4.3 函數(shù)的應(yīng)用-(人教A版2019必修第一冊(cè)) (教師版)

函數(shù)的應(yīng)用1函數(shù)模型一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)二次函數(shù)y=a指數(shù)函數(shù)y=指數(shù)型函數(shù)y=k?對(duì)數(shù)函數(shù)y=lo對(duì)數(shù)型函數(shù)y=k?lo冪函數(shù)y=冪函數(shù)型y=k?2增長快慢比較V(常見函數(shù)圖象3函數(shù)的零點(diǎn)①函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)y=f(x)，使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn).②方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程fx=0?函數(shù)y=fx有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0.如方程2x-4=0的實(shí)數(shù)根是函數(shù)fx=2x-4函數(shù)fx=2x-4的零點(diǎn)是拓展方程f(x)=g(x)有實(shí)數(shù)根x0?函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)為解惑若讓你求解x2-2x而方程x2-2x=0的實(shí)數(shù)根?如圖就較容易得到，方程x2-2x=0③求函數(shù)零點(diǎn)方法(1)(代數(shù)法)求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根.(2)(幾何法)利用函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷零點(diǎn)是否存在或找出零點(diǎn)位置.4函數(shù)零點(diǎn)定理如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且f(a)f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在(a,b)至少有一個(gè)零點(diǎn)c，即存在c∈(a,b)，使得fc=0，這個(gè)c也就是方程f5二分法①二分法的概念對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.②用二分法求方程近似解的步驟(1)確定區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)f(b)<0，給定精確度ε；(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;(3)計(jì)算f(c)，(i)若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；(ii)若f(a)f(c)<0，則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x(iii)若f(c)f(b)<0，則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x0(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a-b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值為a(或b)；否則重復(fù)⑵【題型一】不同函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)【典題1】惠州市某學(xué)校物理興趣小組在實(shí)驗(yàn)測(cè)試中收集到一組數(shù)據(jù)如表所示：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()A．v=log2tB．【解析】方法1由表可知：v是關(guān)于t的增函數(shù)；且增幅隨t的增大而增大，故只有C滿足要求．故選C．方法2作出散點(diǎn)圖，如圖，由函數(shù)擬合可知只有C滿足要求．故選C．方法3由表可知：v是關(guān)于t的增函數(shù)；故B不適合；對(duì)于A：log21.99≈2，log23對(duì)于C：1.9925.12-12≈12.5，對(duì)于D：2×1.99-2=1.982×6.12－2=10.24，故故選C．【點(diǎn)撥】判斷最佳函數(shù)模型，方法如下①根據(jù)數(shù)據(jù)的增減性和增幅，排除不符合的函數(shù)；②根據(jù)表格描點(diǎn)做出散點(diǎn)圖，結(jié)合常見函數(shù)模型進(jìn)行判斷；③代點(diǎn)法，把數(shù)值代入函數(shù)中，若數(shù)值偏離較遠(yuǎn)則排除.【典題2】假設(shè)有一套住房從2002年的20萬元上漲到2012年的40萬元．如表給出了兩種價(jià)格增長方式，其中P1是按直線上升的房價(jià)，P2是按指數(shù)增長的房價(jià)，t是t05101520P12040P22040(1)求函數(shù)P1(2)求函數(shù)P2(3)完成上表空格中的數(shù)據(jù)，并在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后比較兩種【解析】(1)由題意可設(shè)P1∵當(dāng)t=0時(shí)，P1=20；當(dāng)t=10時(shí)，∴n=2010m+n=40，解得∴P(2)由題意可設(shè)P2∵當(dāng)t=0時(shí)，P∴k=20k?a∴P(3)表中數(shù)據(jù)如下：t05101520P12030405060P2020404080在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示：有圖象可知，P1=f(t)=2t+20呈直線增長，增長速度較慢；【點(diǎn)撥】求函數(shù)的解析式，當(dāng)已知函數(shù)類型時(shí)用“待定系數(shù)法”.【題型二】不同函數(shù)模型的應(yīng)用【典題1】某地為踐行綠水青山就是金山銀山的理念，大力開展植樹造林．