附錄一截面的幾何性質(zhì)

附錄Ⅰ截面幾何性質(zhì)§1-1截面的靜矩和形心一、靜矩OyzdAyz截面對(duì)y,z

軸的靜矩為靜矩可正,可負(fù),也可能等于零.yzO

dAyz二、截面的形心C(2)截面對(duì)形心軸的靜矩等于零.(1)若截面對(duì)某一軸的靜矩等于零,則該軸必過形心.

例：計(jì)算由拋物線、y軸和z軸所圍成的平面圖形對(duì)y軸和z軸的靜矩，并確定圖形的形心坐標(biāo)。解：例：求圖示陰影部分的面積對(duì)y軸的靜矩。解：三、組合截面的靜矩和形心

由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面稱為組合截面

截面各組成部分對(duì)于某一軸的靜矩之代數(shù)和,就等于該截面對(duì)于同一軸的靜矩.其中Ai——第i個(gè)簡(jiǎn)單截面面積1、組合截面靜矩2、組合截面形心——第i個(gè)簡(jiǎn)單截面的形心坐標(biāo)解例1試確定圖示截面形心C的位置.建立坐標(biāo)軸101012012Ozy90矩形1矩形21010120O12zy90所以

法2用負(fù)面積法求解,圖形分割及坐標(biāo)如圖(b)圖(b)C1（0,0）C2（5,5）C2負(fù)面積C1yz一、慣性矩

§1-2

極慣性矩、慣性矩、慣性積

二、極慣性矩

工程中常把慣性矩表示為平面圖形的面積與某一長(zhǎng)度平方的乘積，即分別稱為平面圖形對(duì)y軸和z軸的慣性半徑例：求圖示矩形對(duì)對(duì)稱軸y、z的慣性矩。 解：例：求圖示圓平面對(duì)y、z軸的慣性矩。三、慣性積

如果所選的正交坐標(biāo)軸中，有一個(gè)坐標(biāo)軸是對(duì)稱軸，則平面圖形對(duì)該對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積必等于零。二、組合截面的慣性矩、慣性積組合截面的慣性矩,慣性積

——第i個(gè)簡(jiǎn)單截面對(duì)y,z軸的慣性矩,慣性積.

§1-3

平行移軸公式

平行移軸公式：例4求梯形截面對(duì)其形心軸yC

的慣性矩.解將截面分成兩個(gè)矩形截面.201401002021zCyC所以截面的形心坐標(biāo)為y2014010020y21zcyC例：求圖示平面圖形對(duì)y軸的慣性矩IyCL6TU11解：CL6TU11

§1-2

極慣性矩、慣性矩、慣性積

yzOdAyz二、極慣性矩一、慣性矩所以yzOdAyz三、慣性積

(1)慣性矩的數(shù)值恒為正,慣性積則可能為正值,負(fù)值,也可能等于零.(2)若y,z兩坐標(biāo)軸中有一個(gè)為截面的對(duì)稱軸,則截面對(duì)y,z軸的慣性積一定等于零.yzdydyzdAdA四、慣性半徑解bhyzCzdz例2求矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸y,z軸的慣性矩.

zyd解因?yàn)榻孛鎸?duì)其圓心O的極慣性矩為

例3求圓形截面對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩.所以yzOC(a,b)ba一、平行移軸公式(a,b)_____

形心C在yoz坐標(biāo)系下的坐標(biāo).

§1-3

平行移軸公式

y,z——任意一對(duì)坐標(biāo)軸C——截面形心yzOC(a,b)bazCyCyC

,zC——過截面的形心C

且與y,z軸平行的坐標(biāo)軸(形心軸）

Iy

,Iz

,Iyz

_____截面對(duì)y,z

軸的慣性矩和慣性積.已知截面對(duì)形心軸yC,zC

的慣性矩和慣性積求截面對(duì)與形心軸平行的y,z軸慣性矩和慣性積則平行移軸公式

——截面對(duì)形心軸yC

,zC的慣性矩和慣性積.一、轉(zhuǎn)軸公式§1-4

轉(zhuǎn)軸公式

yoz為過截面上的任一點(diǎn)建立的坐標(biāo)系Oyzy1z1y1oz1

為yoz

轉(zhuǎn)過

角后形成的新坐標(biāo)系順時(shí)針轉(zhuǎn)取為–號(hào)逆時(shí)針轉(zhuǎn)取為+號(hào)已知截面對(duì)坐標(biāo)軸軸y,z

軸的慣性矩和慣性積求截面對(duì)y1,z1

軸慣性矩和慣性積轉(zhuǎn)軸公式為Oyzy1z1顯然二、截面的主慣性軸和主慣性矩

主慣性軸(Principalaxes)——總可以找到一個(gè)特定的角0

,使截面對(duì)新坐標(biāo)軸y0,z0的慣性積等于0,則稱y0,z0

為主慣性軸.主慣性矩——截面對(duì)主慣性軸的慣性矩.形心主慣性軸——當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時(shí),則稱為形心主慣性軸.形心主慣性矩

——截面對(duì)形心主慣性軸的慣性矩

求出后,就確定了主慣性軸的位置.(1)主慣性軸的位置設(shè)為主慣性軸與原坐標(biāo)軸之間的夾角則有由此(2)主慣性矩的計(jì)算公式(3)截面的對(duì)稱軸一定是形心主慣性軸過截面上的任一點(diǎn)可以作無數(shù)對(duì)坐標(biāo)軸,其中必有一對(duì)是主慣性軸.截面的主慣性矩是所有慣性矩中的極值.即求形心主慣性矩的方法(1)確定形心的位置(2)選擇一對(duì)通過形心且便于計(jì)算慣性矩（積）的坐標(biāo)軸y,z,計(jì)算Iy

,Iz

,Iyz(3)確定形心主慣性軸的方位(4)計(jì)算形心主慣性矩101012025例5計(jì)算所示圖形的形心主慣性矩.解該圖形形心C的位置已確定,如圖所示.過形心C選一對(duì)座標(biāo)軸y,z

軸,計(jì)算其慣性矩(積).C4020yz20158035101012025C4020yz20158035在第三象限分別由

y軸和z軸繞C點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)113.8o

得出.

形心主慣性軸

y0,z0101012070形心主慣形矩為C4020yzy00=113.80z0例6在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓,求圖形的形心主軸.(b=1.5d)解(1)建立坐標(biāo)系如圖.(2)求形心位置.db2dyzO(3)建立形心坐標(biāo)系,求yCzCCdb2dyzOyCzCC便是形心主軸便是形心主慣性軸所以附錄結(jié)束第六章平面圖形的幾何性質(zhì)CL6TU1§6-1靜矩和形心形心坐標(biāo)：CL6TU3靜矩和形心坐標(biāo)之間的關(guān)系：

例：確定圖示圖形形心C的位置。CL6TU5解：§6-4轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸和主慣性矩CL6TU12轉(zhuǎn)軸公式：主慣性軸方位：或簡(jiǎn)寫成：主慣性矩公式：

求形心主慣性軸的位置及形心主慣性矩大小的步驟：1）找出形心位置；