2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考講練專題07空間向量與立體幾何導(dǎo)學(xué)案理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE19學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題07空間向量與立體幾何一、學(xué)習(xí)目標(biāo):1、掌握空間向量的概念、運(yùn)算及其應(yīng)用；2、掌握利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法。二、知識(shí)梳理1。設(shè)，,(1）．（2）．（3）若、為非零向量,則．（4）若,則．（5)．(6）．（7），，則．2、設(shè)異面直線，的夾角為,方向向量為，，其夾角為，則有．3、設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為,與所成的角為，與的夾角為，則有．4、設(shè)，是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則向量,的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大?。舳娼堑钠矫娼菫椋瑒t．5、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量的模計(jì)算．6、在直線上找一點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)且垂直于直線的向量為，則定點(diǎn)到直線的距離為．7、點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為．三、典型例題例1.給出下列命題：①若eq\o(AB，\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6（→））,則必有A與C重合,B與D重合,AB與CD為同一線段;②若a·b＜0，〈a，b〉為鈍角；③若a是直線l的方向向量，則λa(λ∈R）也是l的方向向量；④非零向量a，b,c滿足a與b,b與c，c與a都是共面向量,則a，b,c必共面．其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是（)A．1B．2C．3D．4【答案】D變式練習(xí)1。已知正方體ABCD。A1B1C1D1中，eq\o（A1E,\s\up6（→)）＝eq\f（1,4）eq\o（A1C1，\s\up6（→)),若eq\o(AE,\s\up6（→））＝xeq\o（AA1,\s\up6(→)）＋y(eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o（AD，\s\up6(→））），則x＝________,y＝________．【答案】1eq\f(1，4)【解析】由題知eq\o（AE，\s\up6（→))＝eq\o(AA1，\s\up6(→)）＋eq\o(A1E，\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6（→)）＋eq\f（1，4)eq\o(A1C1，\s\up6(→））＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)（eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o（AD,\s\up6（→）))，從而有x＝1,y＝eq\f（1，4).例2。在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn)．(1）求證：BM∥平面PAD；（2）平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】以A為原點(diǎn),以AB，AD，AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則B(1,0,0），D(0,2，0），P(0，0,2)，C(2，2，0），M（1,1，1)，【方法規(guī)律】空間圖形中的平行、垂直問(wèn)題是立體幾何當(dāng)中最重要的問(wèn)題之一，利用空間向量證明平行和垂直問(wèn)題，主要是運(yùn)用直線的方向向量和平面的法向量,借助空間中已有的一些關(guān)于平行和垂直的定理，再通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)解決．變式練習(xí)2.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別在DB、D1C上,且DE＝D1F＝eq\f(\r（2),3）a，其中a為正方體棱長(zhǎng)．求證:EF∥平面BB1C1C?！敬鸢浮恳?jiàn)解析【解析】證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz,則E(eq\f(a，3)，eq\f（a,3），0）,F（0，eq\f(a，3），eq\f（2a,3)），故eq\o(EF,\s\up16(→)）＝(－eq\f（a,3），0，eq\f（2a,3)）．又eq\o(AB,\s\up16(→)）＝(0，a，0）,顯然為平面BB1C1C的一個(gè)法向量,而eq\o(AB，\s\up16（→））·eq\o(EF，\s\up16（→）)＝(0，a，0）·（－eq\f（a，3)，0，eq\f(2a,3）)＝0，∴eq\o(AB,\s\up16（→)）⊥eq\o(EF，\s\up16（→））。又E?平面BB1C1C，因此EF∥平面BB1C1C.例3。四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD,PA＝AD＝2，點(diǎn)M，N分別在棱PD,PC上，且PC⊥平面AMN。(1）求AM與PD所成的角;(2)求二面角P。AM.N的余弦值；（3)求直線CD與平面AMN所成角的余弦值．【方法規(guī)律】利用空間向量確定空間中的線線角、線面角、二面角,避免了利用傳統(tǒng)方法求角時(shí)先進(jìn)行角的確定，然后求角的弊端，只需要準(zhǔn)確求解直線的方向向量和平面的法向量，代入公式求角即可。變式練習(xí)3.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB＝BC＝2,AA1＝eq\r(2),點(diǎn)E，F(xiàn)分別是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．試用向量方法解決下列問(wèn)題：（1)求異面直線AF和BE所成的角；（2）求直線AF和平面BEC所成角的正弦值．【答案】（1)90°（2）eq\f（5\r(33），33)。【解析】（1)由題意得A(2，0,0）,Feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(\r(2）,2))），B(2，2，0),E(1，1，eq\r（2)），C（0,2，0）．例4。