2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考講練專(zhuān)題02點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE27學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精專(zhuān)題02點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解掌握空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系．

2．熟練應(yīng)用直線(xiàn)、平面平行和垂直的判定及其性質(zhì)解決立體幾何問(wèn)題．

3．通過(guò)本章學(xué)習(xí)逐步提高學(xué)生的空間想像能力，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方法認(rèn)識(shí)世界改造世界．二、知識(shí)梳理：1.平面(1)平面的概念：A.描述性說(shuō)明;B.平面是無(wú)限伸展的；（2）.平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi)）；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示,如平面BC。（3）點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作；點(diǎn)不在平面內(nèi)，記作點(diǎn)與直線(xiàn)的關(guān)系:點(diǎn)A的直線(xiàn)l上，記作：A∈l;點(diǎn)A在直線(xiàn)l外，記作Al；直線(xiàn)與平面的關(guān)系：直線(xiàn)l在平面α內(nèi)，記作lα；直線(xiàn)l不在平面α內(nèi)，記作lα。2.公理即推論（1）公理1：如果一條直線(xiàn)的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（即直線(xiàn)在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn)）應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：（2）公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論：一直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線(xiàn)確定一平面;兩平行直線(xiàn)確定一平面。公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)符號(hào)：平面α和β相交，交線(xiàn)是a，記作α∩β＝a.符號(hào)語(yǔ)言:公理3的作用： ①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。②它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線(xiàn)與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線(xiàn)必過(guò)公共點(diǎn).③它可以判斷點(diǎn)在直線(xiàn)上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)的重要依據(jù)。(4）公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行3?？臻g直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系（1)。異面直線(xiàn)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn).（2）。異面直線(xiàn)性質(zhì)：既不平行，又不相交。（3)。異面直線(xiàn)判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)。(4）.異面直線(xiàn)所成角：直線(xiàn)a、b是異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線(xiàn)a’∥a，b'∥b，則把直線(xiàn)a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線(xiàn)a和b所成的角。兩條異面直線(xiàn)所成角的范圍是（0°,90°］，若兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。說(shuō)明：（1）判定空間直線(xiàn)是異面直線(xiàn)方法：①根據(jù)異面直線(xiàn)的定義；②異面直線(xiàn)的判定定理.（2）在異面直線(xiàn)所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的,而和點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)。②求異面直線(xiàn)所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來(lái)求角4。等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。5?？臻g直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系直線(xiàn)在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：aαa∩α＝Aa∥α6。平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；α∥β相交——有一條公共直線(xiàn)。α∩β＝b7。空間中的平行問(wèn)題（1）直線(xiàn)與平面平行的判定及其性質(zhì)線(xiàn)面平行的判定定理:平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行.線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：線(xiàn)面平行線(xiàn)線(xiàn)平行(2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.（線(xiàn)面平行→面面平行），（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線(xiàn)對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。(線(xiàn)線(xiàn)平行→面面平行)，(3）垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理(1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行.（面面平行→線(xiàn)面平行)（2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線(xiàn)平行。（面面平行→線(xiàn)線(xiàn)平行)8?？臻g中的垂直問(wèn)題（1）線(xiàn)線(xiàn)、面面、線(xiàn)面垂直的定義①兩條異面直線(xiàn)的垂直：如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。②線(xiàn)面垂直:如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)垂直，就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直。③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交,所成的二面角（從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理①線(xiàn)面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)垂直這個(gè)平面.性質(zhì)定理：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面.9.空間角問(wèn)題（1)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角①兩平行直線(xiàn)所成的角：規(guī)定為.②兩條相交直線(xiàn)所成的角：兩條直線(xiàn)相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線(xiàn)所成的角。③兩條異面直線(xiàn)所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線(xiàn)a，b平行的直線(xiàn)，形成兩條相交直線(xiàn)，這兩條相交直線(xiàn)所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線(xiàn)所成的角。(2）直線(xiàn)和平面所成的角①平面的平行線(xiàn)與平面所成的角：規(guī)定為。