(ⅳ)當(dāng)a≥1時，1a-1≤0，x2<0<x∈(0,1)時，gxx∈1,+∞時，gx>0，即f綜上所述： 當(dāng)a≤0時，函數(shù)fx在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞) 當(dāng)a=12時，函數(shù)fx 當(dāng)0<a<12時，函數(shù)fx在0,1,(1a當(dāng)12<a<1時，函數(shù)fx在0,當(dāng)a≥1時，函數(shù)fx在(0,1)單調(diào)遞減,在1,+∞單調(diào)遞增【點撥】①原函數(shù)的單調(diào)性等價于導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，我們注重導(dǎo)函數(shù)是否存在零點，零點的個數(shù)，零點的大小等；②求導(dǎo)后，通分、因式分解是個好習(xí)慣，f'x=-③本題分類討論思路討論函數(shù)類型④在第二，第三步討論中，要注意導(dǎo)函數(shù)零點和定義域端點0的大小.⑤在討論繁瑣時，建議以思維導(dǎo)圖形式，畫“導(dǎo)函數(shù)圖像”梳理思路，并畫上對應(yīng)每個分類討論步驟中導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的草圖.【典題2】已知函數(shù)f(x)=ex－【解析】f'x(1)若a≤0時，ex-a>0，由e當(dāng)x<ln2時，f'x<0；當(dāng)x>ln2，故f(x)在(－∞,ln2)遞減，在(ln2,+∞)(2)若a>0，由f'x=0，解得x①當(dāng)0<a<2時，x2當(dāng)lna<x<ln2時，f'x<0；當(dāng)x>ln2或x<lna故f(x)在(lna,ln2)遞減，在(－∞,lna)，②當(dāng)a=2時，x2=x1，f'x≥0③當(dāng)a>2時，x1當(dāng)ln2<x<lna時，f'x<0；當(dāng)x>lna或x<ln2時，故f(x)在(ln2,lna)遞減，在(－綜上：當(dāng)a≤0，f(x)在(－∞,ln2)遞減，在當(dāng)0<a<2時，f(x)在(lna,ln2)遞減，在(－當(dāng)a=2時，f(x)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a>2時，f(x)在(ln2,lna)遞減，在(－【點撥】①令gx=(ex-2)(ex若令gx=0，解得x=ln2或因為當(dāng)a>0時lna才有意義，故要按照a>0和a≤0分類討論；②若a>0時，零點有兩個x1=ln2或x2由于y=ex-2所以gx=(ex-2)③分類討論思維導(dǎo)圖如下討論導(dǎo)函數(shù)零點個數(shù)分類討論有兩點較難的地方(1)分類的“不漏不重”:把每段分類看成一個集合，每兩個集合間交集為空集即為“不重”，所有集合的并集是全集即為“不漏”；(2)分類的標(biāo)準(zhǔn):在利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)性，歸納成以下方法，僅供參考理解，導(dǎo)函數(shù)是否存在零點；若有零點，有幾個？有兩個以上，再比較零點大?。涣泓c與定義域端點的大小比較.整個分類討論的思考過程，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的圖像進(jìn)行分析能讓思路更清晰.【典題3】設(shè)函數(shù)fx=ex【解析】f'x令函數(shù)g(x)=f'x，則令g'x>0，解得：x>0，令g故g(x)在(－∞,0)遞減，在故gx當(dāng)a≤1時，gxmin=1－a≥0當(dāng)a>1時，gx易知當(dāng)x→－∞時，g(x)→+∞，當(dāng)x→+∞時，由零點存在性定理知：存在x1,x不妨設(shè)x1當(dāng)x∈(－∞,x當(dāng)x∈(x1,當(dāng)x∈(x2,+∞)故函數(shù)f(x)在(－∞,x1)遞增，在綜上，當(dāng)a≤1時，f(x)在R是單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，f鞏固練習(xí)1(★★)求函數(shù)f(x)=alnx－ax－【解析】易知，函數(shù)的定義域為(0，+∞)，因為f'若a=0，則f'若a>0，當(dāng)x∈(0，1)時，當(dāng)x∈[1，+∞若a<0，當(dāng)x∈(0，1)時，當(dāng)x∈[1，+∞2(★★)求函數(shù)f(x)=ax2+