假設(shè)一片森林原來的面積為a畝，計(jì)劃每年種植一些樹苗，且森林面積的年增長率相同，當(dāng)面積是原來的2倍時(shí)，所用時(shí)間是10年．(1)求森林面積的年增長率；(2)到今年為止，森林面積為原來的2倍，則該地已經(jīng)植樹造林多少年？(3)為使森林面積至少達(dá)到6a畝至少需要植樹造林多少年？(參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010,lg3=0.4771)【解析】(1)設(shè)森林面積的年增長率為x，則a1+x10=2a∴森林面積的年增長率為2110(2)設(shè)已經(jīng)植樹造林n年，則由題意可知a(1+x)∴a×2n10∴已經(jīng)植樹造林5年；(3)設(shè)為使森林面積至少達(dá)到6a畝至少需要植樹造林m年，則a1+x∴2∴m∴m≥10×lg2+lg3故為使森林面積至少達(dá)到6a畝至少需要植樹造林26年．【典題2】新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護(hù)服短缺，某地政府決定為防護(hù)服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴(kuò)大生產(chǎn)提供x(x∈[0,10])(萬元)的專項(xiàng)補(bǔ)貼，并以每套80元的價(jià)格收購其生產(chǎn)的全部防護(hù)服．A公司在收到政府x(萬元)補(bǔ)貼后，防護(hù)服產(chǎn)量將增加到t=k?(6-12x+4)(萬件)，其中k為工廠工人的復(fù)工率(k∈[0,5.1])．A公司生產(chǎn)t萬件防護(hù)服還需投入成本(20+8x+50t)(1)將A公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤y(萬元)表示為補(bǔ)貼x(萬元)的函數(shù)；(2)對(duì)任意的x∈[0,10](萬元)，當(dāng)復(fù)工率k達(dá)到多少時(shí)，A公司才能不產(chǎn)生虧損？(精確到0.01)．【解析】1=30k6-12x+4-20-8x(2)若對(duì)任意的x∈[0,10]，公司都不產(chǎn)生虧損，則180k-360kx+4-8x-20≥0即k≥145?(x+4)(2x+5)記t=x+2，則t∈[2,12]，此時(shí)(x+4)(2x+5)x+2由于函數(shù)f(t)=2t+2t+5在t∈[2,12]單調(diào)遞增，所以當(dāng)t∈[2,12]時(shí)，fmax∴k≥1即當(dāng)工廠工人的復(fù)工率達(dá)到0.65時(shí)，對(duì)任意的x∈[0,10]，公司都不產(chǎn)生虧損．【點(diǎn)撥】①根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，在實(shí)際問題中，特別注意自變量的取值范圍；②求函數(shù)y=ax鞏固練習(xí)1(★)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：x23456y1.402.565.311121.30則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是()A．y=x12 B．y=log2x 【答案】C【解析】把(x,y)的值分別代入y=x12把(x,y)的值分別代入y=log2x把(x,y)的值分別代入y=13?把(x,y)的值分別代入y=12x故選：C．2(★)設(shè)光線通過一塊玻璃，強(qiáng)度損失10%、如果光線原來的強(qiáng)度為k(k>0)，通過x塊這樣的玻璃以后強(qiáng)度為y，則y=k?0.9x(x∈N*)，那么光線強(qiáng)度減弱到原來的13A．9 B．10 【答案】C【解析】設(shè)通過這樣的玻璃x塊，則由題意得k?0.9x<兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，可得xlg0.9<lg1因?yàn)閘g0.9<0，所以x>lg則至少通過11塊玻璃，故選：C．3(★★)某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為42，48，52．為了預(yù)測(cè)以后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型y=ax2+bx+c，乙選擇了模型y=pqx+r，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a,b,c,p,q,r都是常數(shù)．結(jié)果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為(1)求a,b,c,p,q,r的值；(2)你認(rèn)為誰選擇的模型好．【答案】(1)a=-1，b=9，c=34,p=-27，q=23，r=60(2)【解析】(1)由甲模型：令y=f(x)=ax可得：a+b+c=42，4a+2b+c=48，9a+3b+c=52，解得a=－1，b=9，c=34．由乙模型：設(shè)y=pqx+r可得：g(1)=pq+r=42，g(2)=pq2+r=48解得p=－27，q=23，(2)由(1)可得：f(x)=－∴f(4)=－f(5)=－f(6)=－由乙模型可得：g(x)=－∵g(4)=54+23≈54，g(5)=56+可得：g(4)、g(5)、g(6)比f(4)、f(5)、f(6)更接近真實(shí)值．4(★★)某心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時(shí)間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線．當(dāng)t∈(0,14]時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)t∈[14,40]時(shí)，曲線是函數(shù)y=loga(t-5)+83(a>0,且(1)試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式；(2)一道數(shù)學(xué)難題，講解需要22分鐘，問老師能否經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時(shí)講完？