第2章應力和平衡

第二章應力與平衡研究對象——三維彈性體微分單元體入手本章從靜力學觀點出發(fā)，討論一點的應力狀態(tài)，建立平衡微分方程和邊界條件。目錄§2.1

內(nèi)力、應力和應力張量§2.2

斜面應力公式§2.3

應力的坐標轉(zhuǎn)換§2.4

應力平衡微分方程外力§2.1內(nèi)力、應力和應力張量外力體力即分布在物體體積內(nèi)部各個質(zhì)點上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力、運轉(zhuǎn)零件的慣性力等。面力即作用在物體表面上的力，例如作用在飛機機翼上的空氣動力、水壩所受的水壓力等。定義式體力：定義式面力：Chapter3.1內(nèi)力物體內(nèi)部各個部分之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力，稱為內(nèi)力。內(nèi)力也是分布力，它起著平衡外力和傳遞外力的作用，是變形體力學研究的重要對象之一。應力的概念正是為了精確描述內(nèi)力而引進的。Chapter3.1應力應力矢量Chapter3.1若取為變形前面元的初始面積，則上式給出工程應力，亦稱名義應力，常用于小變形情況。對于大變形問題，應取為變形后面元的實際面積，稱真實應力，簡稱真應力,也稱柯西應力。應力矢量：應力的定義Chapter3.1應力矢量的大小和方向不僅和M點的位置有關，而且和面元法線方向有關。

作用在同一點不同法向面元上的應力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通過同一點且法線方向相同，則應力矢量也相同。Chapter3.1應力矢量和面力矢量的數(shù)學定義和物理量綱都相同。區(qū)別在于：應力是作用在物體內(nèi)界面上的未知內(nèi)力，而面力是作用在物體外表面的已知外力。當內(nèi)截面無限趨近于外表面時，應力也趨近于外加面力之值。用矩陣表示：其中，只有6個量獨立。應力符號的意義：第1個下標

x

表示τ所在面的法線方向；第2個下標

y

表示τ的方向.應力正負號的規(guī)定：正應力——

拉為正，壓為負。剪應力——

坐標正面上，與坐標正向一致時為正；坐標負面上，與坐標正向相反時為正。xyzO與材力中剪應力τ正負號規(guī)定的區(qū)別：xy規(guī)定使得單元體順時的剪應力τ為正，反之為負。xyzO

(a)同理：

(b)(c）

上式就是切應力互等定理。該定理表明，作用在相互垂直的兩截面上的切應力大小相等。

應力張量通常用記號σij表示，則有：應用切應力互等定理，應力張量σij又可表示為：(d)可見應力張量是一個對稱的二階張量。

張量——簡化縮寫記號表達物理量的集合顯著優(yōu)點——基本方程以及其數(shù)學推導簡潔張量的特征——整體與描述坐標系無關

分量需要通過適當?shù)淖鴺讼刀x笛卡兒（Descartes）張量定義一般張量——曲線坐標系定義三維Descartes坐標系中，一個含有3個與坐標相關獨立變量集合，通?？梢杂靡粋€下標表示。位移分量u，v，w縮寫記為ui（i=1,2,3）表示為u1,u2,u39個獨立變量的集合，兩個下標來表示sij和eij——9個應力分量或應變分量sij,k

——27個獨立變量的集合用三個下標表示i——下標求和定約張量表達式的某一項內(nèi)的一個下標出現(xiàn)兩次，則對此下標從1到3求和。啞標：出現(xiàn)兩次的下標——求和后消失自由標：非重復下標自由標個數(shù)表示張量表達式代表的方程數(shù)偏導數(shù)的下標記法縮寫張量對坐標xi偏導數(shù)的表達式逗號約定