②平面的垂線(xiàn)與平面所成的角:規(guī)定為.③平面的斜線(xiàn)與平面所成的角：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角.求斜線(xiàn)與平面所成角的思路類(lèi)似于求異面直線(xiàn)所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。在“作角"時(shí)依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn),在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn)；（2）過(guò)斜線(xiàn)上的一點(diǎn)或過(guò)斜線(xiàn)的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線(xiàn)。(3）二面角和二面角的平面角①二面角的定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)得到平面角垂面法:已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線(xiàn)時(shí)，過(guò)兩垂線(xiàn)作平面與兩個(gè)面的交線(xiàn)所成的角為二面角的平面角三、典型例題例1.如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2。求證:(1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）GE與HF的交點(diǎn)在直線(xiàn)AC上．變式練習(xí)1.如圖所示,AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D與B，C分別在平面α的兩側(cè),AC∩α＝Q，BD∩α＝R,求證:P、Q、R三點(diǎn)共線(xiàn)．【解析】∵AB∩α＝P，CD∩α＝P,∴AB∩CD＝P,∴AB，CD可確定一個(gè)平面,設(shè)為β.∵A∈AB,C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β,D∈β.∴AC?β,BD?β，平面α,β相交．∵AB∩α＝P,AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三點(diǎn)是平面α與平面β的公共點(diǎn)．∴P,Q，R都在α與β的交線(xiàn)上．故P，Q,R三點(diǎn)共線(xiàn)．例2.如圖,在四棱錐P。ABCD中，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，E、F分別是PC、DC的中點(diǎn)．平面PAD⊥平面ABCD,PD⊥AD.求證：（1）平面EFO∥平面PDA；(2）PD⊥平面ABCD。（3)平面PAC⊥平面PDB.【方法規(guī)律】(1）證明兩平面平行，要尋找一個(gè)平面內(nèi)兩相交直線(xiàn)平行于另一平面內(nèi)兩相交直線(xiàn)；(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理可證明線(xiàn)面垂直;變式練習(xí)2.如圖，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD,點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)．求證：(1）直線(xiàn)EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥平面BCD?！咀C明】(1）在△ABD中，∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，∴EF∥AD.又AD?平面ACD，EF?平面ACD，∴直線(xiàn)EF∥平面ACD。（2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD,∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB,F為BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F,∴BD⊥平面EFC，又∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.例3。如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1,B′C∩BC′＝O,求:(1）AO與A′C′所成角的度數(shù);(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù).【解析】(1）∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BCC′B′,∴OC⊥AB且AB∩BO＝B。∴OC⊥平面ABO。又OA?平面ABO，∴OC⊥OA。在Rt△AOC中，OC＝eq\f（\r（2),2），AC＝eq\r（2)，sin∠OAC＝eq\f(OC，AC）＝eq\f（1，2),【方法規(guī)律】求線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角,先找出(或作出）它們的平面角，再用解三角形的辦法求其大小．變式練習(xí)3．如圖所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC,且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA＝AB，SB＝BC,求二面角E-BD。C的大?。敬鸢浮?0°【解析】∵E為SC的中點(diǎn),且SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE,∴BD⊥SC。又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC,從而B(niǎo)D⊥AC，BD⊥DE,∴∠EDC為二面角E-BD。C的平面角．設(shè)SA＝AB＝1。在△ABC中,∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝eq\r（2)，AC＝eq\r(3)，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E。BD。C為60°。例4.在四棱錐P。ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，過(guò)E作EF⊥PB于點(diǎn)F。（1）求證：PA∥平面EDB；(2）求證：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C.PB。D的大?。痉椒ㄒ?guī)律】證線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直可用判定定理或用性質(zhì)定理．變式練習(xí)4．如圖(1)，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，AD＝AE,F是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G，將△ABF沿AF折起，得到如圖（2)所示的三棱錐A.BCF，其中BC＝eq\f(\r（2),2）。(1）證明：DE∥平面BCF；（2）證明:CF⊥平面ABF；(3）當(dāng)AD＝eq\f（2,3)時(shí),求三棱錐F.DEG的體積VF-DEG。（1)（2)四、課堂練習(xí)1。直線(xiàn)及平面，使成立的條件是()A．B．C．D．【答案】C【解析】則或異面；所以A錯(cuò)誤；則或異面或相交，所以B錯(cuò)誤;則或異面，所以D錯(cuò)誤；，則,這是公理4，所以C正確.故選C。2.如圖，是直三棱柱，，點(diǎn)和分別是和的中點(diǎn),若，則與所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【答案】A3.已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB。則下列命題中正確的有___________．(填序號(hào))①PA⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直線(xiàn)BC∥平面PAE；④直線(xiàn)PD與平面ABC所成角為30°.【答案】①③【解析】由PA⊥平面ABC,∴PA⊥AD，故①正確；②中兩平面不垂直；③中BC∥AE，故BC∥平面PAE，故③正確；④中直線(xiàn)PD與平面ABC所成角為45°。4。如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)，又二面角P—CD—B為45°.（1）求證:AF∥平面PEC；（2)求證:平面PEC⊥平面PCD;（3）設(shè)AD=2，CD=2,求點(diǎn)A到平面PEC的距離。【答案】(1）（2）證明略，(3）1五、課后練習(xí)1。在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點(diǎn),若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，則對(duì)角線(xiàn)AC和平面DEF的位置關(guān)系是(