(2－【解析】依題意，函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，f′(x)=2ax+2-a①a<0時，l令2ax2+2－a=0，可得x2=a-22ax=a-22a，(負(fù)值舍去當(dāng)x∈(0，a-22a)時，f'(x)>0，當(dāng)x∈(a-22a，+∞)時，f'(故函數(shù)f(x)在(0，a-22a)上單調(diào)遞增，在(a-22a，+∞②0≤a≤2時，f'(x)>0恒成立，函數(shù)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，③a>2時，當(dāng)x∈(0，a-22a)時，f'(x)<0，當(dāng)x∈(a-22a，+∞)時，f故函數(shù)f(x)在(0，a-22a)上單調(diào)遞減，在(a-22a，+∞綜上，a<0時，函數(shù)f(x)在(0，a-22a)上單調(diào)遞增，在(a-22a，+∞)0≤a≤a>2時，函數(shù)f(x)在(0，a-22a)上單調(diào)遞減，在(a-22a，+∞3(★★★)求函數(shù)f(x)=-12【解析】(1)f′(x)=－a(x－1)+(x－1)ex=(x－1)(ex－a)，∵a>0，由f′(x)=0可得x=1或x=lna，(i)當(dāng)0<a<e時，1>lna，在(1，+∞)，在(lna，1)上，f'(ii)當(dāng)a=e時，lne=1，f'(x)>0在R上恒成立，即f(x)在(iii)當(dāng)a>e時，lna>1，在(lna，+∞)，在(1，lna)上，f'【題型三】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【典題1】已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eA．c<b<a B．b<c<a C．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c【解析】根據(jù)題意，設(shè)f(x)=exx，(a<5且ae5=5eab<4且be4=4ebc<3且ce3=3ecf(x)=exx在區(qū)間(0,1)上，f'(x)<0，則f(x)為減函數(shù)，在區(qū)間(1,+∞)上，f'(x)>0，則f(x)為增函數(shù)，其草圖如圖，則有0<a<b<c<1，故選：D．【點撥】①本題通過構(gòu)造函數(shù)再利用單調(diào)性判斷大小.如何構(gòu)造函數(shù)呢？通過變形尋找“相似結(jié)構(gòu)”為關(guān)鍵，ae5=5ea下面再舉些例子：(1)x-ey(2)lnx1(3)mn>nm(4)x1x2<或者兩邊平方得x1(5)alna>beb通過變形lna?elna>b②f(x)=ex【典題2】已知0<α<β<π2，則下列不等式中恒成立的是(A．αα<ββ B．αα≤【解析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnxx，則令f'(x)>0，解得0<x<e，令f'(x)<0，解得x>e，∴函數(shù)f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，+∞)上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)在(0,π∴f(α)<f(β)，即lnαα∴βlnα<αlnβ，即lnα故選：D．【點撥】①遇到“指數(shù)型函數(shù)”可兩邊取對數(shù)找到需要構(gòu)造的函數(shù).②對于選項αα<ββ左右式子“結(jié)構(gòu)相似”可構(gòu)造函數(shù)gx=xx,但這函數(shù)復(fù)雜故放棄，兩邊取對數(shù)可得αlnα<βlnβ,則可構(gòu)造函數(shù)f③f(x)=lnxx鞏固練習(xí)1(★★)若a=ln44,b=ln5.35.3，c=ln6A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c【答案】B【解析】設(shè)f(x)=lnxx，f′(x)令f′(x)>0，可得0<x<e，令f′(x)<0，可得x>e，所以f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，+∞)上單調(diào)遞減，因為e<4<5.3<6，所以f(4)>f(5.3)>f(6)，即ln44>ln5.35.3>ln66故選：B．2(★★)若α,β∈[-π2,π2]A．α>β B．α