逗號后面緊跟一個下標i時，表示某物理量對xi求偏導數(shù)。利用偏導數(shù)下標記法，偏導數(shù)均可縮寫為張量的偏導數(shù)集合仍然是張量證明：

ui，j如果作坐標變換

由此可證，ui,j服從二階張量的變換規(guī)律

由于因此特殊的張量符號

克羅內(nèi)克爾（KroneckerDelta）記號d

ij顯然克羅內(nèi)克爾記號是二階張量運算規(guī)律置換符號eijk

偶排列有序數(shù)組1，2，3逐次對換兩個相鄰的數(shù)字而得到的排列奇排列二階對稱張量反對稱張量任意一個二階張量，總是可以分解為一個對稱張量和一個分對稱張量之和。張量的對稱和反對稱性質(zhì)，可以推廣到二階以上高階張量。

已知一點的六個應力分量，可以確定該點任意斜截面上的應力。為此，圍繞M點用平行坐標平面的三對平行面截取一微分單元體，再過此單元作一個與M點相距為無窮小的任意斜截面。截面ABC和過M點的單元體平面形成一個微分四面體，如圖2-5所示。顯然，截面ABC上的應力可以認為是過M點任意斜截面上的應力。§2.2斜截面的應力公式NxozACσzτzyτzxσyτyxτyzσxτxyτxzpxpypzpNMyB圖2.2.1

設截面ABC的外法線N與各坐標軸正向的夾角分別為(N,x)，(N,y)，(N，z)，則其方向余弦分別為：

如果三角形ABC的面積為dA，那么根據(jù)平面圖形面積投影定理，可得三角形MBC，MCA，MAB的面積為ldA

，MdA，NdA。研究微分四面體的平衡，

兩邊除以dA移項后，并注意應用切應力互等定理，得(2-4)式的第一式或縮寫成矩陣形式斜截面的應力分量為

或按下標記法與求和約定寫為式中i：自由指標，同一項只出現(xiàn)一次，同一方程中，各項的自由指標應相同。j：啞指標，表示求和，同一項重復出現(xiàn)，又稱為愛因斯坦求和約定。一方面通過啞指標對求和起縮寫的作用，另一方面通過自由指標可將方程組縮寫為一個指標符號方程。(2-3)(2-4)(2-5)令斜截面的正應力為σN，切應力為τN，則pN將的各分量px，py，pz向N方向投影即得(2-6a)將上式展開(2-6b)

由圖2-5可見：因此，斜截面上的切應力由下式確定。(2-7)

由此可見，已知物體內(nèi)任意一點處的六個應力分量，則應用式（2-6）和（2-7）可求得該點任意斜截面上的正應力和切應力。也就是說，已知一點處的六個應力分量，則該點的應力狀態(tài)就完全確定了。

應力的邊界值與面力分量間的關系表達式，即物體的應力邊界條件

（2-8a）或:

（2-8b）

以上公式在推導過程中沒有涉及物體材料的物理性質(zhì)，因此上述各式，不僅適用于彈性力學，也適用于塑性力學等。§2.3應力的坐標轉(zhuǎn)換x圖2.3-1Myzx’y’z’

設新坐標系x’，y’，z’

對舊坐標x，y，z

的軸的方向余弦分別為，l1,m1,n1;l2,m2,n2;

l3,m3,n3

。用矩陣表示為(2-9)顯然新坐標系的各坐標平面可分別看作是舊坐標的斜截面。例如，y’M’z’平面是外法線為x’軸的斜截面。根據(jù)(2-4)式可得該截面上的總應力PN沿原坐標軸方向的三個應力分量為(2-10a)或?qū)懗?2-10b)將分別投影于方向，可得沿新坐標系的正應力，切應力和。即(2-10c)將式（2-10b）代入式

(2-10c)，即有：

(2-11)

同理，可求得在以和軸為外法線方向的斜截面上的正應力和切應力分別為

和

因此，在新坐標系中，表示M點的應力狀態(tài)的應力張量表示為(2-14a)(2-12)(2-13)當坐標變換按照(2-14b)式變換時，(2-14b)式稱為張量的解析定義式。式中i,j為自由指標，變化表示在新坐標系下的各應力分量，k,l為啞指標，lik,ljk