如圖,正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,底面邊長(zhǎng)為2eq\r(2),側(cè)棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F分別為棱AB、BC的中點(diǎn),EF∩BD＝G,求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，易得D1（0，0，4），B1(2eq\r(2)，2eq\r（2），4），E(2eq\r（2)，eq\r(2），0），F(xiàn)（eq\r（2),2eq\r（2)，0)，故eq\o(EF,\s\up16(→）)＝（－eq\r（2），eq\r（2)，0），eq\o(EB1,\s\up16（→))＝（0，eq\r（2），4),eq\o(D1B1，\s\up16(→）)＝（2eq\r（2），2eq\r(2)，0）．設(shè)n＝(x,y，z)是平面B1EF的一個(gè)法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（n·\o（EF，\s\up16(→)）＝0，，n·\o（EB1，\s\up16(→）)＝0))?eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(－\r（2）x＋\r(2)y＝0，，\r（2)y＋4z＝0，)）令x＝1，得n＝（1，1,－eq\f（\r（2)，4)）．則|eq\o(D1B1，\s\up16（→））·n|＝4eq\r（2），∴d＝eq\f（｜\o（D1B1，\s\up16(→)）·n|，｜n|)＝eq\f（16\r(17)，17）。∴點(diǎn)D1到平面B1EF的距離為eq\f(16\r(17）,17）.【方法規(guī)律】對(duì)利用向量處理距離問(wèn)題的考查，運(yùn)用向量求解距離問(wèn)題，對(duì)求點(diǎn)面距，關(guān)鍵是求出平面的法向量,進(jìn)而利用公式求解．變式練習(xí)4：長(zhǎng)方體ABCD-中，AB=4,AD=6，，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點(diǎn)，求M到平面AB1P的距離.【答案】三、課堂練習(xí)1.已知向量＝(3，－2，1），=（－2，4,0),則4＋2等于（）A．(16,0，4) B．（8，－16，4）C．（8，16,4）D．（8,0,4）【答案】D【解析】4＋2＝4(3，－2,1)＋2(－2，4，0）＝（12,－8，4）＋(－4,8，0）＝(8，0,4)．故選D。2．在三棱柱ABC。A1B1C1中,若eq\o(CA，\s\up15（→）)＝a，eq\o（CB，\s\up15（→）)＝b,eq\o（CC1，\s\up15(→））＝c，則eq\o（A1B,\s\up15（→))＝（）A．a(chǎn)＋b－c B．a(chǎn)－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c【答案】D【解析】eq\o(A1B,\s\up15(→)）＝eq\o（A1A,\s\up15（→））＋eq\o（AB，\s\up15(→)）＝－c＋（b－a）＝－a＋b－c。故選D。3.A(1,0，1），B（4，4,6），C(2，2，3）,D（10,14，17）這四個(gè)點(diǎn)________(填“共面”或“不共面”)．【答案】共面【解析】eq\o(AB,\s\up15（→））＝(3,4,5），eq\o(AC,\s\up15(→））＝（1，2，2），eq\o(AD，\s\up15（→)）＝（9，14,16），設(shè)eq\o(AD，\s\up15（→）)＝xeq\o(AB,\s\up15（→））＋yeq\o（AC，\s\up15(→)）.即(9，14,16）＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y),∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2，，y＝3，））從而A、B、C、D四點(diǎn)共面．4.如圖,已知點(diǎn)P在正方體的對(duì)角線上,∠PDA=60°.（1）求DP與所成角的大??；（2）求DP與平面所成角的大小。【答案】（1）（2）（1)因?yàn)?，所以，即與所成的角為．（2)平面的一個(gè)法向量是．因?yàn)?，所以，可得與平面所成的角為．四、課后練習(xí)1.下列等式中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是A。B.C.D.【答案】D【解析】2。已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),則等于A.B。C.D.【答案】B【解析】∵，，.故選B。3。已知四邊形ABCD滿足：eq\o（AB,\s\up7（→））·eq\o（BC,\s\up7（→))>0,eq\o（BC，\s\up7(→）)·eq\o（CD,\s\up7（→)）〉0,eq\o(CD,\s\up7（→)）·eq\o（DA，\s\up7（→））>0，eq\o(DA，\s\up7(→）)·eq\o(AB，\s\up7（→））>0，則該四邊形為（）A．平行四邊形B．梯形C．長(zhǎng)方形D．空間四邊形【答案】D【解析】由已知條件得四邊形的四個(gè)外角均為銳角,但在平面四邊形中任一四邊形的外角和是360°，這與已知條件矛盾,所以該四邊形是一個(gè)空間四邊形．故選D。4。⊿ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是,，，則AC邊上的高BD長(zhǎng)為A.5B。C.4D.【答案】A【解析】由于，所以,故選A5。已知向量a＝(－1,2,3),b＝（1,1，1），則向量a在b方向上的投影為_(kāi)_______．【答案】eq\f（4\r（3），3)【解析】向量a在b方向上的投影為：|a|·cosa，b＝eq\r（14)×eq\f（－1＋2＋3,\r(14)×\r（3)）＝eq\f（4\r（3）,3)。6。在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（-2，3）,B（3，-2)，沿軸把直角坐標(biāo)平面折成大小為的二面角后，這時(shí)，則的大小為．【答案】12007。如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱PA的長(zhǎng)為2，且PA與AB、AD的夾角都等于600，是PC的中點(diǎn)，設(shè)．（1）試用表示出向量;（2）求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6,AC＝4，BC＝5,∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA與BC夾角的余弦值．【答案】eq\f(3－2\r(2），5)【解析】∵eq\o（BC，\s\up7（→）)＝eq\o(AC，\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7（→）），∴eq\o(OA，\s\up7（→))·eq\o(BC，\s\up7（→）)＝eq\o（OA,\s\up7(→))·eq\o(AC，\s\up7（→）)－eq\o(OA，\s\up7(→））·eq\o（AB,\s\up7（→))＝｜eq\o（OA，\s\up7（→))｜·｜eq\o(AC,\s\up7(→)）｜·cos〈eq\o（OA，\s\up7（→)）,eq\o(AC，\s\up7(→））〉－|eq\o(OA，\s\up7(→））｜·｜eq\o（AB，\s\up7（→)）｜·cos<eq\o(OA，\s\up7（→))，eq\o（AB，\s\up7(→)）〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2）.∴c