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)f(t)=-(2)教師能夠合理安排時(shí)間講完題目【解析】(1)當(dāng)t∈(0,14]時(shí)，設(shè)p=ft將點(diǎn)(14,81)代入得c=-1∴當(dāng)t∈(0,14]時(shí)，p=f(t)=-1當(dāng)t∈(14,40]時(shí)，將點(diǎn)(14,81)代入y=loga(t－所以p=f(t)=-14(2)當(dāng)t∈(0,14]時(shí)，-1解得12－22當(dāng)t∈(14,40]時(shí),log解得5<t≤32，所以t∈(14,32]，綜上t∈[12－此時(shí)△t=32-(12-22所以教師能夠合理安排時(shí)間講完題目．5(★★)培養(yǎng)某種水生植物需要定期向培養(yǎng)植物的水中加入物質(zhì)N．已知向水中每投放1個(gè)單位的物質(zhì)N,x(單位：天)時(shí)刻后水中含有物質(zhì)N的量增加ymol/L，y與x的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=8-16x+2,0≤x≤612-x,6<x≤12(1)若在水中首次投放1個(gè)單位的物質(zhì)N，計(jì)算物質(zhì)N能持續(xù)有效發(fā)揮作用幾天？(2)若在水中首次投放1個(gè)單位的物質(zhì)N，第8天再投放1個(gè)單位的物質(zhì)N，試判斷第8天至第12天，水中所含物質(zhì)N的量是否始終不超過6mol/L，并說明理由．【答案】(1)6(2)第8天至第12天，水中所含物質(zhì)N的量始終不超過6mol/L【解析】(1)由題意x，(單位：天)時(shí)刻后水中含有物質(zhì)N的量為y=8-解y≥4，得2≤x≤8．所以若在水中首次投放1個(gè)單位的物質(zhì)N，物質(zhì)N能持續(xù)有效發(fā)揮作用6天．(2)設(shè)第x(8≤x≤12)天水中所含物質(zhì)N的量為ymol/L，則y=(12-x)+[8-16y=14-[(x-6)+16當(dāng)且僅當(dāng)x-6=16x-6，即x=10∈[8,12]時(shí)，等號(hào)成立．即當(dāng)x=10時(shí)，所以第8天至第12天，水中所含物質(zhì)N的量始終不超過6mol/L．【題型三】求函數(shù)的零點(diǎn)【典題1】下列函數(shù)中，在(-1,1)內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是()A．y=log13x B．y=【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，y=log13x，其定義域?yàn)閷?duì)于B，y=3x-1，在(-1,1)對(duì)于C，y=x對(duì)于D，y=-x故選：B．【點(diǎn)撥】求函數(shù)零點(diǎn)方法：①代數(shù)法，即解方程；②幾何法，即數(shù)形結(jié)合.【題型四】函數(shù)與方程的關(guān)系【典題1】方程3x+A.有且只有一個(gè)根2B.不僅有根2還有其他根C.有根2和另一個(gè)負(fù)根D.有根2和另一個(gè)正根【解析】方程3x+設(shè)fx則函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)，∵f∴方程3x+4x=【點(diǎn)撥】本題巧妙的把方程3x+4x=5【典題2】若x1滿足3x=2-x，x2【解析】設(shè)fx=3x∵x1∴x1是函數(shù)fx∵x2∴x2是函數(shù)gx由于函數(shù)y=3t與函數(shù)所以它們的圖象關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱，故兩圖象與直線tx=2-x的交點(diǎn)(x1,所以x1【點(diǎn)撥】①指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga②方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題時(shí)，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)，常把常見的函數(shù)模型(一次函數(shù)型、二次函數(shù)型、反比例函數(shù)型，指數(shù)函數(shù)型、對(duì)數(shù)函數(shù)型等)分開，比如方程x+12x+3=0?函數(shù)y=2x與函數(shù)y=-【典題3】已知函數(shù)f(x)=|log2x|,x>0x2+4x+1,x≤0，若函數(shù)Fx=fx-b有四個(gè)不同的零點(diǎn)x【解析】(函數(shù)Fx=fx-b的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=f(x)作出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示，由圖象知x1+而0<-log2x∴x令t=x32令g(t)=t+1則g(t)在[14,1]上單調(diào)遞減，∴g(1)<g(t)≤g(1即2<t+【點(diǎn)撥】①函數(shù)F(x)=f(x)－b零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與②遇到分段函數(shù)常常需要數(shù)形結(jié)合；③求x4x3-x1x32+x2x32【典題4】已知偶函數(shù)f(x)滿足f(3+x)=f(3-x)，且當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，fx=-x2+2x+1，若關(guān)于x的方程f2x-tf(x)－【解析】∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(3+x)=f(3-x)=f(x-3)，∴f(x)是以6為周期的函數(shù)．∵關(guān)于x的方程f2x-tfx-3=0∴關(guān)于x的方程f2x-tfx-3=0做出f(x)在一個(gè)周期(-3,3]上的函數(shù)圖象如圖所示：令f(x)=m，由函數(shù)圖象可知：當(dāng)m=-2時(shí)，f(x)=m只有1解，當(dāng)-2<m<1或m=2時(shí)，f(x)=m有2解，當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=m有3解，當(dāng)1<m<2時(shí)，f(x)=m有4解．