為新老坐標軸之間的方向余弦，i,j代表新坐標軸的軸號，k,l代表舊坐標軸的軸號。因此，已知一點處的應力分量,由式(2-11)、(2-12)、(2-13)或(2-14)式可以求得在新坐標系下的應力分量。當新舊坐標系下的應力分量σ’ij和σij和滿足(2-14b)式時，σij稱為二階應力張量。這種坐標變換關系可以推廣到更高階的張量，即(2-15)為n階張量的定義式。且張量的階數(shù)就是自由指標的個數(shù)。

或采用張量的坐標變換定義式(2-14b)主應力及應力狀態(tài)的不變量主平面圖2.3-2Nxoyz

如圖2-7所示，如果主應力在軸方向的應力分量分別為

過一點切應力為零的平面稱為主平面，主平面上的正應力稱為主應力，主平面的外法線方向稱為主方向。為了建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件，必須研究物體內(nèi)任意點的主應力和主方向。

(a)將(a)式代入式（2-4）,移項整理后得：

(2-15)式(2-15)是求主平面的方向余弦的線性方程組。而它們不能同時為零。

(2-16)

由齊次方程組(2-15)可見，如果要使有非零解，則系數(shù)行列式的系數(shù)必須等于零。令：(2-17)展開行列式，并注意切應力互等定理，得（2-18）(2-19)

方程（2-18）為M點應力狀態(tài)的特征方程，解方程可得三個實根，即主應力,且,同時，也存在三個互相正交的主平面。為了求主方向，可將主應力值分別代入式(2-15)中的任意兩個方程，并和(2-16)聯(lián)立求解，可得三個主方向。例如：求的的方向，將主應力的值代入式(2-15)前兩個方程得：(b)(c)且從式(2-16)有：

(d)聯(lián)解這三個方程可得與主應力相應的方向余弦。

另一方面，因主應力均為特征方程(2-18)的根，故又可將此方程表示為(e)展開后有與式（2-18）、（f）對照得：

(f)(2-20)由于主應力是表征應力狀態(tài)的一種物理量，它們與所采用的坐標系無關，故當坐標變換時，是不變量，分別稱為應力張量的第一、第二和第三不變量。它們不因為坐標變換而改變。

是過一點任意三個相互垂直截面上的正應力之和，它是一個常數(shù)且等于平均應力的三倍。應力狀態(tài)的第二和第三不變量在塑性理論中有很重要的應用。同時，若給定了,也就等于給定了主應力。

〖例2.1〗已知一點的應力狀態(tài)為應力的單位為。確定主應力的大小和最大主應力相對于原坐標軸的方向余弦。

解：從方程（2-20）有因此，方程（2-18）成為

以上三次方程既可以通過數(shù)值方法求解，也有許多手算的方法求解上述問題。方程的三個根為和

為了獲得最大主應力對應的方向余弦，在此應用方程(2-15)，將相關的應力值(例如:σ1=9Mpa)代入，我們有

使用上面任意兩個方程和，的值就可以確定。這樣對應的方向余弦就很容易確定?！祭?.2〗

證明應力張量的第二不變量，當坐標變換時為一不變量(方向余弦之間的正交關系為：或)證明：由二階張量的定義式并結(jié)合如上正交關系：于是得證。根據(jù)張量的定義式:§2.4

平衡微分方程平衡物體整體平衡，內(nèi)部任何部分也是平衡的。對于彈性體，必須討論一點的平衡。微分平行六面體單元圖2.4-1微分體

上作用的正應力分量就應為

將上式按級數(shù)展開，有略去含有二階以上的高階微量各項可得其余各面上作用的應力分量都可以依此類推。如圖2.4-1所示。

顯然，平行六面體滿足六個平衡靜力條件。由得：

將上式展開后經(jīng)化簡得式(2-21)的第一式，同理，由可得到類似的方程，共計三個微分方程，即

(2-21a)或記為張量的形式：(2-21b)求和約定對于含有導數(shù)的表達式也同樣適用。式(2-21)就是物體內(nèi)各點的應力分量和體