二自由度系統(tǒng)振動(dòng)的理論

第三章二自由度系統(tǒng)振動(dòng)的理論目的要求：1、掌握振動(dòng)方程的一般形式及其矩陣表達(dá)式；質(zhì)量矩陣的求解；2、掌握無阻尼二自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的通解、固有頻率和主振型的求解。

很多生產(chǎn)實(shí)際中的問題都可以簡(jiǎn)化為兩自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。舉例：

車床刀架系統(tǒng)(a)、車床兩頂尖間的工件系統(tǒng)（b）、磨床主軸及砂輪架系統(tǒng)（c），只要將這些系統(tǒng)中的主要結(jié)合面（或芯軸）視為彈簧（即只計(jì)彈性，忽略質(zhì)量），將系統(tǒng)中的小刀架、工件、砂輪及砂輪架等視為集中質(zhì)量，再忽略存在于系統(tǒng)中的阻尼，就可以把這些系統(tǒng)近似簡(jiǎn)化成圖（d）所示的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。3.1

二自由度系統(tǒng)的基本概念

二自由度系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的多自由度系統(tǒng)。無論是模型的簡(jiǎn)化、振動(dòng)微分方程的建立和求解的一般方法、以及系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)出來的振動(dòng)特性，兩自由度系統(tǒng)與多自由度系統(tǒng)并沒有本質(zhì)區(qū)別，因此研究二自由度系統(tǒng)是分析和掌握多自由度系統(tǒng)振動(dòng)特性的基礎(chǔ)。二自由度系統(tǒng)具有兩個(gè)不同數(shù)值的固有頻率（特殊情況下二者可能相等，或者其中之一為零）。當(dāng)系統(tǒng)按其中任意一個(gè)固有頻率自由振動(dòng)時(shí)，稱為主振動(dòng)。主振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)，任何瞬時(shí)各點(diǎn)位移之間具有一定的相對(duì)比值，即整個(gè)系統(tǒng)具有確定的振動(dòng)形態(tài)，稱為主振型。主振型和固有頻率只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，與初始條件無關(guān)。主振型是一切多自由度系統(tǒng)以及連續(xù)系統(tǒng)的重要特性。二自由度系統(tǒng)在任意初始條件下的響應(yīng)是兩個(gè)主振動(dòng)的疊加，只有在特殊初始條件下，才按某一固有頻率作主振動(dòng)。系統(tǒng)對(duì)于簡(jiǎn)諧激振的響應(yīng)是頻率與激振頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。振幅同樣與系統(tǒng)固有頻率和激振頻率的比值有關(guān)。當(dāng)激振頻率接近于系統(tǒng)的任一固有頻率時(shí)，就發(fā)生共振。共振時(shí)的振型是與固有頻率相對(duì)應(yīng)的主振型。

二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程一般包括兩個(gè)互相耦合的二階常微分方程組，二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)要由兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)確定。

建立振動(dòng)微分方程最常用的方法有：牛頓第二定律法、動(dòng)靜法、拉格朗日法等。3.2二自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程

建立運(yùn)動(dòng)微分方程的方法和單自由度系統(tǒng)基本一樣,但難度更大。3.2.1作用力方程的一般形式及其矩陣表達(dá)式在工程中有許多實(shí)際系統(tǒng)都可以簡(jiǎn)化為如下圖所示的力學(xué)模型圖。標(biāo)準(zhǔn)的m-k-c系統(tǒng)，質(zhì)體和用彈簧聯(lián)系，而它們與基礎(chǔ)分別用彈簧和聯(lián)系。假定兩質(zhì)體只沿鉛垂方向做往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)，兩質(zhì)體的任一瞬時(shí)位置只要用和兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)就可以確定。因此，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。坐標(biāo)原點(diǎn)仍取在靜平衡位置二自由度系統(tǒng)作用力方程的一般形式：一般矩陣形式：由此可得：矩陣表達(dá)式中：[M]稱為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，[K]稱為剛度矩陣，[C]稱為阻尼矩陣，{x}為系統(tǒng)的位移列陣，{F(t)}為外激力列陣。

對(duì)于其它形式的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)同樣可得到相應(yīng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。

由于矩陣[M]、[K]、[C]的非對(duì)角線元素不為0，所以振動(dòng)微分方程是互相耦合的非獨(dú)立方程。

剛度矩陣[K]中的元素稱為剛度影響系數(shù)，其的力學(xué)意義是：僅在j坐標(biāo)處產(chǎn)生單位廣義位移，系統(tǒng)平衡時(shí)需在i坐標(biāo)處施加的廣義力。

具體求解時(shí)，只假設(shè)j坐標(biāo)處的位移為1，其它各坐標(biāo)的位移均為0。

質(zhì)量矩陣[M]中的元素稱為慣性（質(zhì)量）影響系數(shù)，其的力學(xué)意義是：僅在j坐標(biāo)處產(chǎn)生單位廣義加速度，需在i坐標(biāo)處施加的廣義力。