)A.平行

B.相交

C.在內(nèi)

D。不能確定【答案】A【解析】∵AE：EB=CF：FB=1：3,∴AC∥EF。可以證明AC平面DEF.若AC平面DEF，則AD平面DEF，BC平面DEF.由此可知ABCD為平面圖形，這與ABCD是空間四邊形矛盾，故AC平面DEF?！逜C∥EF,EF平面DEF。∴AC∥平面DEF。故選A。2.、是不同的直線(xiàn)，、、是不同的平面，有以下四命題： ①若，則; ②若,則；③若，則; ④若,則。其中真命題的序號(hào)是 （）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【解析】對(duì)于①若,則;，根據(jù)平行的傳遞性可知，成立。對(duì)于②若,則;可能是斜交，因此錯(cuò)誤對(duì)于③若，則；根據(jù)面面垂直的判定定理可知成立。對(duì)于④若，則。有可能m在平面內(nèi),因此錯(cuò)誤。故選A.3．如圖所示,正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB，則異面直線(xiàn)A1B與AD1所成角的余弦值為()A。B。C。D?！敬鸢浮緿4．已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的2倍,則側(cè)棱與底面所成的角的余弦值為（）A.B。C.D。【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)VA=VB=VC=2a,AB=BC=AC=a，因?yàn)槭钦忮F,所以頂點(diǎn)P的射影0為底面中心，也是重心，所以∠VB0即為側(cè)棱與底面所成的角B0=，∴cos∠VBO==。故選A．5.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖．在這個(gè)正方體中，①與平行；②與是異面直線(xiàn)；③與成角；④與垂直．以上四個(gè)說(shuō)法中,正確說(shuō)法的序號(hào)是__________．【答案】③④【解析】將展開(kāi)圖折回,可得原正方體如下圖（1)，由此可知,與顯然不平行，故①錯(cuò)誤；由圖（2）及正方體的性質(zhì)易知，故②錯(cuò)誤；由圖（3）易知,為正三角形,,所以與成角，故③正確；如圖（4)，一方面，另一方面，且，于是可得平面,進(jìn)而可得,故④正確；綜上可知,正確命題的序號(hào)是③④。6．已知三棱錐D—ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且A