∴關(guān)于m的方程m2-tm-3=0在{2}和(1，2)上各有1解或(－若方程的一解為m=2，則方程的另一解為m=-3∴關(guān)于m的方程m2-tm-3=0在(－2,1)和∴1+2t>0-2-t<01-2t>0【點(diǎn)撥】①由f(3+x)=f(3-x)可得f(x)關(guān)于x=3對(duì)稱，又由于f(x)是偶函數(shù)，可得函數(shù)的周期T=6；②在“關(guān)于x的方程f2x-tfx-3=0在(-3,3]上有6個(gè)解”鞏固練習(xí)1(★)下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且不存在零點(diǎn)的是()A．y=x2 B．y=【答案】D【解析】對(duì)于A，y=x2的對(duì)稱軸為y軸，故令x2=0得x=0，所以y=x對(duì)于B，y=x的定義域?yàn)閇0,+∞)故y=x對(duì)于C，y=log2x故y=log對(duì)于D，-12-x令-12x故選：D．2(★★)函數(shù)f(x)=(12)|x|-【答案】2【解析】令f(x)=0，則(1因此函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=(12)在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=(12)由圖象可得f(x)有2個(gè)零點(diǎn)．故選：B．3(★★)若方程mx-x-m=0(m>0,且m≠1)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是【答案】m>1【解析】方程mx－x－m=0當(dāng)m>1時(shí)，如圖(1)有兩個(gè)不同交點(diǎn)；當(dāng)0<m<1時(shí)，如圖(2)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．故選：A．4(★★)設(shè)a、b、c依次表示函數(shù)f(x)=x12-x+1，g(x)=log【答案】b<c<a【解析】函數(shù)f(x)=x12-x+1，g(x)=log1就是方程x1在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x12可得b<c<a，故選：D．5(★★★)已知函數(shù)f(x)=log3x，函數(shù)h(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，hx=3x-1．若函數(shù)y=k?f(x)+h(x)【答案】-2,-2【解析】∵y=k?f(x)+h(x)有3∴y=h(x)與y=－k?log作出y=h(x)得函數(shù)圖象如圖所示：若－k<0，即k>0，則y=h(x)與y=－k?若－k=0，即k=0，則y=h(x)與y=若－k>0，即k<0，若y=h(x)與y=－k?則－klog3解得：－2<k<故選：B．6(★★★)已知函數(shù)f(x)=|5x-1|,x<18x+1,x≥1，若方程f(f(x))=a恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)【答案】(85,4【解析】作出函數(shù)f(x)=|若a<0，顯然無解；若a=0，則f(f(x))=0?f(x)=0?x=0，只有唯一解，不合題意；若0<a≤1，則f(x)在(0,log52)與因此f(x)只在(0,log52若1<a<4，則f(x)在(log52,1)與(1,7)中分別有一解，f(x)在因此由題意，f(x)在(1,7)中有一解需要得出x有兩解，而由于f(x)≤4，因此a的取值需保證f(x)在(1,7)中的解位于區(qū)間(1,4)中，計(jì)算得f(4)=85，可得若a=4，則f(x)=1，此時(shí)x有兩解，不合題意；若a>4，顯然無解．綜上，85故答案為：(85,4)．【題型五】函數(shù)零點(diǎn)定理【典題1】設(shè)函數(shù)f(x)=2xx+1+lnx滿足f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)，若f(x)存在零點(diǎn)x0A．x0∈(a,c) B【解析】函數(shù)函數(shù)f(x)=2xx+1+lnx=2-滿足f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)，說明f(a),f(b),f(c)有1個(gè)是負(fù)數(shù)兩個(gè)正數(shù)(且負(fù)數(shù)一定是f(a))或3個(gè)負(fù)數(shù)，由函數(shù)的零點(diǎn)判斷定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)在(a,c)，在(a,b)，在(c,+∞)，不可能在(b,c)．故選C．【點(diǎn)撥】①2xx+1=2-②判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間，就要注意區(qū)間上端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值(本題中fa、f【典題2】[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如3.5=3，－0.5lnx+3x－15=0的根，則[x0【解析】x0是方程lnx+3x設(shè)f(x)=lnx+3x－15，顯然故f(x)=0只有一個(gè)根，f(4)=ln4故x0∈(4,5)，所以【點(diǎn)撥】①若f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù)，則它在[a,b]上至多只有一個(gè)零點(diǎn).②求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，可利用代入一些數(shù)值進(jìn)行逼近，再用函數(shù)的零點(diǎn)判斷定理確認(rèn)零點(diǎn)的范圍.【題型六】二分法【典題1】用二分法求函數(shù)fx=lnx+1+x-1在區(qū)間[0,1]上的