具體求解時(shí)，只假設(shè)j坐標(biāo)處的加速度為1，其它各坐標(biāo)的加速度均為0。質(zhì)量矩陣的求解對(duì)如下圖所示的系統(tǒng)，質(zhì)量為m的剛性桿，由剛度為

的彈簧分別之于A點(diǎn)和D點(diǎn)。A點(diǎn)支座的約束只允許剛性桿在x-y平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，而限制沿x軸方向的平動(dòng)。C點(diǎn)為剛性桿的質(zhì)心，表示繞通過C點(diǎn)z軸（垂直于紙面，未標(biāo)出）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。B點(diǎn)是滿足的特殊點(diǎn)，如果在B點(diǎn)作用有沿y軸方向的力，系統(tǒng)產(chǎn)生平動(dòng)而無轉(zhuǎn)動(dòng)。如果在B點(diǎn)作用有力矩，系統(tǒng)只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)而無平動(dòng)。求出質(zhì)量矩陣。圖3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)圖3.3建立系統(tǒng)質(zhì)量矩陣示意圖這里的為質(zhì)量矩陣的第i行第j列元素，稱為慣性影響系數(shù)（質(zhì)量影響系數(shù)）。解：將圖3.2中的A點(diǎn)當(dāng)做剛性桿運(yùn)動(dòng)的參考點(diǎn)，為了更直觀些，將加速度如同位移那樣畫出，A點(diǎn)處箭頭上的雙斜線表示單位加速度所需要的作用力。如圖3.3a所示，當(dāng)時(shí)，由動(dòng)力平衡條件得出慣性影響系數(shù)。根據(jù)圖3.3b可求出，當(dāng)時(shí)

于是可得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M為：

3.2.2位移方程的一般形式及其矩陣表達(dá)式（標(biāo)準(zhǔn)m-k-c振動(dòng)系統(tǒng)）以柔度矩陣表示的方程為位移方程。

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)m-k-c振動(dòng)系統(tǒng)，質(zhì)量

和

上的靜位移可以表示為{}=[R]{F}，而系統(tǒng)的動(dòng)位移為這就是系統(tǒng)振動(dòng)方程的位移形式。柔度意為彈簧受單位作用力而產(chǎn)生的變形。柔度影響系數(shù)

的力學(xué)意義是：在j坐標(biāo)處作用單位廣義力，引起i坐標(biāo)處的廣義位移。由柔度影響系數(shù)就可以形成系統(tǒng)的柔度矩陣[R]。

由材料力學(xué)的位移互等定理可知

，即柔度矩陣是對(duì)稱的。彈簧剛度與彈簧柔度具有互為倒數(shù)的關(guān)系。

因?yàn)閇R]為正定矩陣，于是位移方程又可寫為與力形式的方程比較可知，即對(duì)于正定系統(tǒng)[R]和[K]互為逆矩陣。3.2.3用拉格朗日方程建立振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)的m-k-c多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，用傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方法建立運(yùn)動(dòng)微分方程比較困難，更適合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格朗日方程為：拉格朗日方程

其中：T為系統(tǒng)的動(dòng)能，V為勢(shì)能，

為非有勢(shì)力的廣義力，

為與非有勢(shì)廣義力

對(duì)應(yīng)的廣義虛位移。

實(shí)際計(jì)算廣義力

時(shí)，通常假設(shè)與

對(duì)應(yīng)的廣義虛位移不等于零，其它虛位移都等于零。（i＝1，2）【例】用拉格郎日方程推導(dǎo)兩自由度m-k-c系統(tǒng)微振動(dòng)微分方程。解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)能位置。靜平衡位置：則：計(jì)算廣義力，設(shè)m1產(chǎn)生虛位移，而＝0，則同樣設(shè)產(chǎn)生虛位移，而＝0，則代入拉格朗日方程得整理寫成矩陣形式即可。3.3彈性耦聯(lián)和慣性耦聯(lián)

通過彈性項(xiàng)耦聯(lián)的方程組稱為彈性耦聯(lián)或靜力耦聯(lián)。通過慣性項(xiàng)耦聯(lián)的方程組稱為慣性耦聯(lián)或動(dòng)力耦聯(lián)。耦聯(lián)使方程組求解復(fù)雜化。

如圖3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)，以A點(diǎn)的平動(dòng)和剛體繞A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)為系統(tǒng)的位移坐標(biāo)，如圖3.4所示圖3.4圖3.4中給出在A點(diǎn)處作用的力與力矩，以及A點(diǎn)和D點(diǎn)的彈性力與C處的慣性力。

如果將慣性力加在剛性自由體上，可以認(rèn)為該自由體處于動(dòng)平衡狀態(tài)。于是運(yùn)用達(dá)倫培爾原理，得出兩個(gè)平衡方程并加以整理，則得：在矩陣形式的方程式中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的非對(duì)角元素都不為零，既出現(xiàn)慣性耦聯(lián)又出現(xiàn)彈性耦聯(lián)，前者表明兩個(gè)加速度彼此并非獨(dú)立，就是說系統(tǒng)在動(dòng)力上或質(zhì)量上是耦聯(lián)的。后者則說明一個(gè)位移不僅引起對(duì)應(yīng)于自身的反力，而且引起對(duì)應(yīng)其他位移的力，系統(tǒng)在靜力上或剛度上是耦聯(lián)的。

方程組的耦聯(lián)取決于所選用的坐標(biāo)，而不是取決于系統(tǒng)本身的特性。由此推論，只要位移坐標(biāo)選取得適當(dāng)，總可以使系統(tǒng)既無慣性耦聯(lián)又無彈性耦聯(lián)，這樣使振動(dòng)方程彼此獨(dú)立，給求解多自由度系統(tǒng)振動(dòng)帶來很大的方便。這樣的坐標(biāo)稱為固有坐標(biāo)或主坐標(biāo)。自由振動(dòng)微分方程組為：

取兩物體為研究對(duì)象，物體離開其平衡位置的位移用x1、x2表示。在水平方向的受力如圖示，由牛頓第二定律得

兩自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。兩物體均作直線平移，略去摩擦力及其它阻尼。5.1.1運(yùn)動(dòng)微分方程3.4無阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)質(zhì)量矩陣剛度矩陣質(zhì)量影響系數(shù)剛度影響系數(shù)加速度列陣

坐標(biāo)列陣5.1.1運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)微分方程的理論，設(shè)方程的解為這組解可寫成的矩陣形式：加速度矩陣為：

代入微分方程后，化簡(jiǎn)可得代數(shù)齊次方程組

5.1.2頻率方程

要使系統(tǒng)的振幅A1和A2有非零解，其方程的系數(shù)行列式等于零。即這就是兩自由度系統(tǒng)的頻率方程，也稱系統(tǒng)的特征方程。

5.1.2頻率方程則特征方程可改寫為：這就是特征方程的兩組特征根。特征根正值小于是兩個(gè)大于零的不相等的正實(shí)根5.1.2頻率方程

w1、w2就是系統(tǒng)的自由振動(dòng)頻率，即固有頻率。較低的頻率w1稱為第一階固有頻率(或稱基頻)；較高的頻率w2稱為第二階固有頻率。由式看出，固有頻率w1、w2與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)，僅與振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率的物理特性，即物體的質(zhì)量、彈性元件的剛度有關(guān)。系統(tǒng)以某一固有頻率按其相應(yīng)的主振型做振動(dòng)，稱為系統(tǒng)的主振動(dòng)。在振動(dòng)過程中各點(diǎn)位移的相對(duì)比值都可由振幅比確定，也就是說振幅比決定了整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)，因此稱為主振型。5.1.2頻率方程第一主振動(dòng)

第二主振動(dòng)

將第一固有頻率w1代入5.1.3主振型40振幅比

第二主振型第一主振型5.1.3主振型由

系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)，任意瞬時(shí)的位移比和其振幅比相同，即這表明，在振動(dòng)過程中，振幅比決定了整個(gè)系統(tǒng)的相對(duì)位置。

將w1、w2之值代入，得這表明，在第一主振動(dòng)中，質(zhì)量m1與m2沿同一方向運(yùn)動(dòng)；在第二主振動(dòng)中m1、m2的運(yùn)動(dòng)方向則是相反的。系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)，各點(diǎn)同時(shí)經(jīng)過平衡位置，同時(shí)到達(dá)最遠(yuǎn)位置，以與固有頻率對(duì)應(yīng)的主振型作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。5.1.3主振型根據(jù)微分方程理論，兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程的通解，是它的兩個(gè)主振動(dòng)的線性組合，即由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。寫成矩陣形式5.1.3主振型435.1.4無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)四、無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)系統(tǒng)在任意時(shí)刻所作的運(yùn)動(dòng)是第一階主振動(dòng)和第二階主振動(dòng)的疊加，是兩個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，即：當(dāng)t=0時(shí)，系統(tǒng)的初始條件為：同理，可得系統(tǒng)的初始速度為：445.1.4無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)對(duì)（1）式×v2-(2)式，得：對(duì)（3）式×v2-(4)式，得：同理，可得：當(dāng)即：此時(shí)系統(tǒng)做二階主振動(dòng)。即：此時(shí)系統(tǒng)做一階主振動(dòng)。例題k3

x2

例

試求圖示兩個(gè)自由度系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率和主振型。已知各彈簧的彈簧常量k1＝k2＝k3＝k，物體的質(zhì)量m1＝m，m2＝2m。分別以兩物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取兩物體離開其平衡位置的距離x1、x2為廣義坐標(biāo)，兩物體沿x方向的受力如圖示，它們的運(yùn)動(dòng)微分方程分別為解：（1）建立運(yùn)動(dòng)微分方程式例題質(zhì)量矩陣剛度矩陣將M和K代入頻率方程，得（2）解頻率方程，求wi47例題系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率